Festigkeitslehre
TM2
Aufgaben
Aufgabe 1.1
#75
Ein Metallstreifen der Dicke \(t=1\,\mathrm{mm}\) wird an beiden Seiten durch eine
gleichmäßig über die Breite \(b\) verteilte Kraft \(F\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \mbox{für }F=0\,\mathrm{N}\mbox{:} &\quad b_0 & = 30,012\, \mathrm{mm}\mbox{,} \\ &\quad l_0 & = 100,21\,\mathrm{mm}\ \\ \mbox{für }F=6000\,\mathrm{N}\mbox{:} &\quad b & = 29,971\,\mathrm{mm}\mbox{,} \\ &\quad l & = 100,66\,\mathrm{mm}\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie den Elastizitätsmodul \(E\) und die Querkontraktionszahl \(\nu\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \mbox{für }F=0\,\mathrm{N}\mbox{:} &\quad b_0 & = 30,012\, \mathrm{mm}\mbox{,} \\ &\quad l_0 & = 100,21\,\mathrm{mm}\ \\ \mbox{für }F=6000\,\mathrm{N}\mbox{:} &\quad b & = 29,971\,\mathrm{mm}\mbox{,} \\ &\quad l & = 100,66\,\mathrm{mm}\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie den Elastizitätsmodul \(E\) und die Querkontraktionszahl \(\nu\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.1
\begin{alignat*}{5}
\nu & = 0,3 \,, &\quad
E & = 44520 \, &&\mathrm{N/mm^2} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.2
#76
Ein Gummistreifen mit einem aufgezeichneten Viereck wird beidseitig durch
eine gleichmäßig verteilte Last \(p\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \mbox{unbelastet:}&\quad a_0 &=28,3\,\mathrm{mm}, &\quad b_0 & = 28,3\,\mathrm{mm} \\ \mbox{belastet:} &\quad a &=36,3\,\mathrm{mm}, &\quad b &= 24,6\,\mathrm{mm} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Querkontraktionszahl \(\nu\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \mbox{unbelastet:}&\quad a_0 &=28,3\,\mathrm{mm}, &\quad b_0 & = 28,3\,\mathrm{mm} \\ \mbox{belastet:} &\quad a &=36,3\,\mathrm{mm}, &\quad b &= 24,6\,\mathrm{mm} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Querkontraktionszahl \(\nu\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.2
\begin{alignat*}{5}
\nu & = 0,46 \, &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.3
#77
Die dargestellte Bolzenverbindung ist hinsichtlich ihrer Beanspruchbarkeit
nachzuweisen. Dabei ist für den Bolzen der Nachweis bezüglich Abscheren
und für das Blech der Nachweis bezüglich Zug zu führen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F & = 200\,\mathrm{N}, &\quad d &=4\,\mathrm{mm}\\ h & = 4\,\mathrm{mm}, &\quad b &=10\,\mathrm{mm} \\ \end{alignat*} \begin{alignat*}{3} \sigma_{zul} & = 50\,\mathrm{\frac{N}{mm^2}}, \quad \tau_{zul} & = 30\,\mathrm{\frac{N}{mm^2}} \end{alignat*}
Ges.:
Vergleichen Sie die vorhandenen mittleren Spannungen (Nennspannungen) mit den zulässigen Werten.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F & = 200\,\mathrm{N}, &\quad d &=4\,\mathrm{mm}\\ h & = 4\,\mathrm{mm}, &\quad b &=10\,\mathrm{mm} \\ \end{alignat*} \begin{alignat*}{3} \sigma_{zul} & = 50\,\mathrm{\frac{N}{mm^2}}, \quad \tau_{zul} & = 30\,\mathrm{\frac{N}{mm^2}} \end{alignat*}
Ges.:
Vergleichen Sie die vorhandenen mittleren Spannungen (Nennspannungen) mit den zulässigen Werten.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.3
Bolzen-Abscheren:
\begin{alignat*}{5}
\tau & = 8\,\mathrm{MPa} < \tau_{zul} & \quad
\end{alignat*}
Blech-Zug:
\begin{alignat*}{1}
\sigma & = 8,3\,\mathrm{MPa} < \sigma_{zul} & \quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.4
#78
Ein an einem Seil hängendes Fahrzeug mit der Gewichtskraft \(F_G\) wird
langsam einen Berg hochgezogen. Das Seil hat die Querschnittsfläche \(A_S\).
Geg.:
\begin{alignat*}{4} \alpha &=30^\mathrm{{\circ}}, & \quad A_S &=490\,\mathrm{mm^2}, & \quad F_G & = 130\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die Zugspannung \(\sigma\) im Seil.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} \alpha &=30^\mathrm{{\circ}}, & \quad A_S &=490\,\mathrm{mm^2}, & \quad F_G & = 130\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die Zugspannung \(\sigma\) im Seil.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.4
\begin{alignat*}{5}
\sigma & = 132,6\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 1.5
#79
Die dargestellte Konstruktion überträgt ein Torsionsmoment \(M_0\).
Die Scheiben sind mit Schrauben des Durchmessers \(D=20\,\mathrm{mm}\) verbunden.
Das Moment wird vollständig durch die Schrauben übertragen. Es erfolgt keine Kraftübertragung durch Reibung.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &=150\,\mathrm{mm}, &\quad \tau_{zul,\,Schraube} &=90\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie das maximal übertragbare Torsionsmoment \(M_0\) an.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &=150\,\mathrm{mm}, &\quad \tau_{zul,\,Schraube} &=90\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie das maximal übertragbare Torsionsmoment \(M_0\) an.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.5
\begin{alignat*}{5}
M_0 & = 8,48\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.1
#80
Ein Brückenpfeiler aus Beton (Dichte \(\rho\)) ist durch die Kraft \(F\) und
sein Eigengewicht belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F & = 1,0\,\mathrm{MN}, &\quad l & = 10\,\mathrm{m}, &\quad \rho & =2,3\,\mathrm{g/cm^3} \\ t & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad b & = 1,0\,\mathrm{m}, &\quad B & = 2,0\,\mathrm{m} \\ g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F & = 1,0\,\mathrm{MN}, &\quad l & = 10\,\mathrm{m}, &\quad \rho & =2,3\,\mathrm{g/cm^3} \\ t & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad b & = 1,0\,\mathrm{m}, &\quad B & = 2,0\,\mathrm{m} \\ g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie die Spannung \(\sigma\) als Funktion von \(x\) zunächst bei Vernachlässigung des Eigengewichts.
- Geben Sie \(\sigma(x=l)\) an. Berücksichtigen Sie nun aber auch das Eigengewicht.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.1
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma(x) &= -\frac{F}{A(x)} &\quad mit &\quad A(x) &= bt + (B-b)t\frac{x}{l}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma(x=l) &= -1,0\,\mathrm{N/mm^2} - 0,169\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.2
#81
Ein Stab mit stückweise konstantem Querschnitt trägt die Kräfte
\(F_1\) und \(F_2\). Sein Eigengewicht kann vernachlässigt werden.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 & = 12\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 9\,\mathrm{kN}, &\quad l_1 & = 30\,\mathrm{cm} \\ l_2 & = 40\,\mathrm{cm}, &\quad A_1 & =80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E & =2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 & = 12\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 9\,\mathrm{kN}, &\quad l_1 & = 30\,\mathrm{cm} \\ l_2 & = 40\,\mathrm{cm}, &\quad A_1 & =80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E & =2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Spannung im oberen Querschnitt.
- Ermitteln Sie die Querschnittsfläche \(A_2\) so, dass im unteren Querschnitt die gleiche Spannung wie im oberen herrscht.
- Ermitteln Sie \(\Delta l\) am Angriffspunkt von \(F_1\).
Hilfestellung 3
>
Lösung: Aufgabe 2.2
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma_1 &= -150\,\mathrm{N/mm^2},
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
A_2 &= 140\,\mathrm{mm^2},
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{1}
\Delta l &= -0,5\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.3
#82
Ein starrer Körper mit dem Gewicht \(F_G\) ist bei \(A\) gelenkig gelagert und
außerdem an den elastischen Seilen 1 und 2 aufgehängt. Alle Seile haben
den gleichen Elastizitätsmodul \(E\) und Querschnitt \(A\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 240 \,\mathrm{N}, &\quad a & = 5 \,\mathrm{cm}, &\quad E & = 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ A & = 0,5 \,\mathrm{mm^2}, &\quad l & = 6 \,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Spannung in den zwei Seilen und die Verlängerung \(\Delta l_1\) des Seiles 1.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 240 \,\mathrm{N}, &\quad a & = 5 \,\mathrm{cm}, &\quad E & = 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ A & = 0,5 \,\mathrm{mm^2}, &\quad l & = 6 \,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Spannung in den zwei Seilen und die Verlängerung \(\Delta l_1\) des Seiles 1.
Hilfestellung 2
Überlegen Sie zunächst, ob es sich bei den Stäben \(1\) und \(2\) um eine Parallelschaltung oder um eine Reihenschaltung handelt.
Denken Sie daran, dass ihre Gleichgewichtsbedingungen und damit ihr Freikörperbild mit der kinematischen Beziehung zwischen den Längenänderungen der Stäbe \(1\) und \(2\) zusammenpassen muss.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.3
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{S1} &= 48\,\mathrm{MPa}, &\quad
\sigma_{S2} &= 96\,\mathrm{MPa}, &\quad
\Delta l_1 &= 0,0137\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.4
#83
Eine starre Scheibe ist bei \(A\) gelenkig gelagert und wird zusätzlich durch
zwei elastische Stahlseile mit den Querschnitten \(A_1\) bzw. \(A_2\) gehalten.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= 10 \,\mathrm{kN}, &\quad A_1&= 240\,\mathrm{mm^2}, &\quad A_2 &= 80 \,\mathrm{mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkräfte.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= 10 \,\mathrm{kN}, &\quad A_1&= 240\,\mathrm{mm^2}, &\quad A_2 &= 80 \,\mathrm{mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkräfte.
Hilfestellung 2
Achten Sie beim Freischneiden darauf, dass Sie Kräfte immer als Zugkräfte eintragen.
Ob es sich dabei am Ende um Zug oder Druck handelt, entscheidet das Vorzeichen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.4
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= \frac{18}{11}F\, = 16,36\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= \frac{4}{11}F\, = 3,63\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.5
#84
Über eine Schraube aus Stahl wird ein Kupferrohr geschoben und durch die Schraubenmutter
ohne Vorspannung fixiert. Anschließend wird die Mutter um \(n\) Umdrehungen
angezogen. Die Ganghöhe des Gewindes ist \(h=0,5\,
\mathrm{mm}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= 3, &\quad l &= 100\,\mathrm{mm} \\ A_{Rohr} &= 80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Kupfer} &= 1,2\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \\ A_{Schraube}&= 120\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Stahl}&= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= 3, &\quad l &= 100\,\mathrm{mm} \\ A_{Rohr} &= 80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Kupfer} &= 1,2\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \\ A_{Schraube}&= 120\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Stahl}&= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Kraft in der Schraube.
- Berechnen Sie die Verlängerung der Schraube sowie die Verkürzung des Kupferrohres.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.5
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{Schraube} &= 104,7\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\Delta l_{Rohr} &= -1,09\,\mathrm{mm}, &\quad
\Delta l_{Schraube} &= 0,41\,\mathrm{mm} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.6
#85
Ein abgesetzter Stab befindet sich zwischen zwei starren Wänden und wird erwärmt.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} l_1 &= 2\,\mathrm{m}, & \quad l_2 &= 1,5\,\mathrm{m}\\ \Delta T & = 40\,\mathrm{K}, &\quad \delta &=1,2\,\mathrm{mm}\\ A_1 &= 800\,\mathrm{mm^2}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\, \mathrm{K^{-1}}\\ A_2 &= 700\,\mathrm{mm^2} , &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{5} l_1 &= 2\,\mathrm{m}, & \quad l_2 &= 1,5\,\mathrm{m}\\ \Delta T & = 40\,\mathrm{K}, &\quad \delta &=1,2\,\mathrm{mm}\\ A_1 &= 800\,\mathrm{mm^2}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\, \mathrm{K^{-1}}\\ A_2 &= 700\,\mathrm{mm^2} , &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie die Temperaturerhöhung \(\Delta \tilde{T}\), bei der der Spalt gerade so geschlossen wird.
- Wie groß ist die Druckkraft im System bei Erwärmung um \(\Delta T\)?
- Ermitteln Sie die betragsmäßig größte Spannung im System nach der Erwärmung um \(\Delta T\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.6
a)
\begin{alignat*}{5}
\Delta \tilde{T} &= 28,6\, \mathrm{K} &\quad
\end{alignat*}
b) Die Druckkraft in beiden Stäben ist gleich und beträgt:
\begin{alignat*}{1}
F &= -2,17 \cdot 10^4\, \mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
c) Die betragsmäßig größte Spannung tritt im Querschnitt \(A_2\) auf:
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{max} &= 31,0\,\mathrm{MPa} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.7
#86
Ein beidseitig eingespannter Stab besteht aus homogenem Material
und besitzt einen konstanten Querschnitt. Der mittlere Bereich wird um \(\Delta T\)
erwärmt. Dadurch wird sich dieser Bereich verlängern und die beiden
verbleibenden Bereiche werden sich verkürzen.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 100 \,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 100\,\mathrm{mm} \\ E &= 100 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad A &= 100 \,\mathrm{mm^2} \\ \alpha_{th} &=3 \cdot \,10^{-4} \,\mathrm{K^{-1}}, & \quad \Delta T &= 200 \,\mathrm{K} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die sich infolge der Erwärmung einstellenden Längenänderungen in den drei Bereichen.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 100 \,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 100\,\mathrm{mm} \\ E &= 100 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad A &= 100 \,\mathrm{mm^2} \\ \alpha_{th} &=3 \cdot \,10^{-4} \,\mathrm{K^{-1}}, & \quad \Delta T &= 200 \,\mathrm{K} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die sich infolge der Erwärmung einstellenden Längenänderungen in den drei Bereichen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.7
a) Verkürzung des linken und des rechten Bereichs:
\begin{alignat*}{5}
\Delta l_{1} &= -2,0\,\mathrm{mm} &\quad
\end{alignat*}
b) Verlängerung des mittleren Bereichs:
\begin{alignat*}{1}
\Delta l_{2} &= 4,0\,\mathrm{mm} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.8
#87
Ein Stab wird nur durch sein Eigengewicht belastet. Dieses wird durch die
Streckenlast \(n\) repräsentiert.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= \rho g A, & \quad \Delta T &= 0 \\ EA &= konst., & \quad l & \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} n &= \rho g A, & \quad \Delta T &= 0 \\ EA &= konst., & \quad l & \end{alignat*}
Ges.:
- Geben Sie zunächst, die das Problem beschreibende Differentialgleichung an.
- Ermitteln Sie \(u(x)\) und \(F_L(x)\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.8
a)
\begin{alignat*}{5}
EAu^{''} &= -n
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
u(x) &= \frac{\rho g}{E}\left(lx- \frac{x^2}{2}\right), &\quad
N(x) &= EAu^{'} &= \rho g A(l-x)
\end{alignat*}
Aufgabe 2.9
#88
Ein Stab mit rechteckigem Querschnitt und konstanter Dicke \(t\) wird
durch die Kraft \(F\) belastet. Der Querschnitt ändert sich, wie
im Bild dargestellt, linear.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} E & = 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad F & = 150\,\mathrm{kN}\\ l & = 200\,\mathrm{mm}, & \quad t & = 3\,\mathrm{mm} \\ b & = 20\,\mathrm{mm}, & \quad B & = 40\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die Verlängerung des Stabes. Formulieren Sie \(A(x)\). Es gilt: $$\int \frac{1}{a+bx} dx = \frac{1}{b}\ln\left(\left|bx+a\right|\right)$$
Geg.:
\begin{alignat*}{3} E & = 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad F & = 150\,\mathrm{kN}\\ l & = 200\,\mathrm{mm}, & \quad t & = 3\,\mathrm{mm} \\ b & = 20\,\mathrm{mm}, & \quad B & = 40\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die Verlängerung des Stabes. Formulieren Sie \(A(x)\). Es gilt: $$\int \frac{1}{a+bx} dx = \frac{1}{b}\ln\left(\left|bx+a\right|\right)$$
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.9
\begin{alignat*}{5}
A(x) &= t\left[\frac{x}{l}(b-B) + B \right],\\ \\
u(x=l) &= \frac{Fl}{Et(b-B)}ln\frac{b}{B}, &\quad
u &= 1,65\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.10
#89
Ein ursprünglich spannungslos eingespannter Stab mit konstantem Querschnitt erfährt eine in \(x\) veränderliche Temperaturerhöhung \(\Delta T(x)\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l & = 100\,\mathrm{mm}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} \\ A & = 50\,\mathrm{mm^2}, & \quad E & = 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ \Delta T_0 & = 0\ , &\quad \Delta T_1 & = 50\,\mathrm{K} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l & = 100\,\mathrm{mm}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} \\ A & = 50\,\mathrm{mm^2}, & \quad E & = 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ \Delta T_0 & = 0\ , &\quad \Delta T_1 & = 50\,\mathrm{K} \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie den Verlauf der Verschiebung \(u(x)\).
- Ermitteln Sie den Spannungsverlauf \(\sigma(x)\)
- Stellen Sie die Verschiebung und die Spannung grafisch dar.
Hilfestellung 2
Gehen Sie zur Lösung der Aufgabe von der für Zug und Druck formulierten Differentialgleichung zweiter Ordnung aus.
Benutzen Sie dabei die Form, die den Temperatureinfluss beinhaltet.
Hilfestellung 3
Für die Berechnung der Spannung gehen Sie von \( \sigma = E(\varepsilon - \varepsilon_{th}) \) aus.
Dabei ist \(\varepsilon\) das bei a) bestimmte \(u'\). 
Lösung: Aufgabe 2.10
a)
\begin{alignat*}{5}
u(x) &= \frac{1}{2}\alpha_{th}\Delta T_1 \left(\frac{x^2}{l}-x\right)
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma(x) &= -\frac{1}{2} E \alpha_{th} \Delta T_1
\end{alignat*}
Aufgabe 2.11
#90
Ein Druckstab mit quadratischem Querschnitt der Breite \(b\) wird
durch eine Kraft \(F\) belastet. Der Stab besteht aus zwei Kunststoffteilen, welche in
der \(p-q\) Ebene verklebt sind. Für den Kunststoff sowie den Kleber sind die
zulässigen Spannungen gegeben.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 35 \,\mathrm{kN}, &\quad \alpha &= 40 \,\mathrm{^\circ} \\ \sigma_{zul}^{Ku} &= 7,6\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul}^{Ku} &= 4,1\,\mathrm{MPa} \\ \sigma_{zul}^{Kl} &= 5,2\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul}^{Kl} &= 3,5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die erforderliche Breite \(b\) so, dass weder im Kunststoff noch im Kleber die zulässigen Spannungen überschritten werden.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 35 \,\mathrm{kN}, &\quad \alpha &= 40 \,\mathrm{^\circ} \\ \sigma_{zul}^{Ku} &= 7,6\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul}^{Ku} &= 4,1\,\mathrm{MPa} \\ \sigma_{zul}^{Kl} &= 5,2\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul}^{Kl} &= 3,5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die erforderliche Breite \(b\) so, dass weder im Kunststoff noch im Kleber die zulässigen Spannungen überschritten werden.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.11
\begin{alignat*}{5}
b &= 70,2\,\mathrm{mm}&\quad (\text{Schub im Kleber})
\end{alignat*}
Aufgabe 3.1
#91
Ein Torsionsstab hat in einem Abschnitt einen konstanten Kreisquerschnitt
und in einem zweiten Querschnitt einen Kreisringquerschnitt. Er ist bei \(A\)
starr eingespannt und bei \(B\) und \(C\) durch die Momente \(M_B\) und \(M_C\)
belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} D &= 60\,\mathrm{mm}, & \quad M_C &= 0,6 \,\mathrm{kNm} \\ d_a &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad M_B &= 1,8 \,\mathrm{kNm} \\ d_i &= 20\,\mathrm{mm}, & \quad G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} D &= 60\,\mathrm{mm}, & \quad M_C &= 0,6 \,\mathrm{kNm} \\ d_a &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad M_B &= 1,8 \,\mathrm{kNm} \\ d_i &= 20\,\mathrm{mm}, & \quad G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Maximale Torsionsschubspannung.
- Verdrehwinkel der Querschnitte \(B\) und \(C\) relativ zum Einspannungsquerschnitt \(A\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.1
a) Maximale Torsionsschubspannung:
\begin{alignat*}{5}
\tau^{max}_1 &= 56,6\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad
\tau^{max}_2 &= 50,9\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad
\tau^{max} &= \tau^{max}_1
\end{alignat*}
b) Verdrehwinkel der Querschnitte:
\begin{alignat*}{1}
\vartheta_B &= \frac{M_B + M_C}{G I_{T1}}a = 0,023 &\quad (1,34°) \\ \\
\vartheta_C &= \vartheta_B + \frac{M_C}{G I_{T2}}2a = 0,086 &\quad (4,95°)
\end{alignat*}
Aufgabe 3.2
#92
Ein Torsionsfederstab mit dem Durchmesser \(D\) soll durch einseitiges
Aufbohren so geeicht werden, dass er durch ein Moment \(M_0\) genau um
insgesamt \(\vartheta_{ges}=10\,^{\circ}\) verdreht wird.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M_0 &= 600\,\mathrm{Nm}, & \quad G &=0,808\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2} \\ D &= 20\,\mathrm{mm}, & \quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ l &= 350\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M_0 &= 600\,\mathrm{Nm}, & \quad G &=0,808\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2} \\ D &= 20\,\mathrm{mm}, & \quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ l &= 350\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
- Länge \(l_t\), so dass sich \(\vartheta_{ges}=10\,^{\circ}\) ergibt
- Maximale Torsionsschubspannung
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 3.2
a) Länge \(l_t\):
\begin{alignat*}{5}
l_t &= 287,9\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
b) Maximale Torsionsschubspannung:
\begin{alignat*}{1}
\tau^{max} &= 407\,\mathrm{MPa} &\quad (I_{T1}
Aufgabe 3.3
#93
Eine Welle (Schubmodul \(G\)) besteht aus zwei Bereichen mit konstantem
Querschnitt und einem Bereich mit konischem Querschnitt.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} G &=0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad l &= 300\,\mathrm{mm} \\ M_0 &=15 \,\mathrm{Nm}, &\quad a &= 10\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} G &=0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad l &= 300\,\mathrm{mm} \\ M_0 &=15 \,\mathrm{Nm}, &\quad a &= 10\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die Verdrehung \(\vartheta_E\) des Endquerschnittes, wenn am freien Ende das Torsionsmoment \(M_0\) angreift?
- Hinweis:
- $$\int \frac{dx}{\left( b- x/c \right)^4 } =\frac{c^4}{3(bc - x)^3}$$
Lösung: Aufgabe 3.3
\begin{alignat*}{5}
\vartheta_E &= \frac{M_0 l}{\pi G a^4}(2 +28 +32) = 0,11\,\mathrm{rad} &\quad
mit &\quad r(x) &= \frac{a/2 - a}{3 l}x +a
\end{alignat*}
Aufgabe 3.4
#94
Eine Welle (Durchmesser \(d=30\,\mathrm{mm}\)) ist in den Punkten \(A\) und \(E\)
kugelgelagert. Die Welle wird angetrieben am Zahnrad \(C\) mit einem Moment
\(M_2\). An den Zahnrädern bei \(B\) und \(D\) wirken die Abtriebsmomente
\(M_1\) und \(M_3\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M_1 &= 275\,\mathrm{Nm} & \quad M_2 &= 450\,\mathrm{Nm}\\ M_3 &= 175\,\mathrm{Nm} & \quad G &= 0,808\cdot10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ l_{BC}&= 500\,\mathrm{mm} & \quad l_{CD} &= 400\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M_1 &= 275\,\mathrm{Nm} & \quad M_2 &= 450\,\mathrm{Nm}\\ M_3 &= 175\,\mathrm{Nm} & \quad G &= 0,808\cdot10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ l_{BC}&= 500\,\mathrm{mm} & \quad l_{CD} &= 400\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
- Betragsmäßig maximale Torsionsschubspannung.
- Verdrehwinkel zwischen \(B\) und \(D\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.4
a) Betragsmäßig maximale Torsionsschubspannung:
\begin{alignat*}{5}
\tau^{max} &= \tau^{BC} = 51,9\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
b) Verdrehwinkel zwischen B und D:
\begin{alignat*}{1}
\vartheta^{BD} &= \vartheta^{BC} + \vartheta^{CD} = -0,0105 &\quad (-0,60°)
\end{alignat*}
Aufgabe 3.5
#95
Auf einer Welle befinden sich ein Abtrieb und zwei Abtriebe.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 1100\,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 1200\,\mathrm{mm} \\ M_B &= 4000\,\mathrm{Nm}, & \quad M_C &= 5000\,\mathrm{Nm} \\ M_D &= 1000\,\mathrm{Nm}, & \quad G &= 0,808 \cdot 10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ \tau_{zul} &= 30\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} l_1 &= 1100\,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 1200\,\mathrm{mm} \\ M_B &= 4000\,\mathrm{Nm}, & \quad M_C &= 5000\,\mathrm{Nm} \\ M_D &= 1000\,\mathrm{Nm}, & \quad G &= 0,808 \cdot 10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ \tau_{zul} &= 30\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Torsionsmomentenverlauf.
- Erforderliche Durchmesser \(d_1\) und \(d_2\).
- Verdrehwinkel \(\vartheta_{BC}\) und \(\vartheta_{CD}\).
- Grafische Darstellung von \(\vartheta(x)\).
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 3.5
a)
\begin{alignat*}{5}
Lösungen
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
d_1 &= 87,9\,\mathrm{mm}, &\quad
d_2 &= 55,4\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{5}
\vartheta_{BC} &= 0,53°, &\quad
\vartheta_{CD} &= -0,92°
\end{alignat*}
d)
\begin{alignat*}{5}
Lösungen
\end{alignat*}
Aufgabe 3.6
#96
Ein Aluminiumrohr und ein Stahlstab werden durch zwei starre Endplatten
miteinander verbunden.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_{1i} &= 19,375\,\mathrm{mm}, &\quad r_{1a} &= 20,625 \,\mathrm{mm}\\ l &=1\,\mathrm{m}, &\quad r_2 &= 10 \,\mathrm{mm} \\ G_{Stahl}&=3\,G_{Alu}, &\quad G_{Alu}&=0,7\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Welcher Anteil des eingeleiteten Momentes \(M_0\) wird vom Aluminiumrohr getragen?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} r_{1i} &= 19,375\,\mathrm{mm}, &\quad r_{1a} &= 20,625 \,\mathrm{mm}\\ l &=1\,\mathrm{m}, &\quad r_2 &= 10 \,\mathrm{mm} \\ G_{Stahl}&=3\,G_{Alu}, &\quad G_{Alu}&=0,7\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Welcher Anteil des eingeleiteten Momentes \(M_0\) wird vom Aluminiumrohr getragen?
Hilfestellung 3
Neben dem Gleichgewicht für das Torsionsmoment benötigen Sie eine weitere Gleichung bezüglich der Verdrehung von Aluminium Rohr und Stahlstab.
Lösung: Aufgabe 3.6
Der Anteil des vom Alurohr getragen Momentes beträgt:
\begin{alignat*}{5}
M_{Alurohr} &= 0,57\,M_0
\end{alignat*}
Aufgabe 3.7
#97
Ein beidseitig eingespannter, abgesetzter Torsionsstab mit Kreisquerschnitt
wird bei \(C\) durch das Torsionsmoment \(M_0\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0&= 500\,\mathrm{Nm},&\quad G &= 0,808 \cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ D &= 15\, \mathrm{mm},&\quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ a &= 400\,\mathrm{mm},&\quad b &=200\, \mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Einspannmomente bei \(A\) und \(B\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0&= 500\,\mathrm{Nm},&\quad G &= 0,808 \cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ D &= 15\, \mathrm{mm},&\quad d &= 10\,\mathrm{mm} \\ a &= 400\,\mathrm{mm},&\quad b &=200\, \mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Einspannmomente bei \(A\) und \(B\).
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 3.7
Die Einspannmomente \(M_A\) , \(M_B\) wurden für die folgende Lösung beide in Richtung von \(M_0\) angenommen.
Damit ergibt sich:
\begin{alignat*}{5}
M_B &= -\frac{M_0}{1 + \frac{I_{T1} \:b}{I_{T2} \:a}} \\ \\
M_B &= -141,6\,\mathrm{Nm}, &\quad
M_A &= -358,4\,\mathrm{Nm}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.8
#98
Ein einseitig eingespannter Stab wird durch ein konstantes Torsionsmoment
pro Länge \(m\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &= 30 \,\mathrm{mm}, &\quad l &=0,5\,\mathrm{m} \\ m &= 100\,\mathrm{Nm/m}, &\quad G &= 0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &= 30 \,\mathrm{mm}, &\quad l &=0,5\,\mathrm{m} \\ m &= 100\,\mathrm{Nm/m}, &\quad G &= 0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Verdrehung \(\vartheta\) als Funktion von \(x\). Geben Sie den Verlauf anhand einer Skizze an.
- Schnittmomentverlauf \(M_T\) als Funktion von \(x\). Geben Sie den Verlauf anhand einer Skizze an.
Hilfestellung 3
An welcher Stelle fällt bei der Integration das Torsionsmoment \(M_T\) an?
Lösung: Aufgabe 3.8
a) Verdrehung \(\vartheta(x)\):
\begin{alignat*}{5}
\vartheta(x) &= \frac{m}{G I_T}(lx - \frac{x^2}{2})
\end{alignat*}
b) Schnittmoment \(M_T(x)\):
\begin{alignat*}{1}
M_T(x) &= m(l-x)
\end{alignat*}
Aufgabe 3.9
#99
Das hexagonale Stabprofil wird durch ein Torsionsmoment \(M_T\) belastet.
Jede Seite hat die Dicke \(t\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} \tau_{zul} &= 60\,\mathrm{N/mm^2}, & \quad M_T &=150\,\mathrm{Nm}\\ t &= 3 \,\mathrm{mm} & \quad & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seitenlänge \(a\), wenn die zulässige Schubspannung \(\tau_{zul}\) nicht überschritten werden soll. \(a\) bezieht sich dabei auf die Profilmittellinie.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} \tau_{zul} &= 60\,\mathrm{N/mm^2}, & \quad M_T &=150\,\mathrm{Nm}\\ t &= 3 \,\mathrm{mm} & \quad & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seitenlänge \(a\), wenn die zulässige Schubspannung \(\tau_{zul}\) nicht überschritten werden soll. \(a\) bezieht sich dabei auf die Profilmittellinie.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 3.9
\begin{alignat*}{5}
a &= 12,7\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.1
#100
Gegeben ist der Querschnitt eines U-Profils.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=1\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=1\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die in der Formelsammlung angegebene Tabellenform zur Bestimmung der Flächenmomente.
Überlegen Sie warum in diesem Fall das gemischte Flächenmoment \(I_{yz}\) gleich \(0\) ist.
Lösung: Aufgabe 4.1
\begin{alignat*}{5}
I_{yy} &= 36,33a^4, &\quad
I_{zz} &= 141,33a^4
\end{alignat*}
Aufgabe 4.2
#101
Gegeben ist der Querschnitt eines T-Profils.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=2\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=2\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die in der Formelsammlung angegebene Tabellenform zur Bestimmung der Flächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.2
a)
\begin{alignat*}{5}
I_{yy} &= 151,25a^4, &\quad
I_{zz} &= 18,75a^4
\end{alignat*}
Aufgabe 4.3
#102
Gegeben ist der Querschnitt eines unsymmetrischen T-Profils.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=5\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=5\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Hauptflächenmomente.
- Ermitteln Sie die Lage der Hauptsachsen. Zeichnen Sie diese in die Skizze ein.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die Formeln aus der Formelsammlung zur Berechnung der Lage Hauptachsen und zur Berechnung der Hauptflächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.3
Lage des Schwerpunktes bezogen auf die linke, obere Ecke:
\begin{alignat*}{5}
\tilde{x}_S &= 18,0\,\mathrm{mm}, &\quad
\tilde{y}_S &= -7,5\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Flächenmomente bezüglich des Schwerpunktes:
\begin{alignat*}{1}
I^{S}_{yy} &= 13020,8\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{zz} &= 14833,3\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{yz} &= 5625,6\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Hauptflächenmomente:
\begin{alignat*}{1}
I_{1} &= 19624,6\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I_{2} &= 8229,6\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Lage der Hauptsachsen:
\begin{alignat*}{1}
\varphi^{*} &= 49,6°
\end{alignat*}
Aufgabe 4.4
#103
Gegeben ist der Querschnitt eines Winkelprofils.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=10\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=10\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Hauptflächenmomente.
- Ermitteln Sie die Lage der Hauptsachsen. Zeichnen Sie diese in die Skizze ein.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die Formeln aus der Formelsammlung zur Berechnung der Lage Hauptachsen und zur Berechnung der Hauptflächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.4
Lage des Schwerpunktes bezogen auf die linke, untere Ecke:
\begin{alignat*}{5}
\tilde{x}_S &= 16,54\,\mathrm{mm}, &\quad
\tilde{y}_S &= 26,54\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Flächenmomente bezüglich des Schwerpunktes:
\begin{alignat*}{1}
I^{S}_{yy} &= 807756\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{zz} &= 387756\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{yz} &= 323077\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Hauptflächenmomente:
\begin{alignat*}{1}
I_{1} &= 983086\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I_{2} &= 212427\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Lage der Hauptsachsen:
\begin{alignat*}{1}
\varphi^{*} &= 28,49°
\end{alignat*}
Aufgabe 4.5
#104
Es ist ein Träger mit einem Rechteckquerschnitt (Lagerung gemäß Skizze)
gegeben. Der Träger hat die Breite \(b\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &=20\,\mathrm{mm}, &\quad F &=7,5\,\mathrm{kN}, &\quad a &=1,75\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie notwendige Höhe \(h\) des Trägers, so dass eine zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=300\,\mathrm{N/mm^2}\) nicht überschritten wird. Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &=20\,\mathrm{mm}, &\quad F &=7,5\,\mathrm{kN}, &\quad a &=1,75\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie notwendige Höhe \(h\) des Trägers, so dass eine zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=300\,\mathrm{N/mm^2}\) nicht überschritten wird. Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.5
Das maximale Biegemoment ist über dem Loslager:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -13,125\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Damit ergibt sich eine notwendige Höhe des Trägers von:
\begin{alignat*}{1}
h = 115\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.6
#105
Ein Träger auf zwei Stützen mit konstantem Rechteckquerschnitt ist durch eine
Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad h &=100\,\mathrm{mm}, & \quad q &= 3\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf der Träger maximal haben, ohne das die zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=240\,N/mm^2\) bei Einbauvariante 1 und Einbauvariante 2 überschritten wird? Ermitteln Sie zunächst Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad h &=100\,\mathrm{mm}, & \quad q &= 3\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf der Träger maximal haben, ohne das die zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=240\,N/mm^2\) bei Einbauvariante 1 und Einbauvariante 2 überschritten wird? Ermitteln Sie zunächst Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.6
Zulässige Länge:
\begin{alignat*}{5}
l^{V1}_{zul} &= 6532\,\mathrm{mm}, &\quad
l^{V2}_{zul} &= 4131\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.7
#106
Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt ist
gemäß Skizze belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q &= 10\,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad F &=4000\,\mathrm{N} \\ l &=1000\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 200\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die notwendige Höhe des Querschnitts für \(a=30\,\mathrm{mm}\). Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q &= 10\,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad F &=4000\,\mathrm{N} \\ l &=1000\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 200\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die notwendige Höhe des Querschnitts für \(a=30\,\mathrm{mm}\). Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.7
Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -1,0\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Erforderliche Querschnittsabmessung:
\begin{alignat*}{1}
h^{erf} &= 31,6\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.8
#107
Ein Träger mit einem Gelenk ist wie dargestellt belastet und gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q, &\quad l, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Biegespannungsverteilung im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q, &\quad l, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Biegespannungsverteilung im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.8
Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -ql^2
\end{alignat*}
Aufgabe 4.9
#108
Ein Träger ist wie dargestellt belastet und gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10\,\mathrm{N/mm}, &\quad l &= 600\,\mathrm{mm} \\ F &= 1500\,\mathrm{N}, &\quad \sigma_{zul} &= 100\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10\,\mathrm{N/mm}, &\quad l &= 600\,\mathrm{mm} \\ F &= 1500\,\mathrm{N}, &\quad \sigma_{zul} &= 100\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Abmessung \(a\) so, dass \(\sigma_{zul}\) nicht überschritten wird.
- Verlauf der Biegespannung \(\sigma_{B}^{max}\) im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist. Runden Sie dazu das Ergebnis von a. sinnvoll auf.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.9
a)
\begin{alignat*}{5}
a &= 7,28\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
b) - Das maximale Biegemoment tritt über dem Loslager auf:
\begin{alignat*}{1}
M^{max}_B &= -Fl
\end{alignat*}
- Mit \(a_{gewählt} = 8\,\mathrm{mm}\) ergeben sich folgende Werte:
Aufgabe 4.10
#109
Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt
ist gemäß Skizze belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad l &= 800\,\mathrm{mm} \\ h &= 100\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 140\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Erforderliche Breite des Profils.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad l &= 800\,\mathrm{mm} \\ h &= 100\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 140\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Erforderliche Breite des Profils.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.10
\begin{alignat*}{5}
b_{erf} &= 58,7\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.11
#110
Der durch eine Streckenlast belastete Träger ist aus einem L-Profil
gefertigt. Die Einbaulage ist dem Schnitt A-A zu entnehmen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 2000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 10 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 2000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 10 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.11
\begin{alignat*}{5}
M_u &= 4,39\,\mathrm{kNm}, &\quad
M_v &= -2,38\,\mathrm{kNm}, &\quad
\sigma(u,v) &= 4,47\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v + 11,23\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u
\end{alignat*}
Lage der Spannungsnulllinie:
\begin{alignat*}{1}
v &= -2,512u
\end{alignat*}
\(\sigma_{max}\) bei:
\begin{alignat*}{1}
y &= 6,54\,\mathrm{mm}, &\quad
z &= -53,46\,\mathrm{mm}, &\quad
\sigma_{max} &= -445,7\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.12
#111
Der durch eine Streckenlast belastete Kragträger besitzt den skizzierten Querschnitt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 1,0 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 1000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 5\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 1,0 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 1000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 5\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.12
\begin{alignat*}{5}
M_{Bu} &= -0.324\,\mathrm{kNm}, &\quad
M_{Bv} &= 0 .381\,\mathrm{kNm}, &\quad
\sigma(u,v) &= -16.5\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v - 46,3\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u
\end{alignat*}
Lage der Spannungsnulllinie:
\begin{alignat*}{1}
v &= -2,8u
\end{alignat*}
\(\sigma_{max}\) bei:
\begin{alignat*}{1}
y &= -2.0\,\mathrm{mm}, &\quad
z &= 17.5\,\mathrm{mm}, &\quad
\sigma_{max} &= -768\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.13
#112
Für den dargestellten Träger ist die Gleichung der Biegelinie durch
Integration der Differentialgleichung zu ermitteln.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0 &= 100 \,\mathrm{Nm}, &\quad l &= 1000 \,\mathrm{mm} \\ a &= 15 \,\mathrm{mm}, &\quad E &=2,1\cdot 10^{5} \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0 &= 100 \,\mathrm{Nm}, &\quad l &= 1000 \,\mathrm{mm} \\ a &= 15 \,\mathrm{mm}, &\quad E &=2,1\cdot 10^{5} \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die maximale Durchbiegung?
- An welcher Stelle tritt diese auf?
Lösung: Aufgabe 4.13
Gleichung der Biegelinie:
\begin{alignat*}{5}
w &= \frac{1}{EI} \left(-\frac{M_0}{l}\frac{x^3}{6} + \frac{M_0}{6}lx\right) \\ \\
&= \frac{M_0 l^2}{6 E I} \left(-\left(\frac{x}{l}\right)^3 + \left(\frac{x}{l}\right) \right)
\end{alignat*}
Ort der maximalen Durchbiegung durch Nullsetzen von \(w'\)
ermitteln:
\begin{alignat*}{1}
x &= \frac{l}{\sqrt{3}}
\end{alignat*}
Maximale Durchbiegung:
\begin{alignat*}{1}
w_{max} &= w(x= \frac{l}{\sqrt{3}}) \\ \\
&= \frac{M_0 l^2}{6 E I}\left[-\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right] \\ \\
&= \frac{\sqrt{3} M_0 l^2}{27 E I}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.14
#113
Der dargestellte Kragträger ist durch ein Moment und eine Einzellast
am freien Ende belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F, & \quad M_0=Fl, & \quad EI_y, & \quad l \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F, & \quad M_0=Fl, & \quad EI_y, & \quad l \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.
- Geben Sie die maximale Verformung formelmäßig an.
Lösung: Aufgabe 4.14
Biegelinie:
\begin{alignat*}{5}
w(x) &= \frac{F l^3}{E I} \left[ -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \frac{x}{l} - \frac{1}{2}\frac{x^2}{l^2} + \frac{1}{6}\frac{x^3}{l^3} \right]
\end{alignat*}
Maximale Verformung bei \(x=0\):
\begin{alignat*}{1}
w(x=0) &= -\frac{F l^3}{6 E I}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.15
#114
Der dargestellte Träger ist durch eine dreieckförmige
Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0 &=1,0 \, \mathrm{N/mm}, & \quad l &= 1000 \, \mathrm{mm} \\ E &=2,1\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2}, & \quad I_{yy} &= 1000\, \mathrm{mm^4} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0 &=1,0 \, \mathrm{N/mm}, & \quad l &= 1000 \, \mathrm{mm} \\ E &=2,1\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2}, & \quad I_{yy} &= 1000\, \mathrm{mm^4} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.
- Geben Sie die maximale Verformung an.
Lösung: Aufgabe 4.15
Biegelinie:
\begin{alignat*}{5}
w(x) &= \frac{q_0}{l} \frac{1}{E I} \left[ \frac{1}{120} x^5 - \frac{l^2}{36} x^3 + \frac{7 l^4}{360} x \right]
\end{alignat*}
Maximale Verformung bei \(x=0,5193l\):
\begin{alignat*}{1}
w(x=0,5193l) &= 0,0065 \frac{q_0 l^4}{E I}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.16
#115
Der dargestellte Träger ist durch eine sinusförmige
Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0, & \quad l, & \quad E, & \quad I_{yy} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0, & \quad l, & \quad E, & \quad I_{yy} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.
- Geben Sie die maximale Verformung formelmäßig an.
Lösung: Aufgabe 4.16
Biegelinie:
\begin{alignat*}{5}
w(x) &= \frac{q_0}{E I} \frac{l^4}{\pi^4} \sin \left(\frac{\pi}{l}x \right)
\end{alignat*}
Maximale Verformung bei \(x=\frac{l}{2}\):
\begin{alignat*}{1}
w(x=\frac{l}{2}) &= \frac{q_0 l^4}{E I \pi^4}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.17
#116
Für den dargestellten Träger sind insgesamt 4 Rand- bzw.
übergangsbedingungen für die Durchbiegung \(w\) und die Neigung \(w'\)
anzugeben.
Geg.:
Ges.:
Geg.:
Ges.:
Lösung: Aufgabe 4.17
\begin{alignat*}{5}
w_1(x_1 = 0) &= 0, \\
w_2(x_2 = l) &= 0, \\
w_1(x_l = l) &= w_2(x_2 = 0), \\
w^{'}_1(x_1 = l) &= w^{'}_2(x_2 = 0)
\end{alignat*}
Aufgabe 4.18
#117
Für den dargestellten Träger sind insgesamt 8 Rand- bzw.
übergangsbedingungen für die Durchbiegung \(w\) und die Neigung \(w'\)
anzugeben.
Geg.:
Ges.:
Geg.:
Ges.:
Lösung: Aufgabe 4.18
\begin{alignat*}{5}
w_1(x_1 = 0) &= 0, \\
w^{'}_1(x_1 = 0) &= 0, \\
w_3(x_3 = c) &= 0, \\
w_4(x_4 = 0) &= 0, \\
w_1(x_l = a) &= w_2(x_2 = 0), \\
w^{'}_1(x_1 = a) &= w^{'}_2(x_2 = 0), \\
w_2(x_2 = b) &= w_3(x_3 = 0), \\
w^{'}_3(x_3 = c) &= w^{'}_4(x_4 = 0)
\end{alignat*}
Aufgabe 5.1
#118
Für eine Scheibe ist der ebene Spannungszustand durch die Größen
\(\sigma_{xx}\), \(\sigma_{yy}\) und \(\tau_{xy}\) gegeben.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_{xx} &= 74\,\mathrm{MPa}, &\quad \sigma_{yy} &= 17\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{xy} &= 22\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_{xx} &= 74\,\mathrm{MPa}, &\quad \sigma_{yy} &= 17\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{xy} &= 22\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Normalspannung \(\sigma_{uu}\) und die Schubspannung \(\tau_{uv}\) für einen Schnitt unter dem Winkel von \(\varphi=60\,^{\mathrm{\circ}}\) zur x-Achse.
- Wie groß sind die Hauptnormalspannungen und in welchen Schnitten treten diese auf?
- Wie groß ist die maximale Schubspannung und in welchem Schnitt tritt diese auf?
- Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises.
Hilfestellung 3
Berechnen Sie zunächst mathematisch die Größen, die Sie benötigen, um den Morschen Spannungskreis zu zeichnen.
Lösung: Aufgabe 5.1
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{uu} &= 50,3\,\mathrm{MPa}, \quad
\tau_{uv} &= -35,7\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{1} &= 81,5\,\mathrm{MPa}, &\quad
\sigma_{2} &= 9,5\,\mathrm{MPa}, &\quad
\varphi^{*}_{1} &= 18,8°
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{1}
\tau_{max} &= 36\,\mathrm{MPa}, &\quad
\varphi^{*}_{1} &= -26,2°
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{m} &= 45,5\,\mathrm{MPa}, &\quad
R &= 36,0\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
Aufgabe 5.2
#119
Ein dünnwandiger kugelförmiger Kessel mit dem Radius \(R\) und der Wandstärke
\(h\) ist durch den Innendruck \(p\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} R, &\quad h, &\quad p \end{alignat*}
Ges.:
Wir groß ist die Umfangsspannung \(\sigma_{\varphi}\) im Kessel?
Geg.:
\begin{alignat*}{2} R, &\quad h, &\quad p \end{alignat*}
Ges.:
Wir groß ist die Umfangsspannung \(\sigma_{\varphi}\) im Kessel?
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 5.2
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{\varphi} &= \frac{1}{2} p \frac{R}{h}
\end{alignat*}
Aufgabe 5.3
#120
Ein dreieckiges, rechtwinkliges Knotenblech ist an einen horizontalen
Träger geschweißt. Es wird durch die Spannung \(\sigma_{xx}\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_{xx} &= 50\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{xy} &=0, & \quad \alpha &=60^{\mathrm{\circ}} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_{xx} &= 50\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{xy} &=0, & \quad \alpha &=60^{\mathrm{\circ}} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Spannung \(\sigma_{yy}\) so, dass in der horizontalen Schweißnaht keine Schubspannungen auftreten.
- Wie groß ist dann die Normalspannung in der Schweißnaht?
- Überprüfen sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises.
- Interpretieren Sie den Spannungszustand.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.3
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{yy} &= 50\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{N} &= 50\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
c) Kreis reduziert sich zu einem Punkt, da R=0.
Aufgabe 5.4
#121
Der dargestellte Zugstreifen ist durch eine gleichmäßige Spannung an
beiden Enden belastet und geklebt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_0&=100\,\mathrm{MPa}, &\quad \alpha&=30^{\mathrm{\circ}} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die für den Festigkeitsnachweis der Klebeverbindung wichtigen Spannungen \(\sigma_{uu}, \tau_{uv}\) an.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \sigma_0&=100\,\mathrm{MPa}, &\quad \alpha&=30^{\mathrm{\circ}} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die für den Festigkeitsnachweis der Klebeverbindung wichtigen Spannungen \(\sigma_{uu}, \tau_{uv}\) an.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.4
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{uu} &= 75\,\mathrm{MPa}, &\quad
\tau_{uu} &= -43\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
Aufgabe 6.1
#122
Eine Stahlscheibe mit den Abmessungen \(a\) und \(h\) und der Dicke \(t\) passt im
unbelasteten Zustand genau zwischen die im Bild dargestellten starren Wände.
Sie wird durch eine Kraft \(F\) von oben gleichmäßig belastet. Dadurch wird
sie in \(y\)-Richtung zusammengedrückt. In \(z\)-Richtung kann sie sich frei
ausdehnen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100\,\mathrm{mm}, &\quad h &= 200\,\mathrm{mm}, &\quad t &= 10\,\mathrm{mm} \\ F &= 120\,\mathrm{kN}, &\quad \nu &= 0,3\ , &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Verformung der Scheibe in \(y\)-Richtung.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100\,\mathrm{mm}, &\quad h &= 200\,\mathrm{mm}, &\quad t &= 10\,\mathrm{mm} \\ F &= 120\,\mathrm{kN}, &\quad \nu &= 0,3\ , &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Verformung der Scheibe in \(y\)-Richtung.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 6.1
\begin{alignat*}{5}
\Delta h &= -0,104\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 6.2
#123
Die Messung des Torsionsmomentes \(M_T\) einer Welle soll mit einem
Dehnmessstreifen erfolgen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \alpha &= 45 \,^{\circ}, &\quad \varepsilon &= 0,492\cdot \,\mathrm{10^{-3}} \\ l &= 100 \,\mathrm{mm}, &\quad G &= 0,808\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ d &= 40 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie das Torsionsmoment \(M_T\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \alpha &= 45 \,^{\circ}, &\quad \varepsilon &= 0,492\cdot \,\mathrm{10^{-3}} \\ l &= 100 \,\mathrm{mm}, &\quad G &= 0,808\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ d &= 40 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie das Torsionsmoment \(M_T\).
Hilfestellung 3
Überlegen Sie wie Sie zu einem Zusammenhang zwischen der Schubverzerrung \(\gamma_{xy}\) und dem Torsionsmoment gelangen.
Lösung: Aufgabe 6.2
\begin{alignat*}{5}
M_T &= 1,0\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Aufgabe 6.3
#124
Es wird eine Spannungsmessung mittels drei Dehnmessstreifen durchgeführt.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} \varepsilon_{1} &= 0,6 \cdot 10^{-3}, &\quad \alpha_2 &= 60 \,^{\circ} \\ \varepsilon_{2} &= 0,75\cdot 10^{-3}, &\quad \alpha_3 &= 120 \,^{\circ} \\ \varepsilon_{3} &= -0,4 \cdot 10^{-3}, &\quad E &= 2,0 \cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ \nu &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} \varepsilon_{1} &= 0,6 \cdot 10^{-3}, &\quad \alpha_2 &= 60 \,^{\circ} \\ \varepsilon_{2} &= 0,75\cdot 10^{-3}, &\quad \alpha_3 &= 120 \,^{\circ} \\ \varepsilon_{3} &= -0,4 \cdot 10^{-3}, &\quad E &= 2,0 \cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ \nu &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
- \(\varepsilon_{xx}\), \(\varepsilon_{yy}\), \(\gamma_{xy}\)
- \(\sigma_{xx}\), \(\sigma_{yy}\), \(\tau_{xy}\)
- Hauptdehnungen
- Hauptspannungen (Größe, Richtung)
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 6.3
a)
\begin{alignat*}{5}
\varepsilon_{xx} &= 0,6 \cdot 10^{-3}, &\quad
\varepsilon_{yy} &= 0,033 \cdot 10^{-3}, &\quad
\gamma_{xx} &= 1,33 \cdot 10^{-3}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{xx} &= 134,044\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad
\sigma_{yy} &= 46,813\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad
\tau_{xy} &= 102,154\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{1}
\varepsilon_{1} &= 1,0 \cdot 10^{-3}, &\quad
\varepsilon_{2} &= -0,4 \cdot 10^{-3}
\end{alignat*}
d)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{1} &= 201,5\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad
\sigma_{2} &= -20,6\,\mathrm{N/mm^2}, &\quad
\varphi^{*} &= 33,44°
\end{alignat*}
Aufgabe 6.4
#125
An einem Blech (\(E=2,0\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2}, \nu=0,3\)) wurden an
drei Punkten die Verschiebungen infolge Belastung experimentell ermittelt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} x_1 &= 0, &\quad x_2 &= 120\,\mathrm{mm}, &\quad x_3 &= 200\,\mathrm{mm} \\ y_1 &= 0, &\quad y_2 &= 240\,\mathrm{mm}, &\quad y_3 &= 100\,\mathrm{mm} \\ u_{x1}&=0,15\,\mathrm{mm}, &\quad u_{x2}&=0,30\,\mathrm{mm}, &\quad u_{x3}&=0,48\,\mathrm{mm} \\ u_{y1}&=0,24\,\mathrm{mm}, &\quad u_{y2}&=0,60\,\mathrm{mm}, & \quad u_{y3}&=0,36\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} x_1 &= 0, &\quad x_2 &= 120\,\mathrm{mm}, &\quad x_3 &= 200\,\mathrm{mm} \\ y_1 &= 0, &\quad y_2 &= 240\,\mathrm{mm}, &\quad y_3 &= 100\,\mathrm{mm} \\ u_{x1}&=0,15\,\mathrm{mm}, &\quad u_{x2}&=0,30\,\mathrm{mm}, &\quad u_{x3}&=0,48\,\mathrm{mm} \\ u_{y1}&=0,24\,\mathrm{mm}, &\quad u_{y2}&=0,60\,\mathrm{mm}, & \quad u_{y3}&=0,36\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Verzerrungen und Spannungen im x-y Koordinatensystem. Gehen Sie dabei von einem homogenen Spannungszustand aus.
- Hinweis:
- Setzen sie \(u_x\) und \(u_y\) jweils als lineare Funktion in Abhängigkeit von \(x\) und \(y\) an.
Hilfestellung 3
Formulieren Sie für jeden Punkt die Verschiebungsansätze in x- und y-Richtung und setzen Sie die gemessenen Verschiebungen ein.
Auf diese Weise erhalten Sie ein Gleichungssystem mit sechs Gleichungen für sechs Unbekannte.
Lösung: Aufgabe 6.4
\begin{alignat*}{5}
\varepsilon_{xx} &= 1,783 \cdot 10^{-3}, &\quad
\sigma_{x} &= 497\,\mathrm{MPa}, &\quad
\varepsilon_{yy} &= 1,600 \cdot 10^{-3}, \\
\sigma_{y} &= 469\,\mathrm{MPa}, &\quad
\varepsilon_{xy} &= -0,466 \cdot 10^{-3}, &\quad
\tau_{xy} &= -36\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
Aufgabe 7.1
#126
Eine Scheibe ist wie folgt beansprucht:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} \sigma_0 & = 150\,\mathrm{N/mm^2}, & \quad \tau_0 & = 50\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die Vergleichsspannung jeweils nach der Hypothese der maximalen Hauptspannung, maximalen Schubspannung sowie Gestaltänderung an. Welche Hypothese ist am konservativsten?
Geg.:
\begin{alignat*}{2} \sigma_0 & = 150\,\mathrm{N/mm^2}, & \quad \tau_0 & = 50\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die Vergleichsspannung jeweils nach der Hypothese der maximalen Hauptspannung, maximalen Schubspannung sowie Gestaltänderung an. Welche Hypothese ist am konservativsten?
Lösung: Aufgabe 7.1
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad
\sigma_{v2} &= \sigma_0, &\quad
\sigma_{v3} &= \sigma_0
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{v1} &= \tau_0, &\quad
\sigma_{v2} &= 2\tau_0, &\quad
\sigma_{v3} &= \sqrt{3} \tau_0, &\quad
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad
\sigma_{v2} &= 0, &\quad
\sigma_{v3} &= \sigma_0
\end{alignat*}
d)
\begin{alignat*}{1}
\sigma_{v1} &= \sigma_0, &\quad
\sigma_{v2} &= 2\sigma_0, &\quad
\sigma_{v3} &= \sqrt{3}\sigma_0
\end{alignat*}
Aufgabe 7.2
#127
Ein Zylinder der Wandstärke \(h\) steht unter dem Innendruck \(p_i\).
Zusätzlich ist er durch das Torsionsmoment \(M_T\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} p_i & = 2\,\mathrm{N/mm^2}, \quad & M_T &= 20\,\mathrm{kNm} \\ l & = 1\,\mathrm{m}, & \quad d & = 40\,\mathrm{cm} \\ h &= 5 \,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} p_i & = 2\,\mathrm{N/mm^2}, \quad & M_T &= 20\,\mathrm{kNm} \\ l & = 1\,\mathrm{m}, & \quad d & = 40\,\mathrm{cm} \\ h &= 5 \,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
- Berechnen Sie die Vergleichsspannung nach der Hypothese der maximalen Schubspannung.
- Ermitteln Sie die maximale Schubspannung unter Verwendung des Mohrschen Spannungskreises.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 7.2
a)
\begin{alignat*}{5}
\sigma_V &= 51,48\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\tau_{max} &= 51,43\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
Falls Sie bei \(W_T\) mit der Formel für dünnwandige Querschnitte rechnen, ergibt sich eine leichte Abweichung von dem hier angegebenen Ergebnis.
Aufgabe 7.3
#128
Ein einseitig eingespannter, abgewinkelter Träger mit Kreisquerschnitt
wird durch eine in die Ebene hineingehende Kraft \(F\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F & = 2000 \,\mathrm{N}, & \quad a & = 0,5\,\mathrm{m} \\ b & = 1,0\,\mathrm{m}, & \quad d & = 50 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Maximale Vergleichsspannung nach der Hypothese der maximalen Hauptspannung, der maximalen Schubspannung sowie der Gestaltänderung.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F & = 2000 \,\mathrm{N}, & \quad a & = 0,5\,\mathrm{m} \\ b & = 1,0\,\mathrm{m}, & \quad d & = 50 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Maximale Vergleichsspannung nach der Hypothese der maximalen Hauptspannung, der maximalen Schubspannung sowie der Gestaltänderung.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 7.3
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{v1} &= 172,6\,\mathrm{MPa}, &\quad
\sigma_{v2} &= 182,2\,\mathrm{MPa}, &\quad
\sigma_{v3} &= 177,6\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
Aufgabe 7.4
#129
Das dargestellte Rohr wird über zwei starre Stäbe durch Kräfte belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 400 \,\mathrm{mm}, & \quad b &= 200\,\mathrm{mm} \\ F_1 &= 1000\,\mathrm{N}, & \quad F_2 &= 4000\,\mathrm{N} \\ D_a &= 50 \,\mathrm{mm}, & \quad \sigma_{zul} &= 160\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Innendurchmesser \(D_i\), so dass die zulässige Spannung nach der Gestaltänderungshypothese nicht überschritten wird.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 400 \,\mathrm{mm}, & \quad b &= 200\,\mathrm{mm} \\ F_1 &= 1000\,\mathrm{N}, & \quad F_2 &= 4000\,\mathrm{N} \\ D_a &= 50 \,\mathrm{mm}, & \quad \sigma_{zul} &= 160\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Innendurchmesser \(D_i\), so dass die zulässige Spannung nach der Gestaltänderungshypothese nicht überschritten wird.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 7.4
\begin{alignat*}{5}
D_i &= 43,3\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 7.5
#130
Ein einseitig eingespannter, abgewinkelter Träger mit Kreisquerschnitt wird
durch eine Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 1\,\mathrm{m}, &\quad d &= 50\,\mathrm{mm} \\ q_0 &= 1000\,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die maximale Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a &= 1\,\mathrm{m}, &\quad d &= 50\,\mathrm{mm} \\ q_0 &= 1000\,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die maximale Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 7.5
\begin{alignat*}{5}
\sigma_{V3} &= 166,75\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 7.6
#131
Die Schiffspropellerwelle wird auf Druck und Torsion beansprucht.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 10^6\,\mathrm{N}, &\quad M_T &= 312522\,\mathrm{Nm}\\ l &= 10\,\mathrm{m}, &\quad G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ \vartheta_{zul} &= 5\,^\circ, &\quad \sigma_{zul} &= 350\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 10^6\,\mathrm{N}, &\quad M_T &= 312522\,\mathrm{Nm}\\ l &= 10\,\mathrm{m}, &\quad G &= 0,808\cdot10^5\, \mathrm{N/mm^2} \\ \vartheta_{zul} &= 5\,^\circ, &\quad \sigma_{zul} &= 350\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Erforderlicher Durchmesser \(d_{erf}\), damit der zulässige Verdrehwinkel \(\vartheta_{zul}\) nicht überschritten wird.
- Sicherheit bezüglich \(\sigma_{zul}\) nach Hauptnormalsannungshypothese, der Schubspannungshypothese und der Vergleichshypothese nach Mises.
Lösung: Aufgabe 7.6
a)
\begin{alignat*}{5}
d_{erf} &= 259,2\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
b) Mit \(d_{gewählt}= 260\,\mathrm{mm}\):
\begin{alignat*}{1}
S_{V1} &= 3,48, &\quad
S_{V2} &= 1,92, &\quad
S_{V3} &= 2,22
\end{alignat*}
Aufgabe 8.1
#132
Der dargestellte starre Stab wird durch eine Kraft \(F\) belastet.
Durch die Feder wird er in der vertikalen Position gehalten.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} c &= 1,0\,\mathrm{N/m}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \\ l &= 1,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_{krit.}\), bei welcher der Stab unter der vertikalen Last seitlich ausweicht.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} c &= 1,0\,\mathrm{N/m}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \\ l &= 1,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_{krit.}\), bei welcher der Stab unter der vertikalen Last seitlich ausweicht.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 8.1
\begin{alignat*}{5}
F_{krit} &= \frac{a^2}{l} c
\end{alignat*}
Aufgabe 8.2
#133
Der dargestellte starre Stab wird durch eine Kraft \(F\) belastet.
Die Federn halten das untere Lager in der zentralen Position.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} c &= 1,0\,\mathrm{N/m}, &\quad l &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_{krit.}\), bei welcher sich das untere Lager seitlich bewegt.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} c &= 1,0\,\mathrm{N/m}, &\quad l &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_{krit.}\), bei welcher sich das untere Lager seitlich bewegt.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 8.2
\begin{alignat*}{5}
F_{krit} &= 2lc
\end{alignat*}
Aufgabe 8.3
#134
Das dargestellte System besitzt ein Gelenk, an welchem eine Feder angreift.
Durch die vertikale Kraft \(F\) kommt es zum Ausknicken des Systems im Gelenk.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} c &= 1,0\,\mathrm{N/m}, & \quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_{krit.}\), bei welcher die Struktur unter der vertikalen Last seitlich ausweicht.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} c &= 1,0\,\mathrm{N/m}, & \quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_{krit.}\), bei welcher die Struktur unter der vertikalen Last seitlich ausweicht.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 8.3
\begin{alignat*}{5}
F_{krit} &= \frac{1}{4}c a
\end{alignat*}
Aufgabe 8.4
#135
Das skizzierte Tragwerk besteht aus zwei gelenkig miteinander
verbundenen Balken und ist durch die Streckenlast \(q\) belastet.
Der horizontale Balken wird als starr angenommen, der vertikale
Balken als verformbar.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a, & \quad EI \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Streckenlast \(q_{krit.}\), bei welcher der vertikale Balken ausknickt.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a, & \quad EI \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Streckenlast \(q_{krit.}\), bei welcher der vertikale Balken ausknickt.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 8.4
Ausknicken des senkrechten Balkens tritt ein bei:
\begin{alignat*}{5}
q_{krit} &= 4,1 \frac{\pi^2 E I}{a^3}
\end{alignat*}
Aufgabe 8.5
#136
Ein Kran besteht aus einem horizontalen Balken und einer schräg
angeordneten Stütze (beides wird als masselos betrachtet).
Die Stütze besitzt einen rechteckigen Querschnitt mit der Kantenlänge \(d\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 6 \,\mathrm{m}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ b &= 2 \,\mathrm{m}, &\quad q &= 1 \,\mathrm{kN/m} \\ d &= 75 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 6 \,\mathrm{m}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ b &= 2 \,\mathrm{m}, &\quad q &= 1 \,\mathrm{kN/m} \\ d &= 75 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Kraft in der Stütze.
- Ermitteln Sie die vorhandene Sicherheit gegen Knicken in der Stütze.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 8.5
a)
\begin{alignat*}{5}
F_S &= -7,54\,\mathrm{kN}
\end{alignat*}
b) Sicherheit gegen Knicken:
\begin{alignat*}{1}
S_K &= 10,0
\end{alignat*}
Aufgabe 8.6
#137
Die Stäbe des skizzierten Systems sind gelenkig miteinander verbunden
und haben alle einen Kreisquerschnitt.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F & = 5 \,\mathrm{kN}, &\quad E & = 2,1 \cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ l & = 300 \,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul.} & = 200 \,\mathrm{N/mm^2} \\ \alpha & = 20 \,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Durchmesser der Stäbe so, dass \(\sigma_{zul.}\) nicht überschritten wird und eine Sicherheit gegen Knicken von \(s_K=3\) gewährleistet wird.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F & = 5 \,\mathrm{kN}, &\quad E & = 2,1 \cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \\ l & = 300 \,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul.} & = 200 \,\mathrm{N/mm^2} \\ \alpha & = 20 \,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Durchmesser der Stäbe so, dass \(\sigma_{zul.}\) nicht überschritten wird und eine Sicherheit gegen Knicken von \(s_K=3\) gewährleistet wird.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 8.6
Der erforderliche Durchmesser ergibt sich aus dem Knicksicherheitsnachweis für den horizontalen Stab.
\begin{alignat*}{5}
d_{erf} &= 11,6\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 9.1
#138
Der dargestellte Träger trägt am freien Ende eine Last \(F_1\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F_1 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Absenkung \(w_1\) des Lastangriffpunktes?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F_1 \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Absenkung \(w_1\) des Lastangriffpunktes?
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 9.1
\begin{alignat*}{5}
\omega_1 &= \frac{F_1 l^3}{3 E I}
\end{alignat*}
Aufgabe 9.2
#139
Ein Träger mit konstanter Biegesteifigkeit wird durch eine Kraft belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F_1 \end{alignat*}
Ges.:
Durchbiegung \(w_1\) an der Stelle \(1\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F_1 \end{alignat*}
Ges.:
Durchbiegung \(w_1\) an der Stelle \(1\).
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 9.2
\begin{alignat*}{5}
\omega_1 &= \frac{F_1 a^3}{E I} \frac{12}{5}
\end{alignat*}
Aufgabe 9.3
#140
Der abgewinkelte Träger trägt am freien Ende die Lasten \(F_1\) und \(F_2\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100,0\,\mathrm{mm}, &\quad I &=1000,0\,\mathrm{mm^4}\\ F_1 &= 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad E &=2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ F_2 &= 1,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verschiebung \(w_2\) des Lastangriffspunktes in horizontaler und wie groß ist die Verschiebung \(w_1\) des Lastangriffspunktes vertikaler Richtung? (Der Einfluß von Längskraft kann vernachlässigt werden.)
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100,0\,\mathrm{mm}, &\quad I &=1000,0\,\mathrm{mm^4}\\ F_1 &= 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad E &=2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ F_2 &= 1,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verschiebung \(w_2\) des Lastangriffspunktes in horizontaler und wie groß ist die Verschiebung \(w_1\) des Lastangriffspunktes vertikaler Richtung? (Der Einfluß von Längskraft kann vernachlässigt werden.)
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 9.3
a)
\begin{alignat*}{5}
\omega_1 &= \frac{a^3}{E I} \left(\frac{8}{3} F_2 - 2 F_1 \right) = 3,17\,\mathrm{mm}, \\ \\
\omega_2 &= \frac{a^3}{E I} \left(\frac{7}{3} F_2 - 2 F_1 \right) = 1,58\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 9.4
#141
An einem abgewinkelten Träger greift am freien Ende die Last \(F_1\) an.
Er besitzt einen Kreisquerschnitt mit dem Durchmesser \(d\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100,0\,\mathrm{mm}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ d &= 15,0\,\mathrm{mm}, &\quad G &=0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ F_1 &= 1,0\,\mathrm{kN} &\quad & \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verschiebung \(w_1\) des Lastangriffspunktes in Richtung der angreifenden Kraft \(F_1\)? Weisen Sie die Anteile infolge Biegung und Torsion separat aus.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 100,0\,\mathrm{mm}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ d &= 15,0\,\mathrm{mm}, &\quad G &=0,808\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ F_1 &= 1,0\,\mathrm{kN} &\quad & \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Verschiebung \(w_1\) des Lastangriffspunktes in Richtung der angreifenden Kraft \(F_1\)? Weisen Sie die Anteile infolge Biegung und Torsion separat aus.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 9.4
\begin{alignat*}{5}
\omega^{B}_1 &= 3\frac{F_1 a^3}{E I} = 5,75\,\mathrm{mm}, \\ \\
\omega^{T}_1 &= 2\frac{F_1 a^3}{G I_T} = 4,98\,\mathrm{mm}, \\ \\
\omega_1 &= 10,73\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 9.5
#142
Ein Träger mit konstanter Biegesteifigkeit wird durch zwei Kräfte belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F_1, &\quad F_2 \end{alignat*}
Ges.:
Durchbiegung \(w_1\) an der Stelle 1 f"ur den Fall, dass \(F_1=F_2=F\) ist.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad EI, &\quad F_1, &\quad F_2 \end{alignat*}
Ges.:
Durchbiegung \(w_1\) an der Stelle 1 f"ur den Fall, dass \(F_1=F_2=F\) ist.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 9.5
\begin{alignat*}{5}
\omega_1 &= \frac{F a^3}{E I} \frac{56}{15}, &\quad
\omega_2 &= \frac{F a^3}{E I} \frac{12}{5}
\end{alignat*}
Verständnisfragen
- Erläutern Sie die Begriffe Normalspannung und Schubspannung!
- Was versteht man in der Mechanik unter dem Begriff Dehnung?
- Wie ist die Schubverzerrung definiert?
- Wie lautet das Hookesche Gesetz für den einachsigen Spannungszustand?
- Welche Schritte sind notwendig, um aus einer gemessenen Kraft-Weg Kurve den Elastizitätsmodul zu bestimmen?
- Wie lautet das Hookesche Gesetz für Schub?
- Welcher Effekt wird als Querkontraktion bezeichnet?
- Welcher Zusammenhang besteht zwischen Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl und Schubmodul?
- Wann wird bei Materialverhalten von Isotropie gesprochen?
- Wann wird ein Material als homogen bezeichnet?
- Welche Schnittgröße bedingt eine Beanspruchung stabförmige Bauteile auf Zug oder Druck?
- Drücken Sie für einen Stab aus linear elastischen Material die Spannungen und die Dehnungen durch die Längskraft aus?
- Erläutern Sie die Berechnung der Längenänderung eines Stabes infolge einer Kraft am Ende des Stabes.
- Erläutern Sie den Begriff Längssteifigkeit!
- Wie berechnet man die maximale Schubspannung in einer Welle mit Kreis- bzw. Kreisringquerschnitt bei Torsion?
- Wie bestimmt man bei einer Welle mit konstanter Querschnittsfläche und konstantem Torsionsmoment die Verdrehung der Endquerschnitte relativ zueinander?
- Erläutern Sie den Begriff Torsionssteifigkeit!
- Wie sind die Flächenmomente einer Querschnittsfläche bezüglich eines vorgegebenen Koordinatensystems definiert?
- Erläutern Sie den Satz von Steiner zur Transformation von Flächenmomenten!
- Was versteht man unter den Hauptachsen einer Querschnittsfläche?
- Wie verlaufen die Hauptachsen bei symmetrischen Querschnitten?
- Erläutern Sie die bernoullische Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte bei Biegung!
- Für welchen Belastungsfall stimmt die bernoullische Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte mit der Realität überein?
- Wann spricht man von gerader und wann von schiefer Biegung?
- Geben Sie die Gleichung für die Berechnung der Biegenormalspannung bei gerader Biegung an.
- Was versteht man unter der elastischen Linie?
- Was versteht man unter dem Begriff Biegesteifigkeit?
- Formulieren und begründen sie das Gesetz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen.
- Wie viel unabhängige Spannungen gibt es beim räumlichen Spannungszustand?
- Wodurch ist ein ebener Spannungszustand definiert? Wie viel unabhängige Spannungen gibt es in diesem Fall?
- Wie kann der Verschiebungszustand eines Körpers beschrieben werden?
- Nennen sie die Annahmen und Voraussetzungen der linearen Elastizitätstheorie.
- Was verstehen sie unter einer zulässigen Spannung?
- Was beeinflusst die Größe der zulässigen Spannung?
- Erläutern Sie den Begriff Sicherheit einer Konstruktion bzw. eines Bauteils gegenüber einem möglichen Versagensfall.
- Was versteht man unter der Festigkeit eines Werkstoffes? Geben Sie für einen metallischen Werkstoff zwei Beispiele an.
- Unter welchen Voraussetzungen dürfen Spannungen bei zusammengesetzter Beanspruchung addiert werden?
- Erklären Sie den Begriff Vergleichsspannung.
- Welchem Zweck dienen Vergleichsspannungshypothesen?
- Warum gibt es unterschiedliche Vergleichsspannungshypothesen?
- Nennen sie die drei bekanntesten Vergleichsspannungshypothesen.
- Geben Sie die einzelnen Schritte für das Bemessen einer Welle auf Festigkeit bei gleichzeitiger Wirkung von Biegung und Torsion an.
- Was verstehen sie unter dem Begriff knicken?
- Was verbirgt sich hinter den Begriffen Theorie erster Ordnung und Theorie zweiter Ordnung in der Festigkeitslehre?
- Was wird unter dem Begriff Knicklast bei Stäben verstanden?
- Skizzieren Sie die 4 Eulerfälle.
- Von welchen Parametern hängt die Knicklast eines Druck Stabes ab?
Videovorlesungen
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