Statik
TM1
Aufgaben
Aufgabe 1.1
#1
An einem Punkt greifen drei in der x-y-Ebene liegende Kräfte
\(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3\) an.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} |\vec{F}_1| & = 3\sqrt{2}\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_2| & = 3\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_3| & = \sqrt{5}\, \mathrm{N} \\ \alpha_1 & = 45 ^\circ, &\quad \alpha_2 & = 180 ^\circ, &\quad \alpha_3 & = 333,5 ^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} |\vec{F}_1| & = 3\sqrt{2}\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_2| & = 3\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_3| & = \sqrt{5}\, \mathrm{N} \\ \alpha_1 & = 45 ^\circ, &\quad \alpha_2 & = 180 ^\circ, &\quad \alpha_3 & = 333,5 ^\circ \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch die Resultierende \(\vec{F}_R\).
- Bestimmen Sie den Betrag \(|\vec{F}_3|\) so, dass die Wirkungslinie von \(\vec{F}_R\) mit der Wirkungslinie von \(\vec{F}_2\) zusammen fällt.
Hilfestellung 1
Zeichnerisch:
Da gilt
\(\vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3\)
müssen die drei Kräfte grafisch addiert werden. Das erfolgt durch Aneinanderhängen der Kräfte.
Dabei muss zuvor ein Masststab eingeführt werden.
\(\vec{F}_1\) beginnt im Ursprung des Koordinatensystems. 
Hilfestellung 2
Rechnerisch:
Es muss zunächst \(\vec{F}_{Rx}\) und \(\vec{F}_{Ry}\) berechnet werden. Nutzen Sie zur
Berechnung der x und y Anteile der einzelnen Kräfte die Formeln aus der Formelsammlung.
Beachten Sie dabei, dass die Winkel von der positiven x-Achse aus gemessen werden. 
Hilfestellung 3
Zeichnerisch: \(\vec{F}_3\) soweit verlängern, bis \(\vec{F}_R\) mit der x-Achse zusammen fällt.
Rechnerisch: \(\vec{F}_{Ry} = 0\) setzen. Daraus kann der Betrag von \(\vec{F}_3\) berechnet werden. 
Lösung: Aufgabe 1.1
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{Rx} & = 2 \, &&\mathrm{N}, &\quad
F_{Ry}&= 2 \, &&\mathrm{N}, &\quad
|\vec{F}_R| & = 2\sqrt{2}\, \mathrm{N}, &\quad
\alpha & = 45^{\circ} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
|\vec{F}_3| & = 6,7 \, &&\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.2
#2
Ein Bolzen wird durch die in der x-y-Ebene liegenden Kräfte \(F_1\)
bis \(F_4\), die sich in der Bolzenmittelachse schneiden, belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 1000\, \mathrm{N}, &\quad F_2 & = 500\, \mathrm{N} \\ F_3 & = 1500\, \mathrm{N}, &\quad F_4 & = 800\, \mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie Größe und Richtung der Resultierenden \(F_R\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 1000\, \mathrm{N}, &\quad F_2 & = 500\, \mathrm{N} \\ F_3 & = 1500\, \mathrm{N}, &\quad F_4 & = 800\, \mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie Größe und Richtung der Resultierenden \(F_R\).
Hilfestellung 1
Das Problem ist zwar räumlich dargestellt, die Kräfte wirken jedoch alle in einer Ebene.
Daher handelt es hier um ein ebenes, zentrales Kräftesystem. 
Hilfestellung 2
Für die rechnerische Bestimmung von \(F_{Rx}\) und \(F_{Ry}\) brauchen Sie die
x- und y-Koordinaten der einzelnen Kräfte. Dazu haben Sie zwei Möglichkeiten, welche am
Beispiel von \(F_{1}\) dargestellt sind:
Einmal können Sie als Winkel die \(330^\circ\) nutzen, wobei sich das negative Vorzeichen
bei \(F_{1y}\)
automatisch ergibt. Oder Sie nutzen als Winkel die \(30^\circ\) und fügen das
negative Vorzeichen bei \(F_{1y}\) selbst ein, da \(F_{1y}\)
in negative y-Richtung zeigt. 
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.2
\begin{alignat*}{5}
F_{Rx}&= -684 \, &&\mathrm{N}, &\quad
F_{Ry}&= -2299 \, &&\mathrm{N}, &\quad
|\vec{F}_R| &= 2398,6 \, \mathrm{N}, &\quad
\alpha & = 180^{\circ}+ 73,4^{\circ} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.3
#3
An einer Öse sind über Umlenkrollen Körper mit den Massen \(m_1\) und \(m_2\) befestigt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 & = 50\,\mathrm{kg}, &\quad \alpha & = 45^{\circ}, &\quad g = 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\ m_2 & = 60\,\mathrm{kg}, &\quad \beta & = 60^{\circ} &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Gesamtbelastung \(F_R\) der Öse und deren Richtung grafisch und analytisch. (Angabe von \(\alpha_R\) wie skizziert)
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 & = 50\,\mathrm{kg}, &\quad \alpha & = 45^{\circ}, &\quad g = 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\ m_2 & = 60\,\mathrm{kg}, &\quad \beta & = 60^{\circ} &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Gesamtbelastung \(F_R\) der Öse und deren Richtung grafisch und analytisch. (Angabe von \(\alpha_R\) wie skizziert)
Hilfestellung 3
Schneiden Sie durch die Seile auf der Seite, wo die Öse ist.
Legen Sie in die Öse ihr x-y Koordinatensystem. Bestimmen Sie
jeweils die x- und die y-Koordinaten der Seilkräfte. 
Lösung: Aufgabe 1.3
\begin{alignat*}{5}
F_{R}&= 661,5 \, &&\mathrm{N}, &\quad
\alpha & = 14,25^{\circ} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.4
#4
Ein Schiff wird von zwei Schleppern \(1\) und \(2\) so gezogen,
dass die Wirkungslinie der resultierenden Zugkraft \(F_R\) stets mit der Schiffslängsachse zusammenfällt. Es sind zwei Fälle zu untersuchen.
Geg.:
a) \begin{alignat*}{3} F_1 &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 7000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_2 &= 30^{\circ} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{2} F_R &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_1 &= 30^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
a) \begin{alignat*}{2} \alpha_1, &\quad F_{R} \end{alignat*} b) \(F_1\) so, dass \(F_2\) ein Minimum wird.
Geg.:
a) \begin{alignat*}{3} F_1 &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 7000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_2 &= 30^{\circ} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{2} F_R &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_1 &= 30^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
a) \begin{alignat*}{2} \alpha_1, &\quad F_{R} \end{alignat*} b) \(F_1\) so, dass \(F_2\) ein Minimum wird.
Hilfestellung 2
Legen Sie ein kartesisches Koordinatensystem so in den Kraftangriffspunkt der Schlepperkräfte,
dass die y-Richtung der Längsachse des gezogenen Schiffes entspricht.
Dadurch ist \(F_{Rx} = 0\).
Formulieren Sie anschließend die Gleichungen für \(F_{Rx}\) und \(F_{Ry}\) und lösen sie diese für Teil a)
nach den Unbekannten auf.
Hilfestellung 3
Für die analytische Lösung von b) benötigen \( F_2 = F_2(F_1)\).
Dazu müssen Sie \( \alpha_2\) eliminieren.
Nutzen Sie dazu: \(\cos^2 \alpha_2 + \sin^2 \alpha_2 = 1\). 
Lösung: Aufgabe 1.4
a)
\begin{alignat*}{5}
\alpha_1 & = 44,4^{\circ} &\quad
F_R &= 9,63\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
F_1 &= 4,33\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.5
#5
An einem Punkt greifen in der Ebene drei Kräfte gemäß Skizze an.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 500\,{N}, & \quad \alpha_1 & = 45^{\circ} \\ F_2 & = 300\,{N}, & \quad \alpha_2 & = 200^{\circ} \\ F_3 & = 400\,{N}, & \quad \alpha_3 & = 315^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die Kraft \(F\), die diesem System das Gleichgewicht hält. Bestimmen Sie diese zunächst grafisch und überprüfen Sie dieses Ergebnis durch eine analytische Lösung.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 500\,{N}, & \quad \alpha_1 & = 45^{\circ} \\ F_2 & = 300\,{N}, & \quad \alpha_2 & = 200^{\circ} \\ F_3 & = 400\,{N}, & \quad \alpha_3 & = 315^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die Kraft \(F\), die diesem System das Gleichgewicht hält. Bestimmen Sie diese zunächst grafisch und überprüfen Sie dieses Ergebnis durch eine analytische Lösung.
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst, was der Unterschied zwischen einer resultierenden Kraft und der Kraft,
die das System im Gleichgewicht hält, ist. Für die grafische Lösung hängen Sie die Kräfte einfach aneinander.
Wählen Sie zuvor einen Massstab, damit Sie die Größe und den Winkel der gesuchten Kraft der Skizze
entnehmen können. 
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.5
\begin{alignat*}{5}
F_G &= 574,1\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.6
#6
Ein Körper mit der Gewichtskraft \(F_G\) hängt an einem Seil. Es wirkt eine
horizontale Zugkraft \(F_Z\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 18\,\mathrm{kN}, &\quad F_Z &= 10\,\mathrm{kN}, &\quad l &= 6\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 18\,\mathrm{kN}, &\quad F_Z &= 10\,\mathrm{kN}, &\quad l &= 6\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die Kraft im Seil in der höchsten Stellung?
- Wie hoch kann der Körper durch die waagerechte Zugkraft \(F_Z\) gehoben werden?
Hilfestellung 2
Schneiden sie den Kraftangriffspunkt frei und skizzieren Sie das zentrale Kräftesystem.
Formulieren Sie das Kräftegleichgewicht in horizontaler und vertikaler Richtung.
Überlegen Sie, welche zwei Unbekannten in diesen Gleichungen stecken
und lösen Sie nach diesen auf.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.6
a)
\begin{alignat*}{5}
F_S &= 20,6\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
h &= 0,75\,\mathrm{m} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.7
#7
Ein Körper mit der Masse \(m\) ist an zwei Seilen aufgehängt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 30 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad l &= 4,5 \,\mathrm{m} \\ a &= 2 \,\mathrm{m}, &\quad b &= 4 \,\mathrm{m}, &\quad c &= 10 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seilkräfte \(F_{S1}\) und \(F_{S2}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 30 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad l &= 4,5 \,\mathrm{m} \\ a &= 2 \,\mathrm{m}, &\quad b &= 4 \,\mathrm{m}, &\quad c &= 10 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seilkräfte \(F_{S1}\) und \(F_{S2}\).
Hilfestellung 2
Erzeugen Sie ein Bild von dem zentralen Kräftesystem, indem Sie durch die am Knotenpunkt
angreifenden Seile schneiden. Die Seilkraft im vertikalen Seil entspricht der Gewichtskraft des Körpers.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.7
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 277,7\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S2} &= 298,1\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.8
#8
Ein Seil der Länge \(l\) ist in den Punkten \(A\) und \(B\) an zwei Wänden
befestigt. An einer reibungsfreien Rolle, deren Radius vernachlässigbar klein ist,
hängt ein Klotz der Masse \(m\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} m &=18\,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, \\ a &= 4\,\mathrm{m}, &\quad l &= 5 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} m &=18\,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, \\ a &= 4\,\mathrm{m}, &\quad l &= 5 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die Kraft im Seil?
- Beeinflusst die Höhendifferenz \(b\) die Seilkraft?
Hilfestellung 2
Die Winkel zwischen den Seilen rechts und links der Rolle und der Horizontalen sind gleich.
Schneiden sie sie durch die Seile und um den Körper. Erzeugen sie einen Skizze von dem
zentralen Kräftesystem.
Hilfestellung 3
Bewegen Sie den Punkt A gedanklich soweit nach unten, bis das Seil völlig gestreckt ist.
Das liefert den Zugang zu der für die Lösung notwendigen, geometrischen Beziehung.
Lösung: Aufgabe 1.8
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{S} &= 147,1\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\text{Die Höhendifferenz hat keinen Einfluss.} \\
\end{alignat*}
Aufgabe 1.9
#9
Eine Rolle der Masse \(m_1\) liegt reibungsfrei auf einer geneigten Ebene und
wird durch das Seil \(1\) gehalten. Von dieser Rolle aus verläuft waagerecht
über eine reibungsfrei gelagerte Rolle ein zweites Seil, an dessen Ende die
Masse \(m_2\) befestigt ist.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 50 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkaft \(F_{S1}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 50 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkaft \(F_{S1}\).
Hilfestellung 2
Schneiden Sie die Rolle frei und überlegen Sie genau, wie Sie die Kontaktkraft zwischen Rolle und geneigter Ebene eintragen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.9
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 429,8\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.10
#10
Das Seil einer Seilwinde wird reibungsfrei über den Knoten \(K\) eines
Stabzweischlages geführt. Am Seil hängt ein Klotz mit der Gewichtskraft \(F_G\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 500\,\mathrm{N}, &\quad \alpha &= 60^\circ, &\quad \beta &= 30^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Kräfte in den Stäben \(1\) und \(2\)?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 500\,\mathrm{N}, &\quad \alpha &= 60^\circ, &\quad \beta &= 30^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Kräfte in den Stäben \(1\) und \(2\)?
Hilfestellung 2
Überlegen Sie, wo das Zentrum ist, und schneiden Sie geeignet frei.
Wenn Sie diese Skizze haben, dann formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen
in horizontaler und vertikaler Richtung.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.10
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= -366\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S2} &= -366\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.11
#11
Drei Kräfte wirken in der x-y-Ebene.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 1,5\,\mathrm{kN} \\ F_3 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\). Es ist weiterhin der senkrechte Abstand von \(F_R\) zum Koordinatenursprung zu bestimmen. Tragen Sie \(F_R\) in die Skizze ein.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 1,5\,\mathrm{kN} \\ F_3 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\). Es ist weiterhin der senkrechte Abstand von \(F_R\) zum Koordinatenursprung zu bestimmen. Tragen Sie \(F_R\) in die Skizze ein.
Hilfestellung 1
Bei dieser Aufgabe handelt es sich um ein allgemeines Kraftsystem. Überlegen Sie warum!
Hilfestellung 2
Wenn sie \(F_{Rx}\), \(F_{Ry}\) und das resultierende Moment bezüglich des Koordinatenursprungs bestimmt haben,
können Sie die Geradengleichung für die Wirkungslinie der Resultierenden formulieren.
Lösung: Aufgabe 1.11
\begin{alignat*}{5}
|h_R| &= 1,92\,\mathrm{m}, &\quad
\alpha_R &= 4,7^\circ, &\quad
M_R &= -7,53\,\mathrm{kNm}, &\quad
F_R &= 3,92\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Geradengleichung der Resultierenden:
\begin{alignat*}{5}
y &= 0,082\,\mathrm{x} + 1,926\,\mathrm{m} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.12
#12
Gegeben sind die Kräfte \(F_1\) bis \(F_5\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 0,5\,\mathrm{cm}, &\quad F_1 &= 40 \,\mathrm{N}, &\quad F_2 &= 30 \,\mathrm{N} \\ F_3 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_4 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_5 &= 30 \,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\) sowie deren Schnittpunkt mit der x-Achse.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 0,5\,\mathrm{cm}, &\quad F_1 &= 40 \,\mathrm{N}, &\quad F_2 &= 30 \,\mathrm{N} \\ F_3 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_4 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_5 &= 30 \,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\) sowie deren Schnittpunkt mit der x-Achse.
Lösung: Aufgabe 1.12
\begin{alignat*}{5}
|h_R| &= 2,88\,\mathrm{cm}, &\quad
M_R &= 115\,\mathrm{Ncm}, &\quad
F_R &= 40\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Geradengleichung der Resultierenden:
\begin{alignat*}{5}
x &= -2,88\,\mathrm{cm} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.13
#13
An einem Autodrehkran wirken die Kräfte \(F_1\) bis \(F_4\) als Eigengewichte
bestimmter Baugruppen sowie die äußere Lasten \(F_5\) bis \(F_6\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 &= 5\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 2\,\mathrm{kN}, &\quad F_3 &= 8\,\mathrm{kN} \\ F_4 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_5 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_6 &= 4\,\mathrm{kN} \\ a &=2,5\,\mathrm{m}, &\quad b &=0,9\,\mathrm{m}, &\quad c &= 1,4\,\mathrm{m} \\ d &=3,0\,\mathrm{m}, &\quad e &=4,0\,\mathrm{m}, &\quad h &= 3,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ist die Standsicherheit gewährleistet?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 &= 5\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 2\,\mathrm{kN}, &\quad F_3 &= 8\,\mathrm{kN} \\ F_4 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_5 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_6 &= 4\,\mathrm{kN} \\ a &=2,5\,\mathrm{m}, &\quad b &=0,9\,\mathrm{m}, &\quad c &= 1,4\,\mathrm{m} \\ d &=3,0\,\mathrm{m}, &\quad e &=4,0\,\mathrm{m}, &\quad h &= 3,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ist die Standsicherheit gewährleistet?
Lösung: Aufgabe 1.13
Die Standsicherheit ist gewährleistet, da das Standmoment größer als das Kippmoment ist.
\begin{alignat*}{5}
M_{Stand} &= 46,2\,\mathrm{kNm}, &\quad
M_{Kipp} &= 39,0\,\mathrm{kNm} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.14
#14
Gegeben ist eine Rechteckscheibe. Sie ist durch zwei Kräfte belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{9} F_1 & = 10 \,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 2\sqrt{2}\,F_1 \\ a & = 5,0 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha & = 45^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg.
Geg.:
\begin{alignat*}{9} F_1 & = 10 \,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 2\sqrt{2}\,F_1 \\ a & = 5,0 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha & = 45^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg.
Lösung: Aufgabe 1.14
\begin{alignat*}{5}
F_R &= 10\, \sqrt{5}\,\mathrm{kN}, &\quad
\alpha_R &= 26,6^\circ &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.15
#15
Gegeben ist ein Winkeleisen, welches gemäß Skizze durch die
Einzelmomente \(M_1\) bis \(M_3\) und die Kraft \(F\) belastet ist.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 0,5\,\mathrm{kN}, &\quad M_1 &= 10 \,\mathrm{Nm} \\ M_2 &=50 \,\mathrm{Nm}, &\quad M_3 &=150 \,\mathrm{Nm}\\ \alpha &=45^{\circ}, &\quad a &= 0,1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg. Nutzen Sie für die Geradengleichung der Resultierenden einmal als Bezugspunkt den Punkt \(A\) und als Kontrolle den Punkt \(B\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 0,5\,\mathrm{kN}, &\quad M_1 &= 10 \,\mathrm{Nm} \\ M_2 &=50 \,\mathrm{Nm}, &\quad M_3 &=150 \,\mathrm{Nm}\\ \alpha &=45^{\circ}, &\quad a &= 0,1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg. Nutzen Sie für die Geradengleichung der Resultierenden einmal als Bezugspunkt den Punkt \(A\) und als Kontrolle den Punkt \(B\).
Lösung: Aufgabe 1.15
a)
\begin{alignat*}{5}
F_R &= 0,5\,\mathrm{kN}, &\quad
M^A_{G} &= -83,9\,\mathrm{Nm}, &\quad
M^B_{G} &= -190\,\mathrm{Nm}, &\quad
\alpha_R &= 45^\circ &\quad
\end{alignat*}
Geradengleichung der Resultierenden im Punkt A:
\begin{alignat*}{5}
y &= -x + 0,237\,\mathrm{m} &\quad
\end{alignat*}
Geradengleichung der Resultierenden im Punkt B:
\begin{alignat*}{5}
y &= -x + 0,537\,\mathrm{m} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.16
#16
Eine homogene, rechteckige Scheibe konstanter Dicke mit der Gewichtskraft \(F_G\)
ist an drei Stäben gelenkig befestigt. \(F_G\) greift in der Mitte der
Scheibe an.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} F_G &= 1,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}, F_{S3}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{1} F_G &= 1,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}, F_{S3}\).
Hilfestellung 3
Wählen Sie zum Aufstellen des Momentengleichgewichts einen Bezugspunkt, so dass in dieser Gleichung möglichst wenige Unbekannte sind.
Lösung: Aufgabe 1.16
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 1,57\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= 1,15\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S3} &= 1,00\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.17
#17
Eine homogene, kreisförmige Scheibe konstanter Dicke mit der Gewichtskraft
\(F_G\) ist an drei Stäben gelenkig befestigt. Weiterhin ist sie
im Punkt \(A\) durch die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_1 & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 1,5\,\mathrm{kN}, \\ F_G & = 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad r & \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}\), \(F_{S2}\), \(F_{S3}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_1 & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 1,5\,\mathrm{kN}, \\ F_G & = 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad r & \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}\), \(F_{S2}\), \(F_{S3}\).
Hilfestellung 3
Wählen Sie zum Aufstellen des Momentengleichgewichts einen Bezugspunkt, so dass in dieser Gleichung möglichst wenige Unbekannte sind.
Lösung: Aufgabe 1.17
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= -3,5\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= 2,5\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S3} &= -0,5\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.18
#18
Am Radkranz eines Speichenrads wirkt das Moment \(M\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6} M &= 24\,\mathrm{kNm}, &\quad r_1 &= 25\,\mathrm{cm} \\ r_2 &= 50\,\mathrm{cm}, &\quad r_3 &= 60\,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kräfte in den drei Speichen. Gehen Sie davon aus, dass diese am Radkranz und an der Nabe gelenkig befestigt sind.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} M &= 24\,\mathrm{kNm}, &\quad r_1 &= 25\,\mathrm{cm} \\ r_2 &= 50\,\mathrm{cm}, &\quad r_3 &= 60\,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kräfte in den drei Speichen. Gehen Sie davon aus, dass diese am Radkranz und an der Nabe gelenkig befestigt sind.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.18
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 32\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= 32\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S3} &= 32\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.19
#19
Ein homogener Balken (Gewichtskraft \(F_G\) ) wird von einem Seil gehalten
und liegt bei \(A\) und \(B\) an senkrechten, glatten Wänden.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad a & = 0,25\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad a & = 0,25\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die Kraft im Seil?
- Wie groß sind die Kontaktkräfte?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.19
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{S} &= 3,46\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{5}
F_{A} &= 2,05\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{B} &= 0,32\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.20
#20
Der abgebildete Träger hat die Gewichtskraft \(F_G\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G &= 4000\, \mathrm{N}, &\quad a & = 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}\) und \(F_{S3}\)?
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G &= 4000\, \mathrm{N}, &\quad a & = 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}\) und \(F_{S3}\)?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.20
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 1623\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S2} &= 1740\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S3} &= 1230\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.21
#21
Eine Walze wird über einen gewichtslosen Hebel der Länge \(l\) belastet,
der auf einer Ecke der Höhe \(h\) aufliegt. Alle Berührungsflächen sind
ideal glatt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad F_G &= 3,0\,\mathrm{kN} \\ l &= 1,5\,\mathrm{m}, &\quad F &= 1,0\,\mathrm{kN} \\ h &= r & \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Druckkraft zwischen der Walze und dem horizontalen Boden?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad F_G &= 3,0\,\mathrm{kN} \\ l &= 1,5\,\mathrm{m}, &\quad F &= 1,0\,\mathrm{kN} \\ h &= r & \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Druckkraft zwischen der Walze und dem horizontalen Boden?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.21
\begin{alignat*}{5}
B &= 0,5\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.22
#22
Ein Seil wird über eine Rolle vom Radius \(R\) geführt und durch
Kräfte \(F\) belastet. Auf einer Seite wird es durch eine Rolle mit dem Radius \(r\) und der
Gewichtskraft \(F_G\), die mit der ersten Rolle durch eine masselose Pendelstange der Länge \(l\) verbunden ist, abgelenkt.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F & = 100\, \mathrm{N} , & \quad F_G & = 40 \, \mathrm{N} , & \quad r & = 3\, \mathrm{cm} \\ R & = 4\, \mathrm{cm} , & \quad l & = 10 \, \mathrm{cm} & & \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F & = 100\, \mathrm{N} , & \quad F_G & = 40 \, \mathrm{N} , & \quad r & = 3\, \mathrm{cm} \\ R & = 4\, \mathrm{cm} , & \quad l & = 10 \, \mathrm{cm} & & \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie den Winkel \(\alpha\), den die Pendelstange mit der Vertikalen bildet.
- Geben Sie die Kraft in der Pendelstange an. Reibungskräfte bleiben unberücksichtigt.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.22
a) \begin{alignat*}{5}
\alpha &= 30^{\circ} &\quad
\end{alignat*}
b) \begin{alignat*}{1}
F_{Stange} & = 49,83\, \mathrm{N} & \quad
\end{alignat*}
Aufgabe 2.1
#23
Mit Bezug auf ein gegebenes Koordinatensystem ist eine ebene Fläche beschrieben.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} a & = 10\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes und für die Außenkontur die Koordinaten des Linienschwerpunktes.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} a & = 10\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes und für die Außenkontur die Koordinaten des Linienschwerpunktes.
Hilfestellung 1
Für die Berechnung des Linienschwerpunktes zerlegen Sie die äußere Kontur des
Bauteils in Liniensegmente, deren Schwerpunkte Sie kennen.
Hilfestellung 2
Für die Berechnung des Flächenschwerpunktes zerlegen Sie das Bauteil
in Flächensegmente, deren Schwerpunkte Sie kennen.
Lösung: Aufgabe 2.1
Flächenschwerpunkt:
\begin{alignat*}{5}
\bar{x}_S &= 32,9 \,\mathrm{mm}, &\quad \bar{y}_S &= 8,4 \,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Linienschwerpunkt:
\begin{alignat*}{1}
\bar{x}_S &= 31,3 \,\mathrm{mm}, &\quad \bar{y}_S &= 7,8\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.2
#24
Mit Bezug auf ein gegebenes Koordinatensystem ist eine ebene Fläche beschrieben.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} \mbox{a} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} \mbox{a} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 2.2
\begin{alignat*}{5}
\bar{x}_S &= 1,34a, &\quad \bar{y}_S &= 2,19a
\end{alignat*}
Aufgabe 2.3
#25
Mit Bezug auf ein gegebenes Koordinatensystem ist eine ebene Fläche beschrieben.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} \mbox{a} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} \mbox{a} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 2.3
\begin{alignat*}{5}
\bar{x}_S &= -1,88a, &\quad \bar{y}_S &= -0,30a
\end{alignat*}
Aufgabe 2.4
#26
Mit Bezug auf ein gegebenes Koordinatensystem ist eine ebene Fläche beschrieben.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} r \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes mittels Integration.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} r \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes mittels Integration.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 2.4
\begin{alignat*}{5}
\bar{x}_S &= 0, &\quad \bar{y}_S &= \frac{4 r}{3 \pi}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.5
#27
Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine lineare Streckenlast
\(q(x)\) belastet. Die Resultierende geht durch den Schwerpunkt der durch \(q(x)\)
beschriebenen Fläche.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 5\,\mathrm{m}, &\quad q(x) & = \frac{q_0}{l}\,x, & \quad q_0 &= 100\,\mathrm{\frac{N}{m}} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Betrag und die Lage der zur Streckenlast äquivalenten, resultierenden Kraft.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 5\,\mathrm{m}, &\quad q(x) & = \frac{q_0}{l}\,x, & \quad q_0 &= 100\,\mathrm{\frac{N}{m}} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Betrag und die Lage der zur Streckenlast äquivalenten, resultierenden Kraft.
Lösung: Aufgabe 2.5
\begin{alignat*}{5}
\bar{x}_R &= \frac{2}{3}l, &\quad F_R &= 250\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.6
#28
Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine quadratische Streckenlast
\(q(x)\) belastet. Die Resultierende geht durch den Schwerpunkt der durch \(q(x)\)
beschriebenen Fläche.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} l & = 2\,\mathrm{m}, &\quad q(x) &= \frac{q_0}{l^2}\,x^2, \quad & q_0 &= 240\,\mathrm{\frac{N}{m}}\\ \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Betrag und die Lage der zur Streckenlast äquivalenten, resultierenden Kraft.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} l & = 2\,\mathrm{m}, &\quad q(x) &= \frac{q_0}{l^2}\,x^2, \quad & q_0 &= 240\,\mathrm{\frac{N}{m}}\\ \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Betrag und die Lage der zur Streckenlast äquivalenten, resultierenden Kraft.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 2.6
\begin{alignat*}{5}
x_R &= 1,5\,\mathrm{m}, &\quad F_R &= 160\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.1
#29
Ein Träger ist in \(A\) durch ein Festlager und in \(B\) durch ein Loslager
gestützt und durch die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 & = 2000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 1000\,\mathrm{N}, &\quad a & = 1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 & = 2000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 1000\,\mathrm{N}, &\quad a & = 1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Hilfestellung 3
Formulieren Sie entsprechend dem Freikörperbild für den freigeschnittenen Körper
die Kräftegleichgewichtsbedingungen in horizontaler und vertikaler Richtung
sowie das Momentengleichgewicht. Beim Momentengleichgewicht wählen Sie einen Punkt so,
dass möglichst wenig Unbekannte in dieser Gleichung auftreten.
Lösung: Aufgabe 3.1
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{AV} &= 0,36\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{B} &= 2,37\,\mathrm{kN}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.2
#30
Ein verzweigter und abgewinkelter Träger werden durch die Kräfte
\(F_1\) bis \(F_3\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 2000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 2000\, \mathrm{N}, \\ F_3 & = 4000\,\mathrm{N}, &\quad a & = 1 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 2000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 2000\, \mathrm{N}, \\ F_3 & = 4000\,\mathrm{N}, &\quad a & = 1 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Hilfestellung 3
Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen basierend auf dem Freikörperbild.
Lösung: Aufgabe 3.2
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= -4,0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{AV} &= 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{B} &= 1,0\,\mathrm{kN}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.3
#31
Ein abgewinkelter Träger wird durch eine Kraft \(F\) und eine Streckenlast \(q_0\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a & =1\,\mathrm{m}, &\quad F & =200\,\mathrm{N}, &\quad q_0 & =100\,\mathrm{\frac{N}{m}} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a & =1\,\mathrm{m}, &\quad F & =200\,\mathrm{N}, &\quad q_0 & =100\,\mathrm{\frac{N}{m}} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.3
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= 200\,\mathrm{N}, &\quad
F_{AV} &= 646\,\mathrm{N}, &\quad
F_{B} &= -146\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.4
#32
Ein verzweigter Träger ist bei \(A\) fest eingespannt und wird durch verschiedene
Kräfte und eine Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 &= 1000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 &= 2000\,\mathrm{N},\\ F_3 &= 4000\,\mathrm{N}, &\quad q &= 2000\,\mathrm{\frac{N}{m}},\\ a &= 1\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 &= 1000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 &= 2000\,\mathrm{N},\\ F_3 &= 4000\,\mathrm{N}, &\quad q &= 2000\,\mathrm{\frac{N}{m}},\\ a &= 1\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.4
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= -5,0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{AV} &= 0\,\mathrm{kN}, &\quad
M_{A} &= -2,0\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.5
#33
Ein verzweigter Träger ist bei \(A\) fest eingespannt und durch eine
Streckenlast, eine Einzelkraft und ein Einzelmoment belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 5000 \,\mathrm{N} , &\quad M_0 &= 1000 \,\mathrm{Nm} \\ a &= 0,5 \,\mathrm{m} , &\quad q_0 &= 500 \,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 5000 \,\mathrm{N} , &\quad M_0 &= 1000 \,\mathrm{Nm} \\ a &= 0,5 \,\mathrm{m} , &\quad q_0 &= 500 \,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.5
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= -5000\,\mathrm{N}, &\quad
F_{AV} &= 250\,\mathrm{N}, &\quad
M_{A} &= 1292\,\mathrm{Nm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.1
#34
Ein Träger mit Gelenk wird durch eine Streckenlast und eine
Einzelkraft belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 2000\,\mathrm{N}, &\quad q &= 1000\,\mathrm{\frac{N}{m}}, &\quad a &= 1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 2000\,\mathrm{N}, &\quad q &= 1000\,\mathrm{\frac{N}{m}}, &\quad a &= 1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.1
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad
F_{AV} &= 1667\,\mathrm{N}, &\quad
F_{B} &= 5333\,\mathrm{N}, \\
F_{C} &= 1000\,\mathrm{N}, &\quad
F_{GH} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad
F_{GV} &= 1000\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.2
#35
Das dargestellte System aus zwei Trägern und zwei Stäben ist durch eine
Einzelkraft belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad &a \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad &a \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Hilfestellung 3
Beachten Sie, dass beim Freischneiden die Stabkräfte als Zugkräfte eingetragen werden.
Überlegen Sie, warum das so gemacht wird.
Lösung: Aufgabe 4.2
\begin{alignat*}{5}
F_{A} &= 1,33F, &\quad
F_{B} &= 2,04F, &\quad
F_{C} &= 1,63F, \\
F_{D} &= -2,86F, &\quad
F_{GH} &= -1,15F, &\quad
F_{GV} &= -0,33F
\end{alignat*}
Aufgabe 4.3
#36
Ein abgewinkelter Träger mit Gelenk ist durch eine Kraft und eine
Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 1000\,\mathrm{N}, &\quad q_0 &= 2000\,\mathrm{\frac{N}{m}}, &\quad a &= 0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 1000\,\mathrm{N}, &\quad q_0 &= 2000\,\mathrm{\frac{N}{m}}, &\quad a &= 0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.3
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= 833\,\mathrm{N}, &\quad
F_{AV} &= 500\,\mathrm{N}, &\quad
F_{BH} &= -333\,\mathrm{N}, \\
F_{BV} &= 500\,\mathrm{N}, &\quad
F_{GH} &= -833\,\mathrm{N}, &\quad
F_{GV} &= -500\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.4
#37
Ein Gelenkträger besteht aus einem geraden und einem verzweigten Teil.
Er wird durch die Einzelkräfte \(F_1\) und \(F_2\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F_1&= 1,0 \, \mathrm{kN}, &\quad F_2&= 2,0 \, \mathrm{kN} \\ a &= 1,0 \, \mathrm{m}, &\quad b &= 0,6 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\) sowie die Kräfte im Gelenk \(G\).
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F_1&= 1,0 \, \mathrm{kN}, &\quad F_2&= 2,0 \, \mathrm{kN} \\ a &= 1,0 \, \mathrm{m}, &\quad b &= 0,6 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\) sowie die Kräfte im Gelenk \(G\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.4
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= -F_2, &\quad
F_{AV} &= F_1 + F_2 \frac{c}{a}, &\quad
F_{B} &= -F_2 \frac{c}{a}, \\
M_{A} &= F_1\frac{a}{2} + F_2 c, &\quad
F_{GH} &= F_2, &\quad
F_{GV} &= F_2 \frac{c}{a}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.5
#38
Der symmetrische Bock besteht aus zwei Balken, die in \(C\) gelenkig miteinander
verbunden sind und durch ein Seil \(S\) gehalten werden. Er ist durch einen
glatten Zylinder (Gewichtskraft \(F_G\)) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G & = 500\,\mathrm{N}, &\quad a & = 0,2\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\) sowie Kraft im Seil.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G & = 500\,\mathrm{N}, &\quad a & = 0,2\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\) sowie Kraft im Seil.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.5
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad
F_{AV} &= 250\,\mathrm{N}, &\quad
F_{B} &= 250\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S} &= 1000\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.6
#39
Ein Tragwerk besteht aus zwei geraden Trägern, die durch einen Stab miteinader verbunden sind.
Belastet wird das System durch ein Moment \(M\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M &= 3,6\,\mathrm{kNm}, &\quad a &= 0,1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, Gelenkreaktionen und die Kraft im Stab.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} M &= 3,6\,\mathrm{kNm}, &\quad a &= 0,1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, Gelenkreaktionen und die Kraft im Stab.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.6
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad
F_{AV} &= 1500\,\mathrm{N}, &\quad
F_{C} &= 4500\,\mathrm{N}, \\
F_{DH} &= -3000\,\mathrm{N}, &\quad
F_{DV} &= -6000\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
F_{S} &= 6708\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.7
#40
Eine Last (Gewichtskraft \(F_G\)) wird über zwei Hebel und eine Umlenkrolle gehalten.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G &= 16,0\,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kraft im Gelenk \(G\) sowie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G &= 16,0\,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kraft im Gelenk \(G\) sowie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.7
\begin{alignat*}{5}
A_{H} &= 5,0\,\mathrm{kN}, &\quad
A_{V} &= -13,0\,\mathrm{kN}, &\quad
B_{H} &= -5,0\,\mathrm{kN}, \\
B_{V} &= 29,0\,\mathrm{kN}, &\quad
G_{H} &= -11,0\,\mathrm{kN}, &\quad
G_{V} &= -13,0\,\mathrm{kN}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.8
#41
Die Radaufhängung eines Kraftfahrzeugs hat die Achslast \(F\) aufzunehmen.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} F &= 3000\,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Federkraft, Lager- und Gelenkreaktionen.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} F &= 3000\,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Federkraft, Lager- und Gelenkreaktionen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.8
\begin{alignat*}{5}
F_{A} &= 1714\,\mathrm{N}, &\quad
F_{B} &= 1714\,\mathrm{N}, &\quad
F_{CH} &= 1714\,\mathrm{N}, \\
F_{CV} &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad
F_{DH} &= 1714\,\mathrm{N}, &\quad
F_{DV} &= 3685\,\mathrm{N}, \\
F_{E} &= -6685\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.9
#42
Ein horizontaler Balken wird durch einen vertikalen Balken abgestützt.
Die Verbindung ist gelenkig. Über eine sehr kleine Rolle wird von \(C\) aus ein
Seil geführt, an welchem ein Körper (Gewichtskraft \(F_G\)) hängt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 0,5\,\mathrm{m} &\quad F_G &= 5,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\), die Kraft im Seil sowie die Kräfte im Gelenk bei \(D\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 0,5\,\mathrm{m} &\quad F_G &= 5,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\), die Kraft im Seil sowie die Kräfte im Gelenk bei \(D\).
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.9
\begin{alignat*}{5}
F_{AH} &= 1,12\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{AV} &= -9,47\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{BH} &= -1,12\,\mathrm{kN}, \\
F_{BV} &= 14,47\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{DH} &= 1,12\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{DV} &= 18,94\,\mathrm{kN}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.10
#43
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch eine vertikale Kraft \(F\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Für den gezeichneten Ausleger sind die Stabkräfte und die Auflagerreaktionen mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens zu bestimmen.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Für den gezeichneten Ausleger sind die Stabkräfte und die Auflagerreaktionen mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens zu bestimmen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.10
\begin{alignat*}{5}
F_{AV} &= F, &\quad
F_{AH} &= -2F, &\quad
F_{B} &= 2F, \\
F_{S1} &= \sqrt{5}F, &\quad
F_{S2} &= -2F, &\quad
F_{S3} &= 0, \\
F_{S4} &= -2F, &\quad
F_{S5} &= 0, &\quad
F_{S6} &= \sqrt{5}F, \\
F_{S7} &= -F
\end{alignat*}
Aufgabe 4.11
#44
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch eine vertikale Kraft \(F\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 20\,\mathrm{kN}, &\quad a &=0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte und die Lagerreaktionen.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 20\,\mathrm{kN}, &\quad a &=0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte und die Lagerreaktionen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.11
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{AV} &= 0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{AH} &= 20,0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{BV} &= 20,0\,\mathrm{kN}, \\
F_{BH} &= 20,0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S1} &= 26,7\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= -33,3\,\mathrm{kN}, \\
F_{S3} &= -24,0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S4} &= 24,0\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S5} &= 6,7\,\mathrm{kN}, \\
F_{S6} &= -44,7\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S7} &= 20,0\,\mathrm{kN}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.12
#45
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch eine vertikale Kraft belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 50 \,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \\ \alpha &= 60\,^\circ, &\quad \beta &= 45\,^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte und die Lagerreaktionen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 50 \,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \\ \alpha &= 60\,^\circ, &\quad \beta &= 45\,^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte und die Lagerreaktionen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.12
\begin{alignat*}{5}
F_{AV} &= -13,4\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{AH} &= 63,4\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{BV} &= 63,4\,\mathrm{kN}, \\
F_{BH} &= -63,4\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S1} &= 57,7\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= -28,9\,\mathrm{kN}, \\
F_{S3} &= -57,7\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S4} &= 57,7\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S5} &= 57,7\,\mathrm{kN}, \\
F_{S6} &= -86,5\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S7} &= 15,5\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S8} &= 15,5\,\mathrm{kN}, \\
F_{S9} &= -15,5\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S10} &= -71,1\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S11} &= 15,5\,\mathrm{kN}, \\
F_{S12} &= 89,7\,\mathrm{kN}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.13
#46
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch zwei vertikale Kräfte \(F\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Für den gezeichneten Träger sind die Stabkräfte \(F_{S1}\), \(F_{S2}\) und \(F_{S3}\) sowie die Auflagerreaktionen zu bestimmen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Für den gezeichneten Träger sind die Stabkräfte \(F_{S1}\), \(F_{S2}\) und \(F_{S3}\) sowie die Auflagerreaktionen zu bestimmen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.13
\begin{alignat*}{5}
F_{AV} &= F, &\quad
F_{AH} &= 0, &\quad
F_{BV} &= F, \\
F_{S1} &= -\frac{F}{2}, &\quad
F_{S2} &= 0, &\quad
F_{S3} &= \frac{F}{2}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.14
#47
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch drei vertikale Kräfte belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kraft im Stab \(6\). Bestimmen Sie zuvor die Auflagerreaktionen und geben Sie diese ebenfalls an. Geben Sie ebenfalls den Freischnitt und das Freikörperbild des Gesamtsystems an.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kraft im Stab \(6\). Bestimmen Sie zuvor die Auflagerreaktionen und geben Sie diese ebenfalls an. Geben Sie ebenfalls den Freischnitt und das Freikörperbild des Gesamtsystems an.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.14
\begin{alignat*}{5}
F_{AV} &= 1,5F, &\quad
F_{AH} &= 0, &\quad
F_{BV} &= 1,5F, \\
F_{S6} &= \frac{3}{8}F
\end{alignat*}
Aufgabe 5.1
#48
Ein Träger wird durch zwei Einzelkräfte belastet
und ist gemäß Skizze gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= 2F, &\quad F_2 &= F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= 2F, &\quad F_2 &= F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
- Auflagerreaktionen.
- Schnittgrößenverläufe als Skizze.
Hilfestellung 3
Formulieren Sie bereichsweise das Gleichgewicht am jeweiligen Teilsystem und erhalten Sie daraus die Formeln zur Berechnung der Schnittgrößen.
Lösung: Aufgabe 5.1
Aufgabe 5.2
#49
Ein Träger wird durch eine Einzelkraft belastet und ist gemäß
Skizze gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
- Auflagerreaktionen.
- Schnittgrößenverläufe als Skizze.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.2
Aufgabe 5.3
#50
Ein Träger wird durch die Einzelkräfte \(F_1\), \(F_2\) und \(F_3\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= 2 \,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 1 \,\mathrm{kN}, &\quad F_3 & = 1 \,\mathrm{kN} \\ a & = 1 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &=60\,^\circ &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, die Verläufe der Schnittgrößen analytisch und deren grafische Darstellung sowie das maximale Biegemoment bez. Ort und Größe.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= 2 \,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 1 \,\mathrm{kN}, &\quad F_3 & = 1 \,\mathrm{kN} \\ a & = 1 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &=60\,^\circ &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, die Verläufe der Schnittgrößen analytisch und deren grafische Darstellung sowie das maximale Biegemoment bez. Ort und Größe.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.3
Aufgabe 5.4
#51
Ein Träger wird durch zwei Einzelkräfte belastet und ist gemäß Skizze gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= F, &\quad F_2 &= F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= F, &\quad F_2 &= F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
- Auflagerreaktionen.
- Schnittgrößenverläufe als Skizze.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.4
Aufgabe 5.5
#52
Ein Träger auf zwei Stützen wird durch die die Streckenlast \(q\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad l &= 1 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad l &= 1 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Lagerreaktionen.
- Querkraft und Biegemoment (Verlauf als Skizze).
Lösung: Aufgabe 5.5
Aufgabe 5.6
#53
Ein Träger wird durch die Einzelkraft \(F\) und die Streckenlast \(q\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F & = 5 \,\mathrm{kN}, &\quad a & = 0,1 \,\mathrm{m} \\ q & = 3\cdot10^4\,\mathrm{N/m}, &\quad \alpha & = 45\,^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, die Verläufe der Schnittgrößen analytisch, deren grafische Darstellung sowie das maximale Biegemoment.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F & = 5 \,\mathrm{kN}, &\quad a & = 0,1 \,\mathrm{m} \\ q & = 3\cdot10^4\,\mathrm{N/m}, &\quad \alpha & = 45\,^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, die Verläufe der Schnittgrößen analytisch, deren grafische Darstellung sowie das maximale Biegemoment.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.6
\begin{alignat*}{5}
A_{V} &= 3321\,\mathrm{N}, &\quad
B_{H} &= 3535\,\mathrm{N}, &\quad
B_{V} &= 9214\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 5.7
#54
Ein Träger wird durch die Einzelkraft \(F\) und die Streckenlast \(q\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{9} q & = 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad F & = 4000 \,\mathrm{N}, &\quad l & = 1 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{9} q & = 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad F & = 4000 \,\mathrm{N}, &\quad l & = 1 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Lagerreaktionen.
- Querkraft und Biegemoment (Verlauf als Skizze).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.7
Aufgabe 5.8
#55
Der dargestellte Träger wird durch die Streckenlast \(q\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
- Auflagerreaktionen.
- Schnittgrößen( Verlauf als Skizze).
- Betragsmäßig maximales Biegemoment (Ort und Größe).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.8
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{D} &= qa, &\quad
C_{V} &= qa, &\quad
M_{C} &= -qa^2
\end{alignat*}
b)
Aufgabe 5.9
#56
Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine Dreieckslast \(q(x)\) belastet. Der Maximalwert beträgt \(q_0\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen en \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie deren Verläufe grafisch dar.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen en \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie deren Verläufe grafisch dar.
Hilfestellung 3
Integrieren Sie die Funktion für die Streckenlast entsprechend, um zur Querkraft und zum Moment zu gelangen.
Lösung: Aufgabe 5.9
Aufgabe 5.10
#57
Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine veränderliche
Streckenlast \(q(x)\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q_0, &\quad a, &\quad q(x)&=q_0 \sin\frac{\pi x}{2 a} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q_0, &\quad a, &\quad q(x)&=q_0 \sin\frac{\pi x}{2 a} \end{alignat*}
Ges.:
- Schnittgrößenverläufe
- Maximales Biegemoment.
Hilfestellung 2
Nutzen Sie die für Streckenlast gegebene Funktion \(q(x)\) und integrieren Sie diese um jeweils zur
Querkraft und zum Biegemoment zu gelangen.
Lösung: Aufgabe 5.10
Aufgabe 5.11
#58
Ein abgewinkelter Träger ist durch eine Streckenlast \(q\)
und durch eine Einzellast \(F\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= qa, &\quad q, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= qa, &\quad q, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.11
Aufgabe 5.12
#59
Das abgewinkelte System ist durch eine Streckenlast \(q\)
und durch eine Einzellast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} q &= \frac{F}{a}, &\quad F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} q &= \frac{F}{a}, &\quad F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.12
Aufgabe 5.13
#60
Das abgewinkelte System ist durch ein Moment \(M_0\), welches auf der
Hälfte des horizontalen Abschnittes angreift, und durch eine Einzellast
belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} a, &\quad F, &\quad M_0 &=3Fa \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} a, &\quad F, &\quad M_0 &=3Fa \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.13
Aufgabe 5.14
#61
Der dargestellte, symmetrische Rahmen mit Gelenk bei \(C\) wird
durch eine Streckenlast
belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad q \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad q \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.14
Aufgabe 6.1
#62
Mit einer Hülse (Länge \(l_3\)) und einer Welle (Durchmesser \(d\)) wird eine
vertikale Führung realisiert.
An der Hülse ist ein Ausleger befestigt. Beide Bauteile besitzen die
Gewichtskraft \(F_G\). Am Ende des Auslegers greift die Kraft \(F\) an.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= 350\,\mathrm{N}, &\quad F_G &= 400\,\mathrm{N} \\ l_1 &= 250\,\mathrm{mm}, &\quad l_2 &= 400\,\mathrm{mm} \\ d &= 120\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 &= 0,15 \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf \(l_3\) höchstens haben, wenn das System allein durch die Reibung in Ruhestellung gehalten werden soll?
Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= 350\,\mathrm{N}, &\quad F_G &= 400\,\mathrm{N} \\ l_1 &= 250\,\mathrm{mm}, &\quad l_2 &= 400\,\mathrm{mm} \\ d &= 120\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 &= 0,15 \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf \(l_3\) höchstens haben, wenn das System allein durch die Reibung in Ruhestellung gehalten werden soll?
Hilfestellung 3
Erstellen Sie ein Freikörperbild von der Hülse mit dem Ausleger.
Zeichnen Sie die Haftreibungskräfte und die dazugehörigen Normalkräfte an den Stellen,
wo Reibung auftritt, ein.
Lösung: Aufgabe 6.1
\begin{alignat*}{5}
l_3 &= 96\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 6.2
#63
Eine Schraubzwinge soll selbsthemmend wirken.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} h &= 120\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 & = 0,2 \end{alignat*}
Ges.:
Welchen Wert muss die Breite \(b\) dann haben?
Geg.:
\begin{alignat*}{6} h &= 120\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 & = 0,2 \end{alignat*}
Ges.:
Welchen Wert muss die Breite \(b\) dann haben?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 6.2
\begin{alignat*}{5}
b &= 2 \mu_0 h
\end{alignat*}
Aufgabe 6.3
#64
Ein Körper der Masse \(m\) befindet sich in einer Greiferzange.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a & = 420\,\mathrm{mm}, &\quad b & = 80\,\mathrm{mm} \\ c & = 40\,\mathrm{mm} &\quad d & = 60\,\mathrm{mm}, \\ \alpha & = 30\,^{\circ}, &\quad m & = 100\,\mathrm{kg} \end{alignat*}
Ges.:
Haftreibungskoeffizient \(\mu_0\), bei dem die Masse aus der Greiferzange rutschen kann.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a & = 420\,\mathrm{mm}, &\quad b & = 80\,\mathrm{mm} \\ c & = 40\,\mathrm{mm} &\quad d & = 60\,\mathrm{mm}, \\ \alpha & = 30\,^{\circ}, &\quad m & = 100\,\mathrm{kg} \end{alignat*}
Ges.:
Haftreibungskoeffizient \(\mu_0\), bei dem die Masse aus der Greiferzange rutschen kann.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 6.3
\begin{alignat*}{5}
\mu_0 &= 0,107
\end{alignat*}
Aufgabe 6.4
#65
Ein an einem Seil hängender Balken stützt sich in waagerechter Stellung an
einer vertikalen Wand ab.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 1000\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 &= 0,5 \end{alignat*}
Ges.:
Die Entfernung \(x\), damit der Balken zu rutschen beginnt. Es soll nur der Fall betrachtet werden, wo der Kontaktpunkt sich nach oben bewegt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 1000\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 &= 0,5 \end{alignat*}
Ges.:
Die Entfernung \(x\), damit der Balken zu rutschen beginnt. Es soll nur der Fall betrachtet werden, wo der Kontaktpunkt sich nach oben bewegt.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 6.4
Für den Fall, dass das linke Balkenende sich nach oben bewegen soll ergibt sich:
\begin{alignat*}{5}
x &= 400\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 6.5
#66
Ein Stab liegt auf einer Kante und stützt sich zusätzlich an einem Ende an einer Mauer ab. An
beiden Kontaktstellen wirkt Reibung.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 1\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 15\,^{\circ}, &\quad \mu_0 &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Wo darf der Angriffspunkt von \(F\) liegen, ohne dass der Stab rutscht? Das Eigengewicht des Stabes sei vernachlässigbar klein.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 1\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 15\,^{\circ}, &\quad \mu_0 &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Wo darf der Angriffspunkt von \(F\) liegen, ohne dass der Stab rutscht? Das Eigengewicht des Stabes sei vernachlässigbar klein.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 6.5
\begin{alignat*}{5}
x &= l \frac{(\mu_0 \cos \alpha + \sin \alpha)^2}{1-(\mu_0 \cos \alpha + \sin \alpha)^2} = 0,43\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 6.6
#67
Die gezeichnete Keilkette dient zum Heben bzw. Senken der Last \(F_G\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G &= 200\,\mathrm{N}, &\quad \mu &= 0,1 \\ \alpha &= 60\,^{\circ}, &\quad \beta &= 30\,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die erforderliche Kraft am Schubkeil zum Heben.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G &= 200\,\mathrm{N}, &\quad \mu &= 0,1 \\ \alpha &= 60\,^{\circ}, &\quad \beta &= 30\,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die erforderliche Kraft am Schubkeil zum Heben.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 6.6
\begin{alignat*}{5}
F = 123\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 6.7
#68
Das Heben bzw. Absenken eines Körpers mit der Gewichtskraft \(F_G\) erfolgt
mit einem Seil, welches über einen feststehenden Zylinder geführt ist.
Der Haftreibungskoeffizient zwischen Zylinder und Seil ist \(_mu_0\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 100\,\mathrm{N}, &\quad \mu_0 & = 0,2 \,, &\quad \alpha &=30^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die Kraft \(F_S\), um beim Heben der Last \(F_G\) das Haften zu überwinden.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 100\,\mathrm{N}, &\quad \mu_0 & = 0,2 \,, &\quad \alpha &=30^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die Kraft \(F_S\), um beim Heben der Last \(F_G\) das Haften zu überwinden.
Lösung: Aufgabe 6.7
\begin{alignat*}{5}
F_S &= 1,52 F_G
\end{alignat*}
Aufgabe 6.8
#69
In der Abbildung ist schematisch eine Fördereinrichtung dargestellt.
Die Trommel der Winde und die Scheibe der Bandbremse sind fest miteinander
verbunden und drehbar gelagert. Der Umschlingungswinkel ist \(\alpha\) und
der Gleitreibungskoeffizient \(\mu\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G, &\quad \mu, &\quad r, &\quad R, &\quad a, &\quad l, &\quad \alpha \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die am Bremshebel wirkende Kraft \(F\), um ein gleichförmiges Ablassen des Förderkorbes (\(F_G\)) zu gewährleisten.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G, &\quad \mu, &\quad r, &\quad R, &\quad a, &\quad l, &\quad \alpha \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die am Bremshebel wirkende Kraft \(F\), um ein gleichförmiges Ablassen des Förderkorbes (\(F_G\)) zu gewährleisten.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 6.8
\begin{alignat*}{5}
F &= \frac{ar}{l(e^{\mu \alpha}-1)R} F_G
\end{alignat*}
Aufgabe 6.9
#70
Ein Pferd ist an einem Rundholz festgebunden. Die Trense ist 2,25 mal
um das Holz geschlungen und wird nur vom Gewicht der herunterhängenden
Länge (\(1\mathrm{g/cm}\)) gehalten. Zwischen Trense und Holz wirkt der
Reibkoeffizient \(\mu_0\). Die maximale Zugkraft, bei welcher die Trense reißt,
ist \(F\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 1100\,\mathrm{N}, &\quad \mu_0 & = 0,55 \end{alignat*}
Ges.:
Wie lang muss der Rest \(l\) sein, damit die Trense reißt bevor das Pferd loskommt?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 1100\,\mathrm{N}, &\quad \mu_0 & = 0,55 \end{alignat*}
Ges.:
Wie lang muss der Rest \(l\) sein, damit die Trense reißt bevor das Pferd loskommt?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 6.9
\begin{alignat*}{5}
l &= 0,47\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 7.1
#71
Ein Stabdreischlag ist an einer Wand befestigt. An einem Seil, das reibungsfrei
durch eine Öse im Knoten \(K\) geführt wird, hängt eine Kiste (Gewichtskraft \(G\)).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} G, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Stabkräfte?
Geg.:
\begin{alignat*}{2} G, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Stabkräfte?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 7.1
\begin{alignat*}{5}
F_1 &= \frac{9\sqrt{10}}{10}G, &\quad
F_2 &= \frac{3\sqrt{10}}{10}G, &\quad
F_3 &= -\frac{9\sqrt{5}}{5}G, &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 7.2
#72
Ein einseitig eingespannter Träger ist gemäß Skizze belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F & = 3000\,\mathrm{N}, &\quad l & = 800\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Verlauf der Schnittmomente.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F & = 3000\,\mathrm{N}, &\quad l & = 800\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Verlauf der Schnittmomente.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 7.2
Aufgabe 7.3
#73
Eine Welle ist in den Punkten \(A\) und \(E\) kugelgelagert. Die Welle wird
angetrieben am Zahnrad \(C\) mit einem Moment \(T_2\). An den Zahnrädern
bei \(B\) und \(D\) wirken die Abtriebsmomente \(T_1\), \(T_3\).
Geg.:
\begin{alignat*}{5} T_1 &= 275\,\mathrm{Nm}, &\quad T_2 &= 450\,\mathrm{Nm} \\ T_3 &= 175\,\mathrm{Nm}, &\quad L_{AB} &= 200\,\mathrm{mm} \\ L_{BC} &= 500\,\mathrm{mm}, &\quad L_{CD} &= 400\,\mathrm{mm} \\ L_{DE} &= 200\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Verlauf von \(M_T\) grafisch entlang der Welle.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} T_1 &= 275\,\mathrm{Nm}, &\quad T_2 &= 450\,\mathrm{Nm} \\ T_3 &= 175\,\mathrm{Nm}, &\quad L_{AB} &= 200\,\mathrm{mm} \\ L_{BC} &= 500\,\mathrm{mm}, &\quad L_{CD} &= 400\,\mathrm{mm} \\ L_{DE} &= 200\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Verlauf von \(M_T\) grafisch entlang der Welle.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 7.3
Aufgabe 7.4
#74
Eine Kurbelwelle ist bei A und C drehbar gelagert.
Bei B wird die Kraft \( F\) eingeleitet, welche mit dem Abtriebsmoment \( M_A\)
im Gleichgewicht steht.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad F, &\quad \beta \end{alignat*}
Ges.:
Man berechne für die in der Skizze dargestellte Lage
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad F, &\quad \beta \end{alignat*}
Ges.:
Man berechne für die in der Skizze dargestellte Lage
- das Abtriebsmoment \(M_A\),
- die räumlichen Lagerreaktionen bei A und C sowie
- die Torsionsmomente in den einzelnen Abschnitten (mit grafischer Darstellung).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 7.4
Verständnisfragen
- Erläutern Sie den Vektorcharakter der Kraft?
- Was versteht man unter einem starren Körper?
- Wie ist der Begriff Gleichgewicht in der Technischen Mechanik definiert?
- Was versteht man unter einem zentralen Kräftesystem?
- Erläutern Sie die rechnerische und grafische Zusammensetzung zweier Kräfte deren Wirkungslinien durch einen Punkt gehen.
- Zerlegen sie eine Kraft in zwei zueinander senkrecht stehende Teilkräfte.
- Geben Sie die Gleichungen zur Berechnung der Resultierenden eines zentralen ebenen Kräftesystems an.
- Geben sie die Gleichgewichtsbedingungen eines zentralen ebenen Kräftesystems an. Ergänzen Sie diese anschließend für den Fall das am System Einzelmomente angreifen.
- Wie äußert sich das Gleichgewicht eines zentralen ebenen Kräftesystems grafisch?
- Was versteht man unter einem allgemeinen ebenen Kräftesystem?
- Erläutern Sie den Begriff Moment einer Kraft bezüglich einer Achse.
- Was ist ein Kräftepaar und worin besteht dessen statische Wirkung?
- Wie lauten die Gleichgewichtsbedingungen eines allgemeinen ebenen Kräftesystems?
- Wie ist der Massenschwerpunkt eines Körpers definiert?
- Worin unterscheiden sich Massenschwerpunkt und Volumenschwerpunkt? Wann sind diese gleich?
- Worin unterscheiden sich Flächen- und Linienschwerpunkt?
- Geben Sie ein Beispiel an für die praktische Bedeutung des Linienschwerpunktes?
- Welche Arten der Lasteinwirkung unterscheidet man? Geben Sie jeweils ein praktisches Beispiel an!
- Geben Sie drei Lagertypen der ebenen Statik an.
- Welche Reaktionsgrößen treten im ebenen Fall bei der Einspannung auf?
- Warum muss ein Körper vor dem Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen freigeschnitten werden?
- Wann ist ein Tragwerk statisch bestimmt?
- Nennen Sie drei Gelenktypen, die zum Aufbau zusammengesetzter ebener Tragwerke eingesetzt werden können?
- Wie kann man feststellen, ob ein zusammengesetztes ebenes Tragwerk statisch bestimmt ist?
- Wann spricht man von einem Stabtragwerk?
- Wie kann man rechnerisch ermitteln, ob in einem Stabtragwerk ein Stab auf Zug oder auf Druck beansprucht wird?
- Zur Ermittlung von Stabkräften bietet sich das Knotenpunktverfahren und das Ritterschnittverfahren an. Erläutern Sie diese Verfahren anhand eines einfachen Beispiels.
- Welche Schnittgrößen treten im Allgemeinen bei einem Balken im ebenen Fall auf und welche Vorzeichen Vereinbarungen gelten dafür?
- Geben Sie die einzelnen Schritte zur rechnerischen Bestimmung der Schnittgrößen in einem Balken an.
- Wann müssen Balken zur Bestimmung der Schnittgrößen in einzelne Bereiche eingeteilt werden?
- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen Querkraft und Biegemoment?
- Worin besteht der prinzipielle Unterschied zwischen Haften und Gleiten?
- Was versteht man unter dem Begriff Reibkegel?
- Wie lautet die Formel für den Maximalwert der Haftreibungskraft?
- In welcher wertemäßigen Relation stehen Gleitreibungszahl und Haftreibungszahl zueinander, wenn in beiden Fällen gleiche Kontaktbedingungen vorliegen?
- Was versteht man unter einem räumlichen Kräftesystem?
- Wie lauten die Gleichgewichtsbedingungen eines allgemeinen räumlichen Kräftesystems in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem?
- Welche Wertigkeit hat im räumlichen Fall das Festlager und welche Reaktionsgrößen treten auf?
- Welche Schnittgrößen gibt es in der räumlichen Statik? Erläutern Sie die zugehörigen Vorzeichenvereinbarungen.
Videovorlesungen
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