Kinematik/Kinetik

TM3

Aufgaben

Aufgabe 1.1
#143
Ein PKW will auf der Überholspur an einem LKW vorbeifahren. Der Mindestabstand zwischen jeweils zwei Fahrzeugen in einer Spur soll immer so groß sein, wie die Strecke, die das nachfolgende Fahrzeug innerhalb von \(t_s = 2 s\) bei seiner jeweiligen Geschwindigkeit zurücklegt. Beide Fahrzeuge bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l_1 &= 5 \,\mathrm{m}, &\quad l_2 &= 15 \,\mathrm{m} \\ v_1 &= 120 \,\mathrm{km/h}, &\quad v_2 &= 80 \,\mathrm{km/h} \end{alignat*}
Ges.:
Wie lange befindet sich der PKW mindestens auf der Überholspur, wenn er den LKW bezüglich Mindestabstand korrekt überholt? Welchen Weg legt dabei der PKW zurück?
Lösung: Aufgabe 1.1
a) Zeit zum Überholen: \begin{alignat*}{5} t_1 &= 11,8\,\mathrm{s} \end{alignat*} b) Weg des PKW: \begin{alignat*}{1} s_1 &= 393,3\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 1.2
#144
Es ist der senkrechte Wurf und der freie Fall eines Körpers \(K\) zu untersuchen.

Geg.:
$$g=9,81 m/s^2$$
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Auftreffgeschwindigkeit \(v_A\), wenn der Körper aus einer Höhe von \(H = 2\, m\) fällt und zu Beginn der Bewegung in Ruhe ist.

  2. Bestimmen Sie die Wurfhöhe \(h\), wenn der Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \(v_0 = 6,26\, m/s\) den Boden verlässt.


Lösung: Aufgabe 1.2
a) \begin{alignat*}{5} v_a &= -6,26\,\mathrm{m/s}&\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{5} h &= 1,99\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 1.3
#145
Die Besatzung eines Freiballons, der mit konstanter Geschwindigkeit \(v_0\) steigt, will die augenblickliche Höhe \(h_0\) bestimmen. Zu diesem Zweck lässt sie einen Messkörper aus der Gondel fallen, der beim Aufschlag auf die Erdoberfläche explodiert. Die Besatzung misst die Zeit \(t_0\) vom Loslassen des Messkörpers bis zum Wahrnehmen der Detonation, wobei sich der Schall mit der Geschwindigkeit \(c\) ausbreitet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} t_0 &= 10 \,\mathrm{s}, &\quad v_0 & = 5 \,\mathrm{m/s} \\ c &= 333 \,\mathrm{m/s}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Höhe \(h_0\). Stellen Sie dazu die Bewegungen von Ballon, Messkörper und Schall in einem Weg-Zeit-Diagramm dar.
Lösung: Aufgabe 1.3
\begin{alignat*}{5} h_o &= 339\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 1.4
#146
Ein Kfz erreicht aus dem Stand nach \(t=t_e\) seine Höchstgeschwindigkeit \(v=v_e\). Dabei soll die Beschleunigung linear über der Zeit fallen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} t_e &= 45\,\mathrm{s}, &\quad v_e &= 162\,\mathrm{km/h} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Strecke \(s_{100}\), die das Kfz bei Erreichen von \(v_{100}=100\,\mathrm{km/h}\) zurückgelegt hat.
Lösung: Aufgabe 1.4
\begin{alignat*}{5} a_0 &= 2\,\mathrm{m/s^2}, &\quad t_{100} &= 17,17\,\mathrm{s}, &\quad s_{100} &= 257\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.5
#147
In einer Ballmaschine werden Tennisbälle auf der Strecke \(l\) aus der Ruhelage bis zur Endgeschwindigkeit \(v_e\) beschleunigt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a_0 &= 100\,\mathrm{m/s^2}, &\quad l &= 0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie \(v_e\) für den dargestellten Verlauf der Beschleunigung. Hinweis: $$ \int \frac{x}{a-x}dx = - \left[ a \ln(|x-a|)+ x \right]$$
Lösung: Aufgabe 1.5
\begin{alignat*}{5} v_e &= 1,14\sqrt{a_0 l} = 8,06\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}


Aufgabe 1.6
#148
Der Kolben eines Dämpfers bewegt sich mit der zu seiner Geschwindigkeit proportionalen Beschleunigung \(a\) in einem Zylinder. Das im Zylinder eingeschlossene Öl kann durch die Öffnungen im Kolben entweichen.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} a & = -kv, &\quad v(t=0) &= v_0, &\quad s(t=0) &= 0 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für den Kolben \(v(t)\), \(s(t)\) und \(v(s)\).
Lösung: Aufgabe 1.6
\begin{alignat*}{5} v(t) &= v_0 e^{-kt}, &\quad s(t) &= \frac{v_0}{k} \left(1-e^{-kt}\right), &\quad v(s) &= v_0 -sk &\quad\\ \end{alignat*}


Aufgabe 1.7
#149
Zwei Gleitsteine \(A\) und \(B\) sind durch eine starre Stange gekoppelt. Der Gleitstein \(A\) bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit \(v_A\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) befinden sich die Gleitsteine in der skizzierten Lage.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 4 \,\mathrm{cm}, &\quad b &= 3 \,\mathrm{cm}, &\quad v_A &= 0,8\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
Für den Punkt \(K\) auf dem Gleitstein \(B\) sollen die Funktionen \(s_K(t)\), \(v_K(t)\) und \(a_K(t)\) ermittelt werden.
Lösung: Aufgabe 1.7
\begin{alignat*}{5} s_B(t) &= \sqrt{b^2 + 2av_At-v^2_At^2}, \\ \\ v_B(t) &= \frac{(a-v_At)v_A}{\sqrt{b^2+ 2av_At- v^2_At^2}} \\ \\ a_B(t) &= -\frac{a^2+b^2}{(\sqrt{b^2+ 2av_At- v^2_At^2})^3}v_A^2 \end{alignat*}


Aufgabe 1.8
#150
Bei einem Fußballspiel wird im Abstand \(2a\) vor dem Tor ein Freistoß gegeben. Die Spielerin will den Ball so treten, dass dieser bei der Mauer \((x = a)\) und auf der Torlinie \((x = 2a)\) jeweils in der Höhe \(h\) fliegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &=9 \,\mathrm{m}, &\quad h &=2,2 \,\mathrm{m}, &\quad g &=9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind bei Vernachlässigung von Drall und Luftwiderstand die notwendige Anfangsgeschwindigkeit des Balles \(v_0\) und der Anfangswinkel \(\alpha\) ?
Lösung: Aufgabe 1.8
\begin{alignat*}{5} tan(\alpha) &= \frac{3h}{2a}, &\quad v^2_0 &= gh\left(\frac{a^2}{h^2} + \frac{9}{4}\right) \end{alignat*}


Aufgabe 1.9
#151
Ein Gleitstein \(A\) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \(v_A\) entlang einer vertikalen Führung. Er nimmt dabei die Stange \(S\) mit, welche in einer drehbaren Hülse gelagert ist. Bei \(t=0\) nimmt die Stange eine horizontale Lage ein.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_A &= 10\,\mathrm{m/s}, &\quad a &= 1\,\mathrm{m}, &\quad l &= 3\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Bahnkurve von Punkt \(B\) als Funktion der Zeit. Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.

  2. Bestimmen Sie die Zeit \(t^\ast\), nach welcher der Punkt \(B\) aus der Hülse gezogen wird.


Lösung: Aufgabe 1.9
a) \begin{alignat*}{5} x_B(t) &= a \left(\frac{l}{\sqrt{a^2+v^2_At^2}}-1\right), &\quad y_B(t) &= v_At\left(\frac{l}{\sqrt{a^2+v^2_At^2}}-1\right) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} t^* &= 0,283\,\mathrm{s} \end{alignat*}


Aufgabe 1.10
#152
Ein Rad mit dem Radius \(R\) rollt ohne zu Gleiten mit der Geschwindigkeit \(v_0\) auf der Horizontalen.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} R & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad a & = 0,3\,\mathrm{m}, &\quad v_0 & = 1,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Ermitteln Sie die Bahnkurve des körperfesten Punktes \(A\) analytisch und geben Sie diese in einem Diagramm \(y\)(\(x\)) an.

  2. Ermitteln Sie anschließend die Bahngeschwindigkeit von \(A\) als Funktion der Zeit.


Lösung: Aufgabe 1.10
a) \begin{alignat*}{5} x(t) &= v_0t-a\:sin(\frac{v_0t}{R}),&\quad y(t) &= R-a\:cos(\frac{v_0t}{R})&\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v(t) &= v_0 \sqrt{1+\frac{a^2}{R^2}-2\frac{a}{R}cos(\frac{v_0t}{R})} \end{alignat*}


Aufgabe 1.11
#153
Ein Schwungrad mit dem Durchmesser \(d\) wird aus der Ruhelage mit \(\alpha_0=konst.\) beschleunigt und hat nach \(t=t_1\) die Drehzahl \(n\) erreicht.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &= 60\,\mathrm{mm}, &\quad t_1 &= 20\,\mathrm{s}, &\quad n &=1000\,\mathrm{min^{-1}} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie viele Umdrehungen \(N\) macht das Rad in der Zeit \(t_1\)?

  2. Ermitteln Sie die Beträge der Geschwindigkeit und der Beschleunigung eines Punktes auf dem Umfang zur Zeit \(t_2=1\,\mathrm{s}\).


Lösung: Aufgabe 1.11
a) \begin{alignat*}{5} N &= 167 \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} a(t_2) &= 836\,\mathrm{mm/s^2}, &\quad v(t_2) &= 157\,\mathrm{mm/s} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.12
#154
Ein PKW fährt mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) in eine Kreisbahn vom Radius \(R\) und beschleunigt in Bahnrichtung mit \(a_{\varphi}\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_0 &= 36\,\mathrm{km/h}, &\quad R &= 100\,\mathrm{m}, &\quad a_{\varphi} &= 1\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist der Gesamtbetrag der Beschleunigung nach Durchfahren eines Viertelkreisbogens, also bei \(B\) ?
Lösung: Aufgabe 1.12
\begin{alignat*}{5} a &= 4,26\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}


Aufgabe 1.13
#155
Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) um den Punkt \(A\). In einer glatten Führungsschiene bewegt sich ein Quader in radialer Richtung. Seine Geschwindigkeit relativ zur Scheibe ist konstant und beträgt \(v_0\). Bei \(t=0\) sind \(K\) und \(A\) deckungsgleich.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} R, &\quad v_0, & \quad \omega_0 \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Bahnkurve des Punktes \(K\).

  2. Geben Sie die Koordinaten des Geschwindigkeitsvektors und des Beschleunigungsvektors des Punktes \(K\) in Polarkoordinaten an.

  3. Wie viele Umdrehungen macht die Scheibe bis der Punkt \(K\) die Scheibe verlässt?


Lösung: Aufgabe 1.13
a) \begin{alignat*}{5} x(t) &= v_0t\:cos(\omega_0t),&\quad y(t) &= v_0t\:sin(\omega_0t) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v_r &= v_0,&\quad v_{\varphi} &= v_0t\omega_0,&\quad a_r &= -v_0t\omega^2_0,&\quad a_{\varphi} &= 2v_0\omega_0 \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} N &= \frac{\omega_0R}{2\pi v_0} \end{alignat*}


Aufgabe 1.14
#156
Bei einem zentrischen Schubkurbelgetriebe dreht sich die Kurbel mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 1 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,25\,\mathrm{m}, &\quad \omega_0 &= 10/\mathrm{s} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie \(x(t)\) sowie \(\dot{x}(t)\) des Punktes \(A\).
Lösung: Aufgabe 1.14
Mit \(\lambda = r/l\) gilt \begin{alignat*}{5} x &= r\left(1- cos\varphi + \frac{1}{\lambda}\left(1-\sqrt{1-\lambda^2sin^2\varphi}\right)\right),\\ \\ \dot{x} &= r\omega_0 \left(sin\varphi + \lambda \frac{sin\varphi cos\varphi}{\sqrt{1-\lambda^2sin^2\varphi}}\right) \end{alignat*} Mit \(\varphi = \omega_0t\) folgen die Abhängigkeiten von t.


Aufgabe 2.1
#157
Der Mitnehmer der skizzierten Gabel bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \(v_A\) nach rechts. Zum Zeitpunkt \(t=0\) sei \(\varphi=0\).

Geg.:
\begin{alignat*}{2} v_A, &\quad l \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Bewegung der Gabel \(\varphi(t)\), die Winkelgeschwindigkeit \(\omega(t)\) und die Winkelbeschleunigung \(\dot\omega(t)\).
Lösung: Aufgabe 2.1
\begin{alignat*}{5} \varphi(t) &= arctan\frac{v_At}{l} \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} \omega(t)\ = \dot{\varphi}(t) &= \frac{v_Al}{l^2+v^2_At^2} \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} \dot\omega(t)\ = \ddot{\varphi}(t) &= -\frac{2v^3_Alt}{(l^2+v^2_At^2)^2} \end{alignat*}


Aufgabe 2.2
#158
Eine Kurbel mit dem Radius \(R\) läuft mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) und nimmt dabei eine Schwinge mit.

Geg.:
Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) undVerhältnis \begin{alignat*}{2} \lambda = \frac{l}{R} = 3 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie \(\varphi(t)\) der Schwinge sowie ihre Winkelgeschwindigkeit \(\omega(t)\).
Lösung: Aufgabe 2.2
\begin{alignat*}{5} \varphi(t) &= \arctan\left(\frac{\sin(\omega_0 t)}{\lambda-\cos(\omega_0 t)}\right), &\quad \omega(t) &= \frac{\lambda \, \cos(\omega_0 t)-1}{\lambda^2-2 \, \lambda\, \cos(\omega_0\,t)+1} \omega_0 \end{alignat*}


Aufgabe 2.3
#159
In dem skizzierten Mechanismus dreht sich die Kurbel mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \omega_0, &\quad a &= 2R, &\quad l &= 4R \end{alignat*}
Ges.:
  1. Ermitteln Sie den Momentanpol der Stange \(AB\) wenn der Punkt \(A\) den Punkt \(F\) passiert.

  2. Bestimmen Sie mit Hilfe des Momentanpols die Geschwindigkeit des Punktes \(B\) in dieser Lage durch Abmessen der entsprechenden Strecken.


Lösung: Aufgabe 2.3
A passiert F: \begin{alignat*}{5} v_B &= 0,96R\omega_0 \end{alignat*}


Aufgabe 2.4
#160
Eine kleine Walze bewegt sich durch reine Rollbewegung mit der Geschwindigkeit \(v_A\) auf der Horizontalen. Sie schiebt über eine exzentrisch angebrachte Stange eine große Walze, die ebenfalls auf einer Horizontalen schlupffrei rollt, vor sich her.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} l_{AC}, &\quad r_{A}, &\quad r_{B}, &\quad v_{A} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für den dargestellten Bewegungszustand mit Hilfe des Momentanpols der Stange die Geschwindigkeiten der Punkte \(B\) und \(C\).
Lösung: Aufgabe 2.4
\begin{alignat*}{5} v_C &= v_A\frac{l_{PC}}{l_{PA}},&\quad v_B &= v_A\frac{l_{PC}}{l_{PA}} \frac{l_{BD}}{l_{CD}} \end{alignat*}


Aufgabe 2.5
#161
Die skizzierte Walze führt eine reine Rollbewegung aus, die Seile sind starr und laufen ohne Schlupf über die Rollen. Der Körper 4 bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v_4\) abwärts

Geg.:
\begin{alignat*}{3} R_1 &= 200\,\mathrm{mm} &\quad r_1 &= 100\,\mathrm{mm} \\ r_2 &= 100\,\mathrm{mm} &\quad v_4 &=5,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_2\) der Umlenkrolle \(2\) und die Geschwindigkeit \(v_1\) des Mittelspunkts der Walze 1. Nutzen Sie dazu die jeweiligen Momentanpole.
Lösung: Aufgabe 2.5
\begin{alignat*}{5} \omega_2 &= \frac{2v_4}{r_2}, &\quad v_1 &= 4v_4 \end{alignat*}


Aufgabe 2.6
#162
Ein Planetenrad rollt auf einem feststehendem Sonnenrad ab. Der Steg bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\Omega\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \Omega &= 2 \,\pi/ \mathrm{s}, &\quad r &= 0,25 \, \mathrm{m}, &\quad R &= 1,0 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Man ermittele die Bahnkurve sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes \(P\).
Lösung: Aufgabe 2.6
a) \begin{alignat*}{5} x_p(t) &= (R+r)\:cos\Omega t + r\:cos((R/r + 1)\Omega t), \\ y_p(t) &= (R+r)\:sin\Omega t + r\:sin((R/r + 1)\Omega t), \\ \dot{x}_p(t) &= ...,\\ \dot{y}_p(t) &= ... \end{alignat*} b) Momentanpol im Berührungspunkt: \begin{alignat*}{1} \frac{v_A}{r} &= \frac{v_P}{2r}, &\quad v_P &= 2v_A, &\quad v_A &= (R+r)\Omega \end{alignat*} Lösung entspricht der von \(\dot{y}_P(t=0)\).


Aufgabe 3.1
#163
Von der Spitze eines Turmes wird ein Körper rotationsfrei mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) unter einem Winkel von \(\alpha\) gegen die Horizontale abgeworfen. Er trifft im Abstand \(l\) vom Fuß des Turmes auf den Boden auf.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_0 &= 7,0\, \mathrm{m/s}, &\quad \alpha &= 30\,^{\circ} \\ l &= 10,0\,\mathrm{m}, &\quad g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie lange fliegt der Körper?

  2. Welche Höhe hat der Turm?

  3. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt er auf?


Lösung: Aufgabe 3.1
a) Flugdauer des Körpers: \begin{alignat*}{5} T &= 1,65\,\mathrm{s} \end{alignat*} b) Höhe des Turms: \begin{alignat*}{1} H &= 7,57\,\mathrm{m} \end{alignat*} c) Aufprallgeschwindigkeit des Körpers: \begin{alignat*}{1} v &= 14,05\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}


Aufgabe 3.2
#164
Eine Kiste rutscht auf einer schiefen Ebene (Reibkoeffizient \(\mu\)). Zur Zeit \(t=0\) befindet sich die Kiste bei \(x=0\) und hat die Geschwindigkeit \(v_0\).

Geg.:
\begin{alignat*}{5} v_0 &= 5 \,\mathrm{m/s}, &\quad \alpha &= 30\,^{\circ}\\ \mu &= 0,8\,, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Geben Sie die Bewegungsgleichungen füur die Kiste an.

  2. Geben Sie die Führungsbedingung an.

  3. Welche Strecke \(x\) legt die Kiste bis zum Stillstand zurück?


Lösung: Aufgabe 3.2
a) Bewegungsgleichung: \begin{alignat*}{5} m\ddot{x} + R - G\sin(\alpha) &= 0 \\ -m\ddot{y} -G\cos(\alpha) + N &= 0 \end{alignat*} b) Zwangsbedingung: \begin{alignat*}{1} \ddot{y} &= 0 \end{alignat*} c) Strecke bis zum Stillstand: \begin{alignat*}{1} \tilde{x} &= 6,61\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 3.3
#165
Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) um den Punkt \(A\). In einer glatten Führungsschiene bewegt sich ein Körper (Quader mit der Masse \(m\)) in radialer Richtung. Seine Geschwindigkeit relativ zur Scheibe ist konstant (\(v_0\)). Diese Relativbewegung wird durch ein sich abwickelndes Seil realisiert.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m, &\quad v_0, &\quad \omega_0 \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_K\) zwischen Scheibe und Quader sowie die Kraft \(F_S\) im Seil. Vernachlässigen Sie dabei die Rotation des Quaders um seinen Schwerpunkt.
Lösung: Aufgabe 3.3
\begin{alignat*}{5} F_S &= m v_0 t \omega^2_0, &\quad F_K &= 2 m v_0 \omega_0 \end{alignat*}


Aufgabe 3.4
#166
Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit \(v_0\). Der Fahrer nimmt bei \(t=0\) den Fuß vom Gas. Es soll die Annahme gelten, dass nur Luftwiderstand \(F_w=kv\) das Fahrzeug verzögert

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_0 &= 10\,\mathrm{m/s}, &\quad m &= 1200\,\mathrm{kg} \\ k &= 12\,\mathrm{kg/s} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bewegungsgleichung

  2. Welche Geschwindigkeit hat das Fahrzeug nach \(100\,\mathrm{s}\)?

  3. Welchen Weg hat es nach \(100\,\mathrm{s}\) zurück gelegt?


Lösung: Aufgabe 3.4
a) Bewegungsgleichung: \begin{alignat*}{5} m \ddot{x} + kv &= 0 \end{alignat*} b) Geschwindigkeit des Fahrzeugs nach \(100s\): \begin{alignat*}{1} v(t) = v_0 e^{-kt/m}, &\quad v(t=100) &= 3,68\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} c) Zurückgelegter Weg des Fahrzeugs nach \(100s\): \begin{alignat*}{1} s(t) &= v_0 \frac{m}{k}(1- e^{-kt/m}), &\quad s(t=100s) &= 632\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 3.5
#167
Eine Kugel (Masse \(m\)) fällt aus der Ruhe heraus in einen mit Flässigkeit gefüllten Behälter. In der Flüssigkeit gelte ein bezüglich \(v\) lineares Widerstandsgesetz (\(F_w=kv\)).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 1 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ k &= 2 \,\mathrm{kg/s} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Geschwindigkeit der Kugel als Funktion der Zeit (grafische Darstellung).

  2. Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit?

Hinweis: $$ \int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln\left(ax+b\right)$$
Lösung: Aufgabe 3.5
a) Geschwindigkeit der Kugel als Funktion der Zeit: \begin{alignat*}{5} \dot{z} &= \frac{m g}{k}(1- e^{-kt/m}) \end{alignat*} b) Maximale Geschwindigkeit: \begin{alignat*}{1} \dot{z}_{max} &= 5\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}


Aufgabe 3.6
#168
Ein Fahrzeug (Masse \(m\)) soll von \(v_0\) auf \(v=0\) abgebremst werden. Dieser Vorgang soll innerhalb von \(5 \mathrm{s}\) vollzogen werden. Die Geschwindigkeit soll dabei linear über der Zeit fallen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 1600\,\mathrm{kg}, &\quad v_0 &= 100\,\mathrm{km/h} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie Bremskraft und Bremsweg.
Lösung: Aufgabe 3.6
\begin{alignat*}{5} F_B &= 8888\,\mathrm{N}, &\quad s_B &= 69,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 3.7
#169
Ein Spielzeugauto (Masse $m$) fährt einen Looping. Die Rotation des Autos um seinen Schwerpunkt kann bei diesem Vorgang vernachlässigt werden. Im höchsten Punkt besitzt es die Geschwindigkeit \(v\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 70 \,\mathrm{g}, &\quad r &= 40 \,\mathrm{cm} \\ g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}, &\quad v & = 3 \,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Mit welcher Geschwindigkeit muss das Auto in den Looping einfahren, damit es im höchsten Punkt die angegebene Geschwindigkeit hat?

  2. Bestimmen Sie die im höchsten Punkt zwischen Auto und Fahrbahn wirkende Kontaktkraft.


Lösung: Aufgabe 3.7
a) \begin{alignat*}{5} v_{einfahr} &= 4,97\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} F_k &= \frac{m v^2}{r} - mg = 0,89\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 3.8
#170
Ein Körper (Masse \(m\)) rutscht aus seiner Ruhelage in \(A\) eine rauhe, schiefe Ebene herab (Reibungskoeffizient \(\mu\)), die in eine glatte Kreisbahn einmündet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 45^\circ, &\quad \mu & = 0,2 \end{alignat*}
Ges.:
In welcher Höhe \(h\) über dem Scheitelpunkt der Kreisbahn (B) muss die Bewegung beginnen, damit der Körper in \(B\) gerade die Bahn nicht verlässt? Die Rotation des Körpers wird vernachlässigt.
Lösung: Aufgabe 3.8
\begin{alignat*}{5} h &= r \frac{\frac{1}{2} + \frac{\mu}{\tan\alpha} (1 + \cos\alpha)}{1 - \frac{\mu}{\tan\alpha}} = 0,526\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 3.9
#171
Bei einem Pendelschlagwerk zur Kerbschlagprüfung wird in der skizzierten Ruhestellung (\(\varphi=\varphi_0\)) die Arretierung des Hammers gelöst.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad \varphi_0 &= 30 \,^\circ \\ m &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie für den Körper (Masse \(m\)) \(v(\varphi)\) und die Stabkraft \(F_S(\varphi)\) nach d'Alembert.

  2. Kontrollieren sie ihr Ergebnis für \(v(\varphi=\pi)\) und \(F_S(\varphi=\pi)\) mit dem Energiesatz.

  3. Hinweis: Die Masse des Stabes sowie die Rotation der Kugel sind zu vernachlässigen.


Lösung: Aufgabe 3.9
a) \begin{alignat*}{5} v(\varphi) &= r\omega = r \sqrt{\frac{g}{r} \left(-2 \cos(\varphi)+ \sqrt{3} \right)} \\ \\ F_S(\varphi) &= mg \left(-3 \cos(\varphi) + \sqrt{3} \right) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v(\pi) &= \sqrt{gr \left(2+\sqrt{3}\right)} = 6,05\,\mathrm{m/s} \\ \\ F_S(\pi) &= mg\left(3+\sqrt{3}\right) = 928,4\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 3.10
#172
Eine Winde zieht mit konstantem Moment \(M_0\) einen Körper (Masse \(m\)) eine schiefe Ebene hinauf. Zwischen dem Köper und der Ebene herrscht Gleitreibung mit dem Gleitreibungskoeffizienten \(\mu\). Die Masse der Winde kann vernachlässigt werden. Die Bewegung beginnt aus der Ruhe heraus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0 &= 100 \,\mathrm{Nm}, &\quad m &= 10 \,\mathrm{kg} \\ s &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 30 \,^\circ \\ R &= 0,05 \,\mathrm{m}, &\quad \mu &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers nachdem er den Weg \(s\) zurückgelegt hat?
Lösung: Aufgabe 3.10
\begin{alignat*}{5} v &= \sqrt{2s \left(\frac{M_0}{R_m} - \mu g \cos\alpha -g \sin \alpha \right)} \end{alignat*}


Aufgabe 3.11
#173
Die Walzen eines Walzwerkes (Durchmesser \(d\)) drehen sich mit der Drehzahl \(n\). Ein Stahlblock mit der Masse \(m\), der das Walzwerk verlässt, kommt auf einer horizontalen Bremsstrecke nach \(s_0\) zur Ruhe.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} n &= 300\,\mathrm{min^{-1}}, &\quad s_0 &= 28\,\mathrm{m} \\ d &= 480\,\mathrm{mm}, &\quad m &= 500\,\mathrm{kg} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist der Gleitreibungskoeffizient \(\mu\) auf der Bremsstrecke?

  2. Um welchen Betrag würde ein masseloser, elastischer Puffer (\(c=1000\,\mathrm{N/cm}\)) bei \(s=20\,\mathrm{m}\) von dem aufprallenden Stahlblock zusammengedrückt werden?


Lösung: Aufgabe 3.11
a) \begin{alignat*}{5} \mu &= 0,103 \end{alignat*} b) *Ohne Berücksichtigung der Reibung beim Zusammendrücken der Feder: \begin{alignat*}{1} x &= 0,286\,\mathrm{m} \end{alignat*} c) *Mit Berücksichtigung der Reibung beim Zusammendrücken der Feder: \begin{alignat*}{1} x &= 0,282\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 3.12
#174
Ein Körper (Masse \(m\)) rutscht von der Stelle \(1\) aus ohne Anfangsgeschwindigkeit auf einer schiefen, anschließ end horizontalen, rauhen Ebene und kommt an der Stelle \(2\) zur Ruhe.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 3 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 30 \,^{\circ} \\ \mu &= 0,2\,, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Entfernung \(k\)

  2. Zeit \(t^*\) für den gesamten Bewegungsvorgang

  3. Hinweis: Die Rotation des Körpers wird vernachlässigt.


Lösung: Aufgabe 3.12
a) Entfernung \(k\): \begin{alignat*}{5} k = 4,9\,\mathrm{m} \end{alignat*} b) Zeit \(t^* \): \begin{alignat*}{1} t^* &= t^*_1 + t^*_2 = 1,37\,\mathrm{s} + 2,23\,\mathrm{s} = 3,6\,\mathrm{s} \end{alignat*}


Aufgabe 3.13
#175
Auf der Plattform eines Wagens (Masse \(m_1\), Ränder masselos) liegt eine Kiste (Masse \(m_2\)). An dem bis dahin ruhenden Wagen greift eine Kraft \(F\) an, die den Wagen so stark beschleunigt, dass die Kiste rutscht.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_1 &= 200 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 50 \,\mathrm{kg}, \\ l &= 1,0\,\mathrm{m}, &\quad F &= 1,0\,\mathrm{kN}, \\ \mu &= 0,3\,, &\quad g &=9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Zeit \(t^*\), die vergeht bis die Kiste vom Wagen herunterfällt.
Lösung: Aufgabe 3.13
\begin{alignat*}{5} t^* &= \sqrt{\frac{2 m_1 l}{F - \mu g (m_1 + m_2)}} = 1,23\,\mathrm{s} \end{alignat*}


Aufgabe 3.14
#176
In einem anfänglich im Wasser ruhendem Boot (Masse \(m_B\)) befinden sich 3 Personen jeweils mit der Masse \(m_P\). Die Personen springen am Heck des Bootes mit der Relativgeschwindigkeit \(v_{rel}\) ab, so dass sich das Boot entgegengesetzt zur Absprungrichtung mit \(v_B\) bewegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_B &= 160\,\mathrm{kg}, &\quad m_P &= 80\,\mathrm{kg}\\ v_{rel} &= 6\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Bootes nach den jeweiligen Absprüngen, wenn

  2. die Personen nacheinander abspringen,

  3. die Personen alle gleichzeitig abspringen.


Lösung: Aufgabe 3.14
a) \begin{alignat*}{5} v_{B1} &= -1,2\,\mathrm{m/s}, &\quad v_{B2} &= -2,7\,\mathrm{m/s}, &\quad v_{B1} &= -4,7\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v_{B123} &= -3,6\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} Als positive Koordinatenrichtung wird die Sprungrichtung der Person gewählt.


Aufgabe 3.15
#177
Bei einem anfänglich ruhenden System kann sich die um \(s\) gespannte Feder plötzlich entspannen. Die Kugel (Masse \(m_K\)) sowie der Wagen (Masse \(m_W\)) werden dadurch beschleunigt. Reibeffekte sowie die Masse der Räder sollen vernachlässigt werden.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_K &= 0,6 \,\mathrm{kg}, &\quad m_W &= 3,25 \,\mathrm{kg} \\ c &= 64,0 \,\mathrm{N/m}, &\quad s &= 0,425 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Wagens und der Kugel unmittelbar nachdem die Kugel den Wagen verlassen hat.

  2. Wie groß ist dann die Geschwindigkeit der Kugel relativ zum Wagen?


Lösung: Aufgabe 3.15
a) \begin{alignat*}{5} \bar{v}_W &= 0,74\,\mathrm{m/s}, &\quad \bar{v}_K &= -4,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \bar{v}_{rel} &= 4,74\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}


Aufgabe 3.16
#178
Für das dargestellte Bauteil (Stab mit Masse \(m\) und Kugel mit Masse \(M\)) ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der \(z\)-Achse zu bestimmen.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} l &= 1 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,05 \,\mathrm{m} \\ m &= 0,1 \,\mathrm{kg}, &\quad M &= 0,2 \,\mathrm{kg} \end{alignat*}
Ges.:
\begin{alignat*}{1} J_z \end{alignat*}
Lösung: Aufgabe 3.16
\begin{alignat*}{5} J_z &= \frac{1}{3}m l^2 + \frac{2}{5} M r^2 + M(l + r)^2 \end{alignat*}


Aufgabe 3.17
#179
Für das dargestellte Bauteil ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der \(z\)-Achse zu bestimmen. Der Werkstoff besitzt die Dichte \(\rho\).

Geg.:
\begin{alignat*}{5} \rho, &\quad d, &\quad D, &\quad e, &\quad a, &\quad b \end{alignat*}
Ges.:
\begin{alignat*}{1} J_z \end{alignat*}
Lösung: Aufgabe 3.17
\begin{alignat*}{5} J_z &= \frac{1}{2} m_G \left(\frac{D}{2}\right)^2 -6 \left[\frac{1}{2} m_B \left(\frac{d}{2}\right)^2 + m_B e^2 \right] \\ \\ mit &\quad m_G = \rho a \frac{\pi}{4} D^2, \; m_B = \rho b \frac{\pi}{4}d^2 \end{alignat*}


Aufgabe 3.18
#180
Für das dargestellte Bauteil ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der \(z\)-Achse mittels Integration zu bestimmen. Der Werkstoff besitzt die Dichte \(\rho\).

Geg.:
\begin{alignat*}{5} \rho, &\quad b, &\quad h, &\quad t \end{alignat*}
Ges.:
\begin{alignat*}{1} J_z \end{alignat*}
Lösung: Aufgabe 3.18
\begin{alignat*}{5} J_z &= \int_{x =- b/2}^{x=+b/2} \int_{y =- h/2}^{y=+h/2} (x^2+y^2) \rho dy dx \\ \\ J_Z &= \frac{1}{12} m (b^2+h^2) \;\; mit \;\; m = bht\rho \end{alignat*}


Aufgabe 3.19
#181
Der abgebildete dünne Stab (Masse \(m\), Länge \(l\)) befindet sich im Erdschwerefeld und wird aus der ausgelenkten Lage (\(\varphi=\varphi_0\)) losgelassen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l, &\quad m, &\quad \varphi_0, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) zu dem Zeitpunkt des Durchganges durch die vertikale Lage, d.h. bei \(\varphi=0\)?
Lösung: Aufgabe 3.19
\begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{3g}{l}(1- \cos \phi_0)} \end{alignat*}


Aufgabe 3.20
#182
Auf der Welle eines Rotors einer Axialkolbenpumpe mit den gegebenen Abmessungen greift ein konstantes Moment \(M_0\) an.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 20 \,\mathrm{cm}, &\quad b &= 15 \,\mathrm{cm} \\ d &= 2,5 \,\mathrm{cm}, &\quad D &= 12 \,\mathrm{cm} \\ e &= 3,5 \,\mathrm{cm}, &\quad \rho &= 7,5 \,\mathrm{g/cm^3} \\ t_1 &= 2,0 \,\mathrm{s}, &\quad \omega_1 &= 30 \,\mathrm{s^{-1}} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß muß \(M_0\) sein, damit der Rotor aus dem Ruhezustand heraus nach \(t_1\) Sekunden eine Winkelgeschwindigkeit \(\omega_1\) erreicht? Welche Drehzahl \(n_1\) wird nach \(t_1\) Sekunden erreicht?
Lösung: Aufgabe 3.20
\begin{alignat*}{5} J = 0,026\,\mathrm{kgm^2}, &\quad M_0 = 0,393\,\mathrm{Nm}, &\quad n_1 = 286,5\,\mathrm{min^{-1}} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 3.21
#183
Ein Rotor wird durch das Drehmoment \(M(t)\) angetrieben. Zur Zeit \(t=0\) steht der Rotor still.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_1, &\quad t_1, &\quad J \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Drehzahl \(n_2\) nach der Zeit \(t_2 = 2 t_1\)?

  2. \(M(t)\) folgt dabei einem bilinearen Verlauf gemäß Skizze.


Lösung: Aufgabe 3.21
\begin{alignat*}{5} \omega_2 = \frac{3}{2J} M_1 t_1, &\quad n_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} \end{alignat*}


Aufgabe 3.22
#184
Ein gelenkig gelagerter Stab der Länge \(3a\) mit einer Kugel am Ende fällt ohne Anfangsgeschwindigkeit von der Ausgangslage \(\varphi_0\) auf zwei Federn. Die Kugel ist klein gegenüber der Stablänge, so dass die Rotation der Kugel um ihren Schwerpunkt vernachlässigt werden kann. Bei der Masse \(M\) der Kugel wurde der in die Kugel ragende Teil des Stabes bereits abgezogen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} M, &\quad m, &\quad \varphi_0, & \quad g \\ a, &\quad c_1, &\quad c_2 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist der Maximalwinkel \(\varphi_2\), um den sich der Stab unter die Horizontale dreht?
Hinweis: Gehen Sie von einem kleinen Winkel \(\varphi_2\) aus. Vernachlässigen Sie die potentielle Energie beim Drehen der Körper unter die Horizontale.
Lösung: Aufgabe 3.22
a) \begin{alignat*}{5} \omega_1 = \sqrt{\frac{2}{3} \frac{g}{a} \frac{\left(M + \frac{m}{2}\right)}{\left(M + \frac{m}{3}\right)} \sin \varphi_0} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \varphi_2 = \sqrt{\frac{6g}{a} \frac{\left(M + \frac{m}{2}\right)}{\left(c_1 + 4 c_2 \right)} \sin \varphi_0} \end{alignat*}


Aufgabe 3.23
#185
Ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder haben die gleiche Masse und rollen eine schiefe Ebene in x-Richtung die Strecke \(s\) hinab.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} r &= 27 \,\mathrm{mm}, &\quad R &= 30 \,\mathrm{mm} \\ m &= 0,4 \,\mathrm{kg}, &\quad \alpha &= 10 \,^\circ \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad s &= 50 \,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Welcher Körper erreicht eher das Ziel und wie groß ist der Zeitvorsprung?
Lösung: Aufgabe 3.23
Der Vollzylinder ist eher am Ziel. Der Zeitsprung beträgt \(0,12\mathrm{s}\). \begin{alignat*}{5} \end{alignat*}


Aufgabe 3.24
#186
Eine Stufenrolle (Gewichtskraft \(F_G=mg\), Massenträgheitsmoment \(J_S\)) rollt auf einer horizontalen Schiene. Auf der Trommel ist ein masseloses Seil aufgewickelt, an dem mit der konstanten Kraft \(F\) gezogen wird.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_1, &\quad r_2, &\quad m, &\quad F, &\quad J_S \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Beschleunigung des Schwerpunktes und die Kontaktkräfte (Normalkraft \(F_N\), Horizontalkraft \(F_H\)) mit der Schiene?
Lösung: Aufgabe 3.24
\begin{alignat*}{5} \ddot{x} = F \frac{r_2 -r_1}{J_S/r_2 + mr_2} \end{alignat*}


Aufgabe 3.25
#187
Ein Zylinder (Radius \(r\)) rollt aus der Ruhe heraus eine schiefe Ebene hinab und beschleunigt dabei. Anschließend bewegt er sich auf einer Horizontalen, wobei die Widerstandskraft \(F_w\) (Roll- und Luftwiderstand) jetzt berücksichtigt wird. Der Übergang in die Horizontale erfolgt verlustfrei.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_w &= 10,0 \,\mathrm{N}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\ h &= 0,3 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,05 \,\mathrm{m} \\ m &= 100,0 \,\mathrm{kg}, &\quad \alpha &= 30 \,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die translatorische Geschwindigkeit des Zylinders zu Beginn der Horizontalen?

  2. Welche Strecke \(s_{max}\) wird bis zum Stillstand des Zylinders zurück gelegt?


Lösung: Aufgabe 3.25
a) \begin{alignat*}{5} \tilde{v} = 1,98\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} s_{max} = 29,4\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 3.26
#188
Das dargestellte Fahrzeug (Masse \(m\)) besitzt Vorderradantrieb. Zwischen Fahrbahn und Reifen wirkt der Haftreibungskoeffizient \(\mu_0\).

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m, &\quad a, &\quad h , &\quad \mu_0 \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die maximal mögliche Beschleunigung in Fahrtrichtung.
Lösung: Aufgabe 3.26
\begin{alignat*}{5} \ddot{x}_{max} = \frac{\mu_0 g}{2 (1 + \mu_0 h/a)} \end{alignat*}


Aufgabe 4.1
#189
Auf einer homogenen, zylindrischen Walze wird ein masseloses, dehnstarres Seil aufgewickelt. Dabei wird ein Körper (Masse\(m_1\)), welcher an einer masselosen Rolle hängt nach oben bewegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 10 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 50 \,\mathrm{kg} \\ R &= 0,5 \,\mathrm{m}, &\quad M_A &=500 \,\mathrm{Nm} \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Beschleunigung von \(m_1\)?

  2. Wie groß ist die Beschleunigung von \(m_1\), falls das Antriebsmoment \(M_A=0\) ist und das System aus der Ruhe heraus losgelassen wird?


Lösung: Aufgabe 4.1
a) Beschleunigung von \(m_1\): \begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{2 M_A /R - m_1 g}{m_1 + 2m_2} = 17,3\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} b) Beschleunigung von m_1, falls \(M_A = 0\): \begin{alignat*}{1} \ddot{x} &= \frac{-m_1 g}{m_1 + 2m_2} = -0,89\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}


Aufgabe 4.2
#190
Auf einem Band (Masse vernachlässigbar), welches in D befestigt ist und über eine Umlenkrolle (Zylinder mit dem Radius \(r_1\), Masse \(m_1\)) geführt wird liegt ein Zylinder (Radius \(r_2\), Masse \(m_2\)). Im Punkt \(A\) des Bandes greift eine Kraft \(F\) an.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1, &\quad m_2, &\quad r_1, &\quad r_2, &\quad F, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Beschleunigung des Punktes \(A\), wenn das Band an keiner Stelle rutscht?

  2. Wie groß sind die Schnittkräfte im Band?


Lösung: Aufgabe 4.2
a) Beschleunigung des Punktes A: \begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{8 F/m_2 - 4g}{4m_1/ m_2 +3} \end{alignat*} b) Schnittkräfft im Band: \begin{alignat*}{1} S_2 &= \frac{3F + 2m_1 g}{4 m_1/ m_2 +3}, &\quad S_3 &= \frac{F + g(m_2 + 2m_1)}{4 m_1/ m_2 +3} \end{alignat*}


Aufgabe 4.3
#191
Ein Faden, an dem ein Körper (Masse \(m_1\)) hängt wird über eine Rolle geführt, dann reibungsfrei umgelenkt und auf eine lose Stufenrolle gewickelt. Das System befindet sich zunächst in Ruhe. Für die Stufenrolle gilt reines Rollen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 80,0 \,\mathrm{kg} \\ m_3 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad r &= 0,2 \,\mathrm{m} \\ R &= 0,3 \,\mathrm{m}, &\quad h &= 1,0 \,\mathrm{m} \\ J_{2} &= 3,6 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad J_{3S} &= 1,6 \,\mathrm{kgm^2} \\ J_{3B} &= 4,8 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Beschleunigung des Körpers mit der Masse \(m_1\) nach dem Loslassen.

  2. Welche Geschwindigkeit hat der Schwerpunkt der Stufenrolle, wenn der Körper mit der Masse \(m_1\) den Weg \(h\) zurück gelegt hat?


Lösung: Aufgabe 4.3
a) \begin{alignat*}{5} \ddot{y} &= \frac{1}{9}g \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \dot{x} &= \frac{2}{3} \sqrt{2 g h} \end{alignat*}


Aufgabe 4.4
#192
Eine Kabelrolle wird von einer Winde auf einer schiefen Ebene hochgezogen. Die Bewegung erfolgt rollend, ohne zu Gleiten aus der Ruhe heraus.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} r_1 &= 0,1\,\mathrm{m}, &\quad J_1 &= 0,1\,\mathrm{kgm^2} \\ r_2 &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad J_2 &= 0,2\,\mathrm{kgm^2} \\ m_2 &= 20,0\,\mathrm{kg}, &\quad \alpha &= 20 \,^{\circ} \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Ermitteln Sie das Antriebsmoment \(M^\ast_A\), bei welchem die Aufwärtsbewegung der Rolle einsetzt.

  2. Bestimmen Sie den Weg \(x(t)\) der Rolle, wenn \(M_A= 2 M^\ast_A\) ist.


Lösung: Aufgabe 4.4
a) Das System ist praktisch noch in Ruhe unmittelbar bevor die Bewegung einsetzt, d.h.: Reine Statik. \begin{alignat*}{5} M^{*}_A &= \frac{m_2 g \sin \alpha}{1/ r_1 + 1/ r_2} = 5,03\,\mathrm{Nm} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \ddot{x} &= \frac{2 M^{*}_A (1 + r_2 /r_1) -m_2 g r_2 \sin \alpha}{J_2 / r_2 + J_1(1+r_2/r_1)^2/r_2 +m_2 r_2} = 1,68\,\mathrm{m/s^2} \\ \\ x(t) &= 1,68\,\mathrm{m/s^2} \cdot t^2/2 \end{alignat*}


Aufgabe 4.5
#193
Eine Fördereinrichtung wird durch einen Motor mit konstantem Antriebsmoment angetrieben. Zwischen Behälter (Masse \(m_3\)) und schiefer Ebene tritt Reibung auf. Die Massen des Seils und der starren Verbindung zwischen \(m_3\) und der losen Rolle seien vernachlässigbar klein.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} M_A, &\quad m_2, &\quad m_3, &\quad J_1, & \quad J_2 , &\quad \mu \\ r_1, &\quad r_2, &\quad g, &\quad \alpha \end{alignat*}
Ges.:
Beschleunigung \(a\) des Körpers der Masse \(m_3\), wenn das System aus der Ruhe heraus startet.
Lösung: Aufgabe 4.5
\begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{2 M_A /r_1 -(m_2 +m_3)g \sin \alpha - \mu g (m_2 + m_3) \cos \alpha}{4 J_1/r^{2}_1 +J_2 / r^{2}_2 + m_2 +m_3} \end{alignat*} Der Verbindungsspunkt zwischen loser Rolle und Stange ist ein Gelenk. D.h. es müssen nach dem Freischneiden jeweils zwei senkrecht aufeinander stehende Gelenkkräfte eingetragen werden.


Aufgabe 4.6
#194
Eine Kugel (Masse \(m_1\)) und ein Vollzylinder (Masse \(m_2\)) sind durch eine Stange (Masse \(m_3\)) verbunden und rollen schlupffrei eine rauhe schiefe Ebene hinab.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} l &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad R &= 0,25 \,\mathrm{m} \\ m_1 &= 20,0 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 10,0 \,\mathrm{kg} \\ m_3 &= 2,0 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}\\ \alpha &= 30 \,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Beschleunigung der Stange in x-Richtung?
Lösung: Aufgabe 4.6
\begin{alignat*}{5} \ddot{x} &= \frac{m_1 +m_2 +m_3}{\frac{7}{5}m_1 +\frac{3}{2}m_2 +m_3}g \sin \alpha= 3,49\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}


Aufgabe 5.1
#195
Ein homogener, dünner Stab hängt an zwei Federn und ist in \(A\) reibungsfrei drehbar gelagert. Im Ruhezustand befindet sich der Stab in horizontaler Lage.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} m, &\quad l_1, &\quad l_2, &\quad c_1, &\quad c_2 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz, die Schwingungsdauer und die Eigenfrequenz des Systems.
Lösung: Aufgabe 5.1
\begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{3}{m} \cdot \frac{c_1 l^{2}_1 + c_2 l^{2}_2}{l^{2}_1 + l^{2}_2 -l_1 l_2}}, &\quad f &= \frac{\omega}{2\pi}, &\quad T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{alignat*} Mit: \begin{alignat*}{5} J_A &= \frac{m}{3}(l^{2}_1 + l^{2}_2 -l_1 l_2) \end{alignat*}


Aufgabe 5.2
#196
Ein homogener, dünner Stab ist bei \(A\) drehbar gelagert. In der vertikalen Stellung sind die Federn nicht gespannt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m, &\quad a, &\quad c, &\quad g \end{alignat*} Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz und die Schwingungsdauer des Systems.
Ges.:

Lösung: Aufgabe 5.2
\begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{3}{4} \frac{5ca + mg}{ma}}, \quad T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{alignat*}


Aufgabe 5.3
#197
Über einen reibungsfrei gelagerten, homogenen Vollzylinder (Masse \(m_2\), Radius \(R\)) läuft ein masseloses, biegsames, dehnstarres Seil ohne Schlupf, das rechts eine Kiste trägt und links über eine Feder (Konstante \(c\)) mit dem Boden verbunden ist.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} c, &\quad m_1, &\quad m_2, &\quad R, &\quad g \end{alignat*}
Ges.:
  1. Eigenkreisfrequenz, Eigenfrequenz, Schwingungsdauer

  2. \(x(t)\) für die Anfangsbedingungen: \(x(t=0)=x_0\) und \(\dot x (t=0)=v_0\)


Lösung: Aufgabe 5.3
a) \begin{alignat*}{5} \omega &= \sqrt{\frac{2c}{2 m_1 + m_2}}, &\quad f &= \frac{\omega}{2\pi}, &\quad T &= \frac{1}{f} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} x(t) &= x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t) \end{alignat*}


Aufgabe 5.4
#198
Zwei miteinander im Eingriff stehende Zahnräder mit den Massenträgheitsmomenten \(J_1\) und \(J_2\) sind in ihren Schwerpunktachsen gelagert und an zwei Federn befestigt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_1 &= 0,20 \,\mathrm{m}, &\quad r_2 &= 0,30 \,\mathrm{m} \\ R_1 &= 0,60 \,\mathrm{m}, &\quad J_1 &= 0,40 \,\mathrm{kgm^2} \\ J_2 &= 0,1 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad c_1 &= 10000 \,\mathrm{N/m} \\ c_2 &= 20000 \,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für den Fall kleiner Ausschläge die Eigenkreisfrequenz \(\omega_0\).
Lösung: Aufgabe 5.4
\begin{alignat*}{5} \omega_0 &= \sqrt{\frac{c_1 r^{2}_1 + c_2 R^{2}_1}{J_1 + J_2 R^{2}_1 /r^{2}_2}} = 97,5\,\mathrm{/s} \end{alignat*}


Aufgabe 5.5
#199
Das gegebene System, bestehend aus Feder, Masse und Dämpfer führt schwach gedämpfte Schwingungen aus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m & = 1000 \,\mathrm{kg}, &\quad c & = 1,6\cdot10^5 \,\mathrm{N/cm} \\ b & = 2350 \,\mathrm{kg/s} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems?

  2. Nach welcher Zeit ist die Amplitude einer freien Schwingung auf \(10\%\) des Anfangswertes abgeklungen? Wieviel Schwingungen werden in dieser Zeit ausgeführt?


Lösung: Aufgabe 5.5
a) \begin{alignat*}{5} \omega_D &= 126,5\,\mathrm{/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \tilde{t} &= 1,96\,\mathrm{s} \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} N &= 39,46 \end{alignat*}


Aufgabe 5.6
#200
Eine masselose, starre Stange mit Feder und Dämpfer trägt eine Kugel (Masse \(m\)).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m & = 500 \,\mathrm{kg}, &\quad c & = 1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/cm} \\ a & = 0,25 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Welche Bedingung muss die Dämpfungskonstante \(b\) erfüllen, damit das System eine schwach gedämpfte Schwingung ausführt?

  2. Wie lautet die Lösung der Bewegungsgleichung, wenn folgende Anfangsbedingungen gelten: \(\varphi(0)=0\) und \(\dot{\varphi}(0)=\dot{\varphi}_0\)?


Lösung: Aufgabe 5.6
a) \begin{alignat*}{5} d \leq \frac{4}{9} \sqrt{mc} = 31427\,\mathrm{kg/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \varphi(t) &= \frac{\dot{\varphi}_0}{\omega_D}e^{-\delta t} \cos(\omega_D t - \pi / 2) \end{alignat*}


Aufgabe 5.7
#201
Eine Maschine (Masse \(m_1\)) gibt eine in \(x\)-Richtung wirkende Erregerkraft \(F_0 \cos \Omega t\) an das Fundament (Masse \(m_2\)) ab. Das Fundament ist gegen den starren Boden elastisch gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} m_1 &= 100\,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 650\,\mathrm{kg} \\ F_0 &= 250\,\mathrm{N}, &\quad \Omega &= 2\,\mathrm{rad/s} \\ c &= 30\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Geben Sie die stationäre Lösung \(x_p(t)\) des Systems an.

  2. Bei welcher Erregerfrequenz \(\Omega\) tritt Resonanz auf?


Lösung: Aufgabe 5.7
a) \begin{alignat*}{5} x_p(t) &= 9,26\,\mathrm{mm} \cos(\frac{2}{s}t) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \Omega_R &= 6,32\,\mathrm{/s} \end{alignat*}


Aufgabe 6.1
#202
Ein Körper (Masse \(m_1\)) wird in der Höhe \(h_1\) ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen, bewegt sich reibungsfrei abwärts und stößt (Stoßzahl \(e\)) bei \(A\) auf einen ruhenden Körper (Masse \(m_2\)).

Geg.:
\begin{alignat*}{5} \frac{m_2}{m_1} &= 4, &\quad e &= 0,8, &\quad h_1 &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Auf welche Höhe \(h_2\) gleitet Körper \(1\) nach dem Stoß zurück?

  2. Wie groß ist die Geschwindigkeit von Körper \(2\) unmittelbar nach dem Stoß ?


Lösung: Aufgabe 6.1
a) \begin{alignat*}{5} h_2 &= 0,194\,\mathrm{m} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \bar{v}_2 &= -1,59\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}


Aufgabe 6.2
#203
Ein Fahrzeug (Masse \(m_1\)) fährt auf ein stehendes Fahrzeug (Masse \(m_2\)) auf, das mit blockierten Rädern dadurch um die Strecke \(s\) verschoben wird.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m_1&=1500\,\mathrm{kg}, &\quad m_2&=1000\,\mathrm{kg}, &\quad \mu&=0,5\\ s&=10,0\,\mathrm{m}, &\quad e&=0,15, &\quad g&=9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} Wie groß war die Auffahrgeschwindigkeit?
Ges.:

Lösung: Aufgabe 6.2
\begin{alignat*}{5} v_1 &= 14,3\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}


Aufgabe 6.3
#204
Ein reibungsfrei rollender Wagen (Masse \(m_1\)) stößt mit der Geschwindigkeit \(v_1\) idealplastisch gegen einen stehenden Wagen (Masse \(m_2\)), der ebenfalls reibungsfrei rollen kann. Über eine Feder (Federkonstante \(c\)) ist der zweite Wagen an einen Klotz (\(m_3\)) gekoppelt, der auf einer rauen Unterlage (Haftreibungskoeffizient \(\mu_0\)) liegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 100\,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 125\,\mathrm{kg} \\ m_3 &= 150\,\mathrm{kg}, &\quad c &= 10\,\mathrm{N/mm} \\ \mu_0 &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß darf \(v_1\) höchstens sein, damit der Klotz nicht rutscht?
Lösung: Aufgabe 6.3
\begin{alignat*}{5} v^{max}_1 &= g \mu_0 \frac{m_3}{m_1} \sqrt{\frac{m_1+m_2}{c}} \end{alignat*}


Aufgabe 6.4
#205
Ein Körper 1 (Masse \(m_1\), Geschwindigkeit \(v_1\)) stößt auf einen Körper 2 (Masse \(m_2\)), welcher auf einem Körper 3 (Masse \(m_3\)) liegt. Der Stoß ist rein elastisch (\(e=1\)). Körper 2 und 3 befinden sich in Ruhe. Zwischen diesen Körpern herrscht Reibung. Körper 3 ist reibungsfrei gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 1 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 1 \,\mathrm{kg}, &\quad m_3 &= 10 \,\mathrm{kg} \\ v_1 &= 1 \,\mathrm{m/s}, &\quad e &= 1 , &\quad g &=9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ \mu &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit \(\tilde{v}\) von Körper \(2\) und \(3\), wenn diese relativ zueinander in Ruhe sind.

  2. Wir groß ist zu diesem Zeitpunkt die Strecke \(s\), welche Körper \(2\) relativ zu Körper \(3\) zurückgelegt hat?


Lösung: Aufgabe 6.4
a) \begin{alignat*}{5} \tilde{v} &= \frac{m_2}{m_2 +m_3}v_1 = 0,091\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} s &= \frac{v^{2}_1}{2 g \mu}\frac{1}{(1+ m_2/m_3)} = 0,154\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 7.1
#206
Zwei Wagen können sich reibungsfrei auf der Horizontalen bewegen und sind über \(2\) Federn gekoppelt. Das schwingungsfähige System wird über die Kraft \(F(t)\) erregt.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} m_1\,, m_2\,, c_1\,, c_2\,, F(t)\, \end{alignat*}
Ges.:
  1. Freiheitsgrad \(f\) des Systems

  2. Bewegungsgleichungen des Systems mittels Lagrangescher Gleichungen 2. Art


Lösung: Aufgabe 7.1
a) Freiheitsgrad: \(f= 2\): \begin{alignat*}{5} \end{alignat*} b) Bewegungsgleichung für \(q_1 =x_1\) und \(q_2 =x_2\) (Beide Koordinaten zeigen in Richtung der angreifenden Kraft): \begin{alignat*}{1} m_1 \ddot{x}_1 + c_1 x_1 - c_2(x_2-x_1) &=0 \\ \\ m_2 \ddot{x}_2 + c_2(x_2-x_1) &= F(t) \end{alignat*}


Aufgabe 7.2
#214
Eine drehbar gelagerte Kreisscheibe und ein reibungsfrei auf Rollen gelagerter Körper sind über eine Feder verbunden.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} J_S & , &\quad m & , &\quad c & , &\quad r \end{alignat*}
Ges.:
  1. Freiheitsgrad \(f\) des Mechanismus

  2. Bewegungsgleichungen des Systems mittels Lagrangescher Gleichung 2. Art


Lösung: Aufgabe 7.2
\begin{alignat*}{2} m \ddot{x} + c x - c r \varphi &= 0 \\ J_S \ddot{\varphi} + c r^2 \varphi - c r x &= 0 \end{alignat*}


Aufgabe 7.3
#208
Das dargestellte Doppelpendel besteht aus zwei gelenkig miteinander verbundenen Stäben. Das Doppelpendel führt infolge einer Anfangsauslenkung freie Schwingungen aus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1\,, m_2\,, l_1\,, l_2\,, g \end{alignat*}
Ges.:
Bewegungsgleichungen des Systems mittels Lagrangescher Gleichungen 2. Art
Lösung: Aufgabe 7.3
Als Abkürzung wird verwendet: \(s_1=l_1/2 und s_2=l_2/2\). \begin{alignat*}{5} \left[\left(\frac{s_1}{l_1}\right)^2+\frac{J_{S1}}{m_1 l^{2}_1}+\frac{m_2}{m_1}\right]\ddot{\varphi}_1 + \left[\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1}\cos(\varphi_1-\varphi_2) \right]\ddot{\varphi}_2 &= -\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \dot{\varphi}^{2}_2 \sin(\varphi_1 -\varphi_2) - \left(\frac{s_1}{l_1}+\frac{m_2}{m_1}\right)\frac{g}{l_1}\sin \varphi_1 \\ \\ \left[\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1}\cos(\varphi_1-\varphi_2) \right]\ddot{\varphi}_1 + \left[\frac{m_1}{m_2}\left(\frac{s_2}{l_1}\right)^2+\frac{J_{S2}}{m_1 l^{2}_1}\right]\ddot{\varphi}_2 &= \frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \dot{\varphi}^{2}_1 \sin(\varphi_1 -\varphi_2) -\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \frac{g}{l_1} \sin \varphi_2 \end{alignat*}


Aufgabe 7.4
#207
Ein zentrischer Schubkurbelmechanismus besteht aus einer stabförmigen Kurbel (\(l_1\), \(m_1\)) und einem stabförmigen Pleuel (\(l_2\), \(m_2\)). Der reibungsfrei geführte Kolben besitzt die Masse \(m_3\) und wird durch das konstante Moment \(M_A\) angetrieben.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m_1\,, m_2\,, m_3\,, l_1\,, l_2\,, M_A \end{alignat*}
Ges.:
  1. Freiheitsgrad \(f\) des Mechanismus

  2. Bewegungsgleichung für den Winkel \(\varphi\) mittels Lagrangescher Gleichung 2. Art


Lösung: Aufgabe 7.4
a) Freiheitsgrad: \(f=1\) \begin{alignat*}{5} \end{alignat*} b) Bewegungsgleichung für \(q=\varphi\): \begin{alignat*}{1} \left[ \frac{2}{3}m_1 +\sin^2 \varphi(2m_1 +4m_3)\right]l^{2}_1 \ddot{\varphi}+\sin(2\varphi)(m_1+2m_3)l^{2}_1 \dot{\varphi}^2 = M_A \end{alignat*}     Sonderfall: \(m_1= m_2=0\) \begin{alignat*}{5} \sin^2 \varphi 4 m_3 l^{2}_1 \ddot{\varphi} + \sin(2\varphi)2 m_3 l^{2}_1 \dot{\varphi}^2 = M_A \end{alignat*}


Aufgabe 8.1
#209
Eine Kreisscheibe (Radius \(R\), Masse \(m\)) ist außermittig auf einer mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) rotierenden Welle montiert. Der Abstand vom Schwerpunkt der Scheibe zur Welle ist \(e\).

Geg.:
\begin{alignat*}{5} R &= 0,5\, \mathrm{m}, &\quad \omega &= 314\, \mathrm{/s} \\ e &= 0,002\, \mathrm{m}, &\quad m &= 40\, \mathrm{kg} \\ l_1 &= 0,75\, \mathrm{m}, &\quad l_2 &= 1,25\, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\) in dem im Punkt \(O\) platzierten körperfesten Koordinatensystem an.
Lösung: Aufgabe 8.1
\begin{alignat*}{5} F_{A\hat{x}} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad F_{B\hat{x}} &= 0\,\mathrm{N}, \\ F_{A\hat{y}} &= -4685\,\mathrm{N}, &\quad F_{B\hat{y}} &= -2810\,\mathrm{N}, \\ F_{A\hat{z}} &= 0\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 8.2
#210
Eine Kreisscheibe (Radius \(R\), Masse \(m\)) ist mit einer Schiefstellung \(\alpha\) auf einer mit der konstanten Winkelgeschwingdigkeit \(\omega\) drehenden, massenlos angenommenen Welle montiert.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m &= 40\,\mathrm{kg}, &\quad l &= 2,0\,\mathrm{m} \\ R &= 0,5\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 1\, ^\circ \\ h&= 0,03\,\mathrm{m}, &\quad \omega &= 314\,\mathrm{/s} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Auflagerreaktionen in horizontaler und vertikaler Richtung, wenn sich die Scheibe in der skizzierten Lage befindet?
Lösung: Aufgabe 8.2
\begin{alignat*}{5} F_B &= -\frac{1}{l}(J_1 -J_2) \omega_1 \omega_2 +\frac{1}{2}mg \\ \\ F_B &= -2510\,\mathrm{N} +196\,\mathrm{N}, \\ \\ F_{AV} &= 2346\,\mathrm{N}, \\ \\ F_{AH} &= 0\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 8.3
#211
Der Kreisel besteht aus einer dünnen Scheibe (Masse \(m\), Radius \(r\) ) und einem masselosen Stab (Länge \(l\)). Der Kreisel dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega_S\) um seine Längsachse. Die Stabachse ist kollinear mit der horizontalen \(y\) Achse.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m &= 10\, \mathrm{kg}, &\quad r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad l &= 0,5\,\mathrm{m} \\ \omega_S &= 300\, \mathrm{/s}, &\quad g &= 9,81\, \mathrm{m/s^2} & & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit um die vertikale Achse \(\omega_P\).
Lösung: Aufgabe 8.3
\begin{alignat*}{2} \omega_P = -0,36\,\mathrm{/s} \end{alignat*}


Aufgabe 8.4
#212
Bei einer Kollermühle rotiert die Achse \(a\) des kreisförmigen Mahlsteins (Masse \(m\)) mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit \(\Omega\) um den raumfesten Punkt \(K\). Der Mahlstein rollt ohne zu Gleiten auf der Unterlage.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} \Omega &= 10\,\mathrm{/s}, &\quad m&= 100\,\mathrm{kg}, &\quad g&= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ R&= 0,5\,\mathrm{m}, &\quad r&= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Betimmen Sie die Kraft zwischen Mahlstein und Unterlage.
Lösung: Aufgabe 8.4
\begin{alignat*}{5} F_K &= m \left(\frac{\Omega^2 R}{2} +g\right) = 100(25+9,81)\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Verständnisfragen

  1. Wie ist der Geschwindigkeitsvektor definiert?
  2. Wie ist der Beschleunigungsvektor definiert?
  3. Wie wird der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor ausgehend von einem bekannten Ortsvektor als Funktion der Zeit berechnet?
  4. Wie berechnet man den Betrag des Geschwindigkeitsvektors, wenn die Koordinaten dieses Geschwindigkeitsvektor in einem kartesischen Koordinatensystem bekannt sind?
  5. Erläutern Sie Mit Hilfe einer Skizze den Begriff Bahnkurve. Stellen Sie den entsprechenden Ortsvektor mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems dar.
  6. Was wird unter den Anfangsbedingungen der Bewegung eines Körperpunktes verstanden?
  7. Warum wird neben dem kartesischen Koordinatensystem z.b. auch das Polarkoordinatensystem verwendet?
  8. Welchen prinzipiellen Unterschied gibt es bezüglich der Einheitsvektoren eines kartesischen Koordinatensystems und eines Polarkoordinatensystem?
  9. Erläutern Sie die Begriffe Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung!
  10. Erläutern Sie die Begriffe Relativbewegung und absolut Bewegung anhand eines Beispiels.
  11. Was versteht man unter einer Coriolisbeschleunigung. Unter welchen Bedingungen tritt diese auf?

  1. Wie berechnet man Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes eines starren Körpers, der um eine feste Achse rotiert?
  2. Wie berechnet man die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes eines starren Körpers, wenn die Geschwindigkeit eines speziellen Punktes und die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers bekannt sind? Beantworten Sie die Frage mit Hilfe einer Skizze.
  3. Wie lautet die Beziehung zwischen der Drehzahl und der Winkelgeschwindigkeit einer Welle? Geben Sie bei der Beantwortung der Frage die Maßeinheiten mit an.
  4. Was verstehen sie unter dem Momentanpol der Geschwindigkeiten bei der ebenen Bewegung eines starren Körpers?
  5. Welche Aussage können Sie bezüglich der Geschwindigkeit eines Punktes im Abstand r vom Momentanpol treffen?

  1. Was verstehen sie unter den d'Alembertschen Massenkräften und wie ist ihr Richtungssinn definiert?
  2. Wie bestimmt man die Reibkraft zwischen zwei aufeinander gleiten den Körpern?
  3. Ein Körper bewegt sich translatorisch infolge der Wirkung einer äußeren Kraft. Geben Sie je ein Beispiel für eine konstante Kraft, eine von der Lage des Körpers und eine von der Geschwindigkeit des Körpers abhängig in Kraft.
  4. Was verstehen sie unter den Begriffen Impuls, Drehimpuls kinetische Energie, Arbeit und Leistung? Nutzen Sie zur Beantwortung der Fragen Formeln.
  5. Erläutern Sie den Impuls und den Impulserhaltungssatz für starre Körper bei Translationen.
  6. Wie berechnet man die Arbeit einer konstanten Kraft, die einen Körper geradlinig bewegt?
  7. Wie groß ist die potentielle Energie einer linearen Feder mit der Federkonstante c, die um den Weg es aus der entgespannten Lage zusammengedrückt wird?
  8. Was lässt sich über die Kraft an einem Körper aussagen, wenn sich die Arbeit als vom Weg unabhängig erweist?
  9. Wie ist das Massenmoment eines starren Körpers definiert, der um eine raumfeste Achse rotiert?
  10. Wie kann man das Massenmoment bezogen auf eine Achse, die der Schwerpunktachse parallel ist, berechnen, wenn man dazu dass Massenmoment bezüglich der Schwerpunktachse verwendet?
  11. Wie viel Freiheitsgrade besitzt ein starrer Körper, der sich nur in der Ebene bewegen kann?
  12. Wie berechnet man die Leistung eines Momentes, das einen um eine feste Achse rotierenden starren Körper mit der Winkelgeschwindigkeit Omega dreht?
  13. Welche Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichung eines Systems mit dem Freiheitsgrad 1 kennen sie?
  14. Wann ist bei der Lösung von Aufgaben der Dynamik die Anwendung des Impulssatzes und wann die Anwendung des Arbeitssatzes von Vorteil?

  1. Was versteht man unter den Begriffen Freiheitsgrad Zwangsbedingung und Zwangskräfte?
  2. Skizzieren Sie zwei einfache Systeme starrer Körper mit dem Freiheitsgrad 1 und geben Sie dazu die Zwangsbedingungen an!

  1. Was verstehen sie allgemein unter einer Schwingung und was speziell unter einer harmonischen Schwingung?
  2. Erläutern Sie für eine harmonische Schwingung die Begriffe Kreisfrequenz, Frequenz, Schwingungsdauer, Nullphasenwinkel und Amplitude!
  3. Welche Art der Bewegung entsteht, wenn zwei harmonische Schwingungen überlagert werden, deren Kreisfrequenzen
  4. a) gleich sind, b) in einem rationalen Verhältnis stehen, c) ein Verhältnis bilden, das eine irrationale Zahl darstellt?
  5. Welche Art der Bewegung entsteht, wenn zwei harmonische Schwingungen überlagert werden, deren Kreisfrequenzen sich nur wenig voneinander unterscheiden?
  6. Von welchen Parametern hängt die Eigenfrequenz eines Schwingers mit einem Freiheitsgrad ab?
  7. Welche Beziehungen bestehen zwischen der Eigenkreisfrequenz Omega der Eigenfrequenz f und der Schwingungsdauer T?
  8. Wovon hängt die Amplitude der freien Schwingung eines Systems mit einem Freiheitsgrad ab?
  9. Wie wird die Schwingungsdauer eines Feder-Masse-Systems berechnet?
  10. Skizzieren Sie den Verlauf einer gedämpften Schwingung und bezeichnen sie die charakteristischen Größen?
  11. Wann spricht man von einer erzwungenen Schwingung? Welche Möglichkeiten der Erregung gibt es? Geben Sie diesbezüglich zwei Beispiele an.
  12. Mit welcher Frequenz schwingt im stationären Zustand ein harmonisch erregter, linearer Schwinger?
  13. Erläutern Sie den Begriff Vergrößerungsfunktion!
  14. Erläutern Sie den Begriff Resonanz!
  15. Von welchen Parametern hängt die Amplitude der erzwungenen Schwingung ab?
  16. Was versteht man unter dem Begriff Abstimmungsverhältnis?

  1. Worin unterscheidet sich ein gerader von einem schiefen Stoß?
  2. Was versteht man unter einem zentrischen und was unter einem exzentrischen Stoß?
  3. Erläutern Sie die Stoßphasen anhand eines geraden zentrischen Stoßes zweier Körper.
  4. Welche physikalische Größe bleibt beim Stoß zweier Körper erhalten?
  5. Was versteht man unter der Stoß Zahl k ? Was bedeutet k=1 und was bedeutet k=0?

Videovorlesungen

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