Statik

TM1

Aufgaben

Aufgabe 1.1
#1
An einem Punkt greifen drei in der x-y-Ebene liegende Kräfte \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3\) an.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} |\vec{F}_1| & = 3\sqrt{2}\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_2| & = 3\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_3| & = \sqrt{5}\, \mathrm{N} \\ \alpha_1 & = 45 ^\circ, &\quad \alpha_2 & = 180 ^\circ, &\quad \alpha_3 & = 333,5 ^\circ \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch die Resultierende \(\vec{F}_R\).

  2. Bestimmen Sie den Betrag \(|\vec{F}_3|\) so, dass die Wirkungslinie von \(\vec{F}_R\) mit der Wirkungslinie von \(\vec{F}_2\) zusammen fällt.


Lösung: Aufgabe 1.1
a) \begin{alignat*}{5} F_{Rx} & = 2 \, &&\mathrm{N}, &\quad F_{Ry}&= 2 \, &&\mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_R| & = 2\sqrt{2}\, \mathrm{N}, &\quad \alpha & = 45^{\circ} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} |\vec{F}_3| & = 6,7 \, &&\mathrm{N} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.2
#2
Ein Bolzen wird durch die in der x-y-Ebene liegenden Kräfte \(F_1\) bis \(F_4\), die sich in der Bolzenmittelachse schneiden, belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 1000\, \mathrm{N}, &\quad F_2 & = 500\, \mathrm{N} \\ F_3 & = 1500\, \mathrm{N}, &\quad F_4 & = 800\, \mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie Größe und Richtung der Resultierenden \(F_R\).
Lösung: Aufgabe 1.2
\begin{alignat*}{5} F_{Rx}&= -684 \, &&\mathrm{N}, &\quad F_{Ry}&= -2299 \, &&\mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_R| &= 2398,6 \, \mathrm{N}, &\quad \alpha & = 180^{\circ}+ 73,4^{\circ} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.3
#3
An einer Öse sind über Umlenkrollen Körper mit den Massen \(m_1\) und \(m_2\) befestigt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 & = 50\,\mathrm{kg}, &\quad \alpha & = 45^{\circ}, &\quad g = 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\ m_2 & = 60\,\mathrm{kg}, &\quad \beta & = 60^{\circ} &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Gesamtbelastung \(F_R\) der Öse und deren Richtung grafisch und analytisch. (Angabe von \(\alpha_R\) wie skizziert)
Lösung: Aufgabe 1.3
\begin{alignat*}{5} F_{R}&= 661,5 \, &&\mathrm{N}, &\quad \alpha & = 14,25^{\circ} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.4
#4
Ein Schiff wird von zwei Schleppern \(1\) und \(2\) so gezogen, dass die Wirkungslinie der resultierenden Zugkraft \(F_R\) stets mit der Schiffslängsachse zusammenfällt. Es sind zwei Fälle zu untersuchen.

Geg.:
a) \begin{alignat*}{3} F_1 &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 7000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_2 &= 30^{\circ} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{2} F_R &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_1 &= 30^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
a) \begin{alignat*}{2} \alpha_1, &\quad F_{R} \end{alignat*} b) \(F_1\) so, dass \(F_2\) ein Minimum wird.
Lösung: Aufgabe 1.4
a) \begin{alignat*}{5} \alpha_1 & = 44,4^{\circ} &\quad F_R &= 9,63\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} F_1 &= 4,33\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.5
#5
An einem Punkt greifen in der Ebene drei Kräfte gemäß Skizze an.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 500\,{N}, & \quad \alpha_1 & = 45^{\circ} \\ F_2 & = 300\,{N}, & \quad \alpha_2 & = 200^{\circ} \\ F_3 & = 400\,{N}, & \quad \alpha_3 & = 315^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die Kraft \(F\), die diesem System das Gleichgewicht hält. Bestimmen Sie diese zunächst grafisch und überprüfen Sie dieses Ergebnis durch eine analytische Lösung.
Lösung: Aufgabe 1.5
\begin{alignat*}{5} F_G &= 574,1\,\mathrm{N} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.6
#6
Ein Körper mit der Gewichtskraft \(F_G\) hängt an einem Seil. Es wirkt eine horizontale Zugkraft \(F_Z\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 18\,\mathrm{kN}, &\quad F_Z &= 10\,\mathrm{kN}, &\quad l &= 6\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Kraft im Seil in der höchsten Stellung?

  2. Wie hoch kann der Körper durch die waagerechte Zugkraft \(F_Z\) gehoben werden?


Lösung: Aufgabe 1.6
a) \begin{alignat*}{5} F_S &= 20,6\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} h &= 0,75\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.7
#7
Ein Körper mit der Masse \(m\) ist an zwei Seilen aufgehängt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 30 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad l &= 4,5 \,\mathrm{m} \\ a &= 2 \,\mathrm{m}, &\quad b &= 4 \,\mathrm{m}, &\quad c &= 10 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seilkräfte \(F_{S1}\) und \(F_{S2}\).
Lösung: Aufgabe 1.7
\begin{alignat*}{5} F_{S1} &= 277,7\,\mathrm{N}, &\quad F_{S2} &= 298,1\,\mathrm{N} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.8
#8
Ein Seil der Länge \(l\) ist in den Punkten \(A\) und \(B\) an zwei Wänden befestigt. An einer reibungsfreien Rolle, deren Radius vernachlässigbar klein ist, hängt ein Klotz der Masse \(m\).

Geg.:
\begin{alignat*}{2} m &=18\,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, \\ a &= 4\,\mathrm{m}, &\quad l &= 5 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Kraft im Seil?

  2. Beeinflusst die Höhendifferenz \(b\) die Seilkraft?


Lösung: Aufgabe 1.8
a) \begin{alignat*}{5} F_{S} &= 147,1\,\mathrm{N} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} \text{Die Höhendifferenz hat keinen Einfluss.} \\ \end{alignat*}


Aufgabe 1.9
#9
Eine Rolle der Masse \(m_1\) liegt reibungsfrei auf einer geneigten Ebene und wird durch das Seil \(1\) gehalten. Von dieser Rolle aus verläuft waagerecht über eine reibungsfrei gelagerte Rolle ein zweites Seil, an dessen Ende die Masse \(m_2\) befestigt ist.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 50 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkaft \(F_{S1}\).
Lösung: Aufgabe 1.9
\begin{alignat*}{5} F_{S1} &= 429,8\,\mathrm{N} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.10
#10
Das Seil einer Seilwinde wird reibungsfrei über den Knoten \(K\) eines Stabzweischlages geführt. Am Seil hängt ein Klotz mit der Gewichtskraft \(F_G\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 500\,\mathrm{N}, &\quad \alpha &= 60^\circ, &\quad \beta &= 30^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Kräfte in den Stäben \(1\) und \(2\)?
Lösung: Aufgabe 1.10
\begin{alignat*}{5} F_{S1} &= -366\,\mathrm{N}, &\quad F_{S2} &= -366\,\mathrm{N} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.11
#11
Drei Kräfte wirken in der x-y-Ebene.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 1,5\,\mathrm{kN} \\ F_3 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\). Es ist weiterhin der senkrechte Abstand von \(F_R\) zum Koordinatenursprung zu bestimmen. Tragen Sie \(F_R\) in die Skizze ein.
Lösung: Aufgabe 1.11
\begin{alignat*}{5} |h_R| &= 1,92\,\mathrm{m}, &\quad \alpha_R &= 4,7^\circ, &\quad M_R &= -7,53\,\mathrm{kNm}, &\quad F_R &= 3,92\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*} Geradengleichung der Resultierenden: \begin{alignat*}{5} y &= 0,082\,\mathrm{x} + 1,926\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.12
#12
Gegeben sind die Kräfte \(F_1\) bis \(F_5\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 0,5\,\mathrm{cm}, &\quad F_1 &= 40 \,\mathrm{N}, &\quad F_2 &= 30 \,\mathrm{N} \\ F_3 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_4 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_5 &= 30 \,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\) sowie deren Schnittpunkt mit der x-Achse.
Lösung: Aufgabe 1.12
\begin{alignat*}{5} |h_R| &= 2,88\,\mathrm{cm}, &\quad M_R &= 115\,\mathrm{Ncm}, &\quad F_R &= 40\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*} Geradengleichung der Resultierenden: \begin{alignat*}{5} x &= -2,88\,\mathrm{cm} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.13
#13
An einem Autodrehkran wirken die Kräfte \(F_1\) bis \(F_4\) als Eigengewichte bestimmter Baugruppen sowie die äußere Lasten \(F_5\) bis \(F_6\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 &= 5\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 2\,\mathrm{kN}, &\quad F_3 &= 8\,\mathrm{kN} \\ F_4 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_5 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_6 &= 4\,\mathrm{kN} \\ a &=2,5\,\mathrm{m}, &\quad b &=0,9\,\mathrm{m}, &\quad c &= 1,4\,\mathrm{m} \\ d &=3,0\,\mathrm{m}, &\quad e &=4,0\,\mathrm{m}, &\quad h &= 3,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ist die Standsicherheit gewährleistet?
Lösung: Aufgabe 1.13
Die Standsicherheit ist gewährleistet, da das Standmoment größer als das Kippmoment ist. \begin{alignat*}{5} M_{Stand} &= 46,2\,\mathrm{kNm}, &\quad M_{Kipp} &= 39,0\,\mathrm{kNm} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.14
#14
Gegeben ist eine Rechteckscheibe. Sie ist durch zwei Kräfte belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} F_1 & = 10 \,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 2\sqrt{2}\,F_1 \\ a & = 5,0 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha & = 45^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg.
Lösung: Aufgabe 1.14
\begin{alignat*}{5} F_R &= 10\, \sqrt{5}\,\mathrm{kN}, &\quad \alpha_R &= 26,6^\circ &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.15
#15
Gegeben ist ein Winkeleisen, welches gemäß Skizze durch die Einzelmomente \(M_1\) bis \(M_3\) und die Kraft \(F\) belastet ist.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 0,5\,\mathrm{kN}, &\quad M_1 &= 10 \,\mathrm{Nm} \\ M_2 &=50 \,\mathrm{Nm}, &\quad M_3 &=150 \,\mathrm{Nm}\\ \alpha &=45^{\circ}, &\quad a &= 0,1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg. Nutzen Sie für die Geradengleichung der Resultierenden einmal als Bezugspunkt den Punkt \(A\) und als Kontrolle den Punkt \(B\).
Lösung: Aufgabe 1.15
a) \begin{alignat*}{5} F_R &= 0,5\,\mathrm{kN}, &\quad M^A_{G} &= -83,9\,\mathrm{Nm}, &\quad M^B_{G} &= -190\,\mathrm{Nm}, &\quad \alpha_R &= 45^\circ &\quad \end{alignat*} Geradengleichung der Resultierenden im Punkt A: \begin{alignat*}{5} y &= -x + 0,237\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*} Geradengleichung der Resultierenden im Punkt B: \begin{alignat*}{5} y &= -x + 0,537\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.16
#16
Eine homogene, rechteckige Scheibe konstanter Dicke mit der Gewichtskraft \(F_G\) ist an drei Stäben gelenkig befestigt. \(F_G\) greift in der Mitte der Scheibe an.

Geg.:
\begin{alignat*}{1} F_G &= 1,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}, F_{S3}\).
Lösung: Aufgabe 1.16
\begin{alignat*}{5} F_{S1} &= 1,57\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S2} &= 1,15\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S3} &= 1,00\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.17
#17
Eine homogene, kreisförmige Scheibe konstanter Dicke mit der Gewichtskraft \(F_G\) ist an drei Stäben gelenkig befestigt. Weiterhin ist sie im Punkt \(A\) durch die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_1 & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 1,5\,\mathrm{kN}, \\ F_G & = 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad r & \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}\), \(F_{S2}\), \(F_{S3}\).
Lösung: Aufgabe 1.17
\begin{alignat*}{5} F_{S1} &= -3,5\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S2} &= 2,5\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S3} &= -0,5\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.18
#18
Am Radkranz eines Speichenrads wirkt das Moment \(M\).

Geg.:
\begin{alignat*}{6} M &= 24\,\mathrm{kNm}, &\quad r_1 &= 25\,\mathrm{cm} \\ r_2 &= 50\,\mathrm{cm}, &\quad r_3 &= 60\,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kräfte in den drei Speichen. Gehen Sie davon aus, dass diese am Radkranz und an der Nabe gelenkig befestigt sind.
Lösung: Aufgabe 1.18
\begin{alignat*}{5} F_{S1} &= 32\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S2} &= 32\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S3} &= 32\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.19
#19
Ein homogener Balken (Gewichtskraft \(F_G\) ) wird von einem Seil gehalten und liegt bei \(A\) und \(B\) an senkrechten, glatten Wänden.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad a & = 0,25\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die Kraft im Seil?

  2. Wie groß sind die Kontaktkräfte?


Lösung: Aufgabe 1.19
a) \begin{alignat*}{5} F_{S} &= 3,46\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{5} F_{A} &= 2,05\,\mathrm{kN}, &\quad F_{B} &= 0,32\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.20
#20
Der abgebildete Träger hat die Gewichtskraft \(F_G\).

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G &= 4000\, \mathrm{N}, &\quad a & = 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}\) und \(F_{S3}\)?
Lösung: Aufgabe 1.20
\begin{alignat*}{5} F_{S1} &= 1623\,\mathrm{N}, &\quad F_{S2} &= 1740\,\mathrm{N}, &\quad F_{S3} &= 1230\,\mathrm{N} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.21
#21
Eine Walze wird über einen gewichtslosen Hebel der Länge \(l\) belastet, der auf einer Ecke der Höhe \(h\) aufliegt. Alle Berührungsflächen sind ideal glatt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad F_G &= 3,0\,\mathrm{kN} \\ l &= 1,5\,\mathrm{m}, &\quad F &= 1,0\,\mathrm{kN} \\ h &= r & \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Druckkraft zwischen der Walze und dem horizontalen Boden?
Lösung: Aufgabe 1.21
\begin{alignat*}{5} B &= 0,5\,\mathrm{kN} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.22
#22
Ein Seil wird über eine Rolle vom Radius \(R\) geführt und durch Kräfte \(F\) belastet. Auf einer Seite wird es durch eine Rolle mit dem Radius \(r\) und der Gewichtskraft \(F_G\), die mit der ersten Rolle durch eine masselose Pendelstange der Länge \(l\) verbunden ist, abgelenkt.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} F & = 100\, \mathrm{N} , & \quad F_G & = 40 \, \mathrm{N} , & \quad r & = 3\, \mathrm{cm} \\ R & = 4\, \mathrm{cm} , & \quad l & = 10 \, \mathrm{cm} & & \end{alignat*}
Ges.:
  1. Ermitteln Sie den Winkel \(\alpha\), den die Pendelstange mit der Vertikalen bildet.

  2. Geben Sie die Kraft in der Pendelstange an. Reibungskräfte bleiben unberücksichtigt.


Lösung: Aufgabe 1.22
a) \begin{alignat*}{5} \alpha &= 30^{\circ} &\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} F_{Stange} & = 49,83\, \mathrm{N} & \quad \end{alignat*}


Aufgabe 2.1
#23
Mit Bezug auf ein gegebenes Koordinatensystem ist eine ebene Fläche beschrieben.

Geg.:
\begin{alignat*}{1} a & = 10\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes und für die Außenkontur die Koordinaten des Linienschwerpunktes.
Lösung: Aufgabe 2.1
Flächenschwerpunkt: \begin{alignat*}{5} \bar{x}_S &= 32,9 \,\mathrm{mm}, &\quad \bar{y}_S &= 8,4 \,\mathrm{mm} \end{alignat*} Linienschwerpunkt: \begin{alignat*}{1} \bar{x}_S &= 31,3 \,\mathrm{mm}, &\quad \bar{y}_S &= 7,8\,\mathrm{mm} \end{alignat*}


Aufgabe 2.2
#24
Mit Bezug auf ein gegebenes Koordinatensystem ist eine ebene Fläche beschrieben.

Geg.:
\begin{alignat*}{1} \mbox{a} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes.
Lösung: Aufgabe 2.2
\begin{alignat*}{5} \bar{x}_S &= 1,34a, &\quad \bar{y}_S &= 2,19a \end{alignat*}


Aufgabe 2.3
#25
Mit Bezug auf ein gegebenes Koordinatensystem ist eine ebene Fläche beschrieben.

Geg.:
\begin{alignat*}{1} \mbox{a} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes.
Lösung: Aufgabe 2.3
\begin{alignat*}{5} \bar{x}_S &= -1,88a, &\quad \bar{y}_S &= -0,30a \end{alignat*}


Aufgabe 2.4
#26
Mit Bezug auf ein gegebenes Koordinatensystem ist eine ebene Fläche beschrieben.

Geg.:
\begin{alignat*}{1} r \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Koordinaten des Flächenschwerpunktes mittels Integration.
Lösung: Aufgabe 2.4
\begin{alignat*}{5} \bar{x}_S &= 0, &\quad \bar{y}_S &= \frac{4 r}{3 \pi} \end{alignat*}


Aufgabe 2.5
#27
Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine lineare Streckenlast \(q(x)\) belastet. Die Resultierende geht durch den Schwerpunkt der durch \(q(x)\) beschriebenen Fläche.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 5\,\mathrm{m}, &\quad q(x) & = \frac{q_0}{l}\,x, & \quad q_0 &= 100\,\mathrm{\frac{N}{m}} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Betrag und die Lage der zur Streckenlast äquivalenten, resultierenden Kraft.
Lösung: Aufgabe 2.5
\begin{alignat*}{5} \bar{x}_R &= \frac{2}{3}l, &\quad F_R &= 250\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 2.6
#28
Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine quadratische Streckenlast \(q(x)\) belastet. Die Resultierende geht durch den Schwerpunkt der durch \(q(x)\) beschriebenen Fläche.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l & = 2\,\mathrm{m}, &\quad q(x) &= \frac{q_0}{l^2}\,x^2, \quad & q_0 &= 240\,\mathrm{\frac{N}{m}}\\ \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie den Betrag und die Lage der zur Streckenlast äquivalenten, resultierenden Kraft.
Lösung: Aufgabe 2.6
\begin{alignat*}{5} x_R &= 1,5\,\mathrm{m}, &\quad F_R &= 160\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 3.1
#29
Ein Träger ist in \(A\) durch ein Festlager und in \(B\) durch ein Loslager gestützt und durch die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 & = 2000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 1000\,\mathrm{N}, &\quad a & = 1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Lösung: Aufgabe 3.1
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{AV} &= 0,36\,\mathrm{kN}, &\quad F_{B} &= 2,37\,\mathrm{kN} \end{alignat*}


Aufgabe 3.2
#30
Ein verzweigter und abgewinkelter Träger werden durch die Kräfte \(F_1\) bis \(F_3\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 2000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 2000\, \mathrm{N}, \\ F_3 & = 4000\,\mathrm{N}, &\quad a & = 1 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Lösung: Aufgabe 3.2
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= -4,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{AV} &= 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{B} &= 1,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}


Aufgabe 3.3
#31
Ein abgewinkelter Träger wird durch eine Kraft \(F\) und eine Streckenlast \(q_0\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a & =1\,\mathrm{m}, &\quad F & =200\,\mathrm{N}, &\quad q_0 & =100\,\mathrm{\frac{N}{m}} \\ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\).
Lösung: Aufgabe 3.3
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= 200\,\mathrm{N}, &\quad F_{AV} &= 646\,\mathrm{N}, &\quad F_{B} &= -146\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 3.4
#32
Ein verzweigter Träger ist bei \(A\) fest eingespannt und wird durch verschiedene Kräfte und eine Streckenlast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 &= 1000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 &= 2000\,\mathrm{N},\\ F_3 &= 4000\,\mathrm{N}, &\quad q &= 2000\,\mathrm{\frac{N}{m}},\\ a &= 1\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\).
Lösung: Aufgabe 3.4
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= -5,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{AV} &= 0\,\mathrm{kN}, &\quad M_{A} &= -2,0\,\mathrm{kNm} \end{alignat*}


Aufgabe 3.5
#33
Ein verzweigter Träger ist bei \(A\) fest eingespannt und durch eine Streckenlast, eine Einzelkraft und ein Einzelmoment belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 5000 \,\mathrm{N} , &\quad M_0 &= 1000 \,\mathrm{Nm} \\ a &= 0,5 \,\mathrm{m} , &\quad q_0 &= 500 \,\mathrm{N/m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen in \(A\).
Lösung: Aufgabe 3.5
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= -5000\,\mathrm{N}, &\quad F_{AV} &= 250\,\mathrm{N}, &\quad M_{A} &= 1292\,\mathrm{Nm} \end{alignat*}


Aufgabe 4.1
#34
Ein Träger mit Gelenk wird durch eine Streckenlast und eine Einzelkraft belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 2000\,\mathrm{N}, &\quad q &= 1000\,\mathrm{\frac{N}{m}}, &\quad a &= 1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Lösung: Aufgabe 4.1
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad F_{AV} &= 1667\,\mathrm{N}, &\quad F_{B} &= 5333\,\mathrm{N}, \\ F_{C} &= 1000\,\mathrm{N}, &\quad F_{GH} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad F_{GV} &= 1000\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 4.2
#35
Das dargestellte System aus zwei Trägern und zwei Stäben ist durch eine Einzelkraft belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad &a \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Lösung: Aufgabe 4.2
\begin{alignat*}{5} F_{A} &= 1,33F, &\quad F_{B} &= 2,04F, &\quad F_{C} &= 1,63F, \\ F_{D} &= -2,86F, &\quad F_{GH} &= -1,15F, &\quad F_{GV} &= -0,33F \end{alignat*}


Aufgabe 4.3
#36
Ein abgewinkelter Träger mit Gelenk ist durch eine Kraft und eine Streckenlast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 1000\,\mathrm{N}, &\quad q_0 &= 2000\,\mathrm{\frac{N}{m}}, &\quad a &= 0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflager- und Gelenkreaktionen.
Lösung: Aufgabe 4.3
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= 833\,\mathrm{N}, &\quad F_{AV} &= 500\,\mathrm{N}, &\quad F_{BH} &= -333\,\mathrm{N}, \\ F_{BV} &= 500\,\mathrm{N}, &\quad F_{GH} &= -833\,\mathrm{N}, &\quad F_{GV} &= -500\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 4.4
#37
Ein Gelenkträger besteht aus einem geraden und einem verzweigten Teil. Er wird durch die Einzelkräfte \(F_1\) und \(F_2\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} F_1&= 1,0 \, \mathrm{kN}, &\quad F_2&= 2,0 \, \mathrm{kN} \\ a &= 1,0 \, \mathrm{m}, &\quad b &= 0,6 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\) sowie die Kräfte im Gelenk \(G\).
Lösung: Aufgabe 4.4
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= -F_2, &\quad F_{AV} &= F_1 + F_2 \frac{c}{a}, &\quad F_{B} &= -F_2 \frac{c}{a}, \\ M_{A} &= F_1\frac{a}{2} + F_2 c, &\quad F_{GH} &= F_2, &\quad F_{GV} &= F_2 \frac{c}{a} \end{alignat*}


Aufgabe 4.5
#38
Der symmetrische Bock besteht aus zwei Balken, die in \(C\) gelenkig miteinander verbunden sind und durch ein Seil \(S\) gehalten werden. Er ist durch einen glatten Zylinder (Gewichtskraft \(F_G\)) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G & = 500\,\mathrm{N}, &\quad a & = 0,2\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen in \(A\) und \(B\) sowie Kraft im Seil.
Lösung: Aufgabe 4.5
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad F_{AV} &= 250\,\mathrm{N}, &\quad F_{B} &= 250\,\mathrm{N}, &\quad F_{S} &= 1000\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 4.6
#39
Ein Tragwerk besteht aus zwei geraden Trägern, die durch einen Stab miteinader verbunden sind. Belastet wird das System durch ein Moment \(M\).

Geg.:
\begin{alignat*}{2} M &= 3,6\,\mathrm{kNm}, &\quad a &= 0,1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, Gelenkreaktionen und die Kraft im Stab.
Lösung: Aufgabe 4.6
a) \begin{alignat*}{5} F_{AH} &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad F_{AV} &= 1500\,\mathrm{N}, &\quad F_{C} &= 4500\,\mathrm{N}, \\ F_{DH} &= -3000\,\mathrm{N}, &\quad F_{DV} &= -6000\,\mathrm{N} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} F_{S} &= 6708\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 4.7
#40
Eine Last (Gewichtskraft \(F_G\)) wird über zwei Hebel und eine Umlenkrolle gehalten.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G &= 16,0\,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kraft im Gelenk \(G\) sowie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\).
Lösung: Aufgabe 4.7
\begin{alignat*}{5} A_{H} &= 5,0\,\mathrm{kN}, &\quad A_{V} &= -13,0\,\mathrm{kN}, &\quad B_{H} &= -5,0\,\mathrm{kN}, \\ B_{V} &= 29,0\,\mathrm{kN}, &\quad G_{H} &= -11,0\,\mathrm{kN}, &\quad G_{V} &= -13,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}


Aufgabe 4.8
#41
Die Radaufhängung eines Kraftfahrzeugs hat die Achslast \(F\) aufzunehmen.

Geg.:
\begin{alignat*}{1} F &= 3000\,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Federkraft, Lager- und Gelenkreaktionen.
Lösung: Aufgabe 4.8
\begin{alignat*}{5} F_{A} &= 1714\,\mathrm{N}, &\quad F_{B} &= 1714\,\mathrm{N}, &\quad F_{CH} &= 1714\,\mathrm{N}, \\ F_{CV} &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad F_{DH} &= 1714\,\mathrm{N}, &\quad F_{DV} &= 3685\,\mathrm{N}, \\ F_{E} &= -6685\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 4.9
#42
Ein horizontaler Balken wird durch einen vertikalen Balken abgestützt. Die Verbindung ist gelenkig. Über eine sehr kleine Rolle wird von \(C\) aus ein Seil geführt, an welchem ein Körper (Gewichtskraft \(F_G\)) hängt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 0,5\,\mathrm{m} &\quad F_G &= 5,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\), die Kraft im Seil sowie die Kräfte im Gelenk bei \(D\).
Lösung: Aufgabe 4.9
\begin{alignat*}{5} F_{AH} &= 1,12\,\mathrm{kN}, &\quad F_{AV} &= -9,47\,\mathrm{kN}, &\quad F_{BH} &= -1,12\,\mathrm{kN}, \\ F_{BV} &= 14,47\,\mathrm{kN}, &\quad F_{DH} &= 1,12\,\mathrm{kN}, &\quad F_{DV} &= 18,94\,\mathrm{kN} \end{alignat*}


Aufgabe 4.10
#43
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch eine vertikale Kraft \(F\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Für den gezeichneten Ausleger sind die Stabkräfte und die Auflagerreaktionen mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens zu bestimmen.
Lösung: Aufgabe 4.10
\begin{alignat*}{5} F_{AV} &= F, &\quad F_{AH} &= -2F, &\quad F_{B} &= 2F, \\ F_{S1} &= \sqrt{5}F, &\quad F_{S2} &= -2F, &\quad F_{S3} &= 0, \\ F_{S4} &= -2F, &\quad F_{S5} &= 0, &\quad F_{S6} &= \sqrt{5}F, \\ F_{S7} &= -F \end{alignat*}


Aufgabe 4.11
#44
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch eine vertikale Kraft \(F\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F &= 20\,\mathrm{kN}, &\quad a &=0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte und die Lagerreaktionen.
Lösung: Aufgabe 4.11
a) \begin{alignat*}{5} F_{AV} &= 0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{AH} &= 20,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{BV} &= 20,0\,\mathrm{kN}, \\ F_{BH} &= 20,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S1} &= 26,7\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S2} &= -33,3\,\mathrm{kN}, \\ F_{S3} &= -24,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S4} &= 24,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S5} &= 6,7\,\mathrm{kN}, \\ F_{S6} &= -44,7\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S7} &= 20,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}


Aufgabe 4.12
#45
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch eine vertikale Kraft belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 50 \,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \\ \alpha &= 60\,^\circ, &\quad \beta &= 45\,^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte und die Lagerreaktionen.
Lösung: Aufgabe 4.12
\begin{alignat*}{5} F_{AV} &= -13,4\,\mathrm{kN}, &\quad F_{AH} &= 63,4\,\mathrm{kN}, &\quad F_{BV} &= 63,4\,\mathrm{kN}, \\ F_{BH} &= -63,4\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S1} &= 57,7\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S2} &= -28,9\,\mathrm{kN}, \\ F_{S3} &= -57,7\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S4} &= 57,7\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S5} &= 57,7\,\mathrm{kN}, \\ F_{S6} &= -86,5\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S7} &= 15,5\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S8} &= 15,5\,\mathrm{kN}, \\ F_{S9} &= -15,5\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S10} &= -71,1\,\mathrm{kN}, &\quad F_{S11} &= 15,5\,\mathrm{kN}, \\ F_{S12} &= 89,7\,\mathrm{kN} \end{alignat*}


Aufgabe 4.13
#46
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch zwei vertikale Kräfte \(F\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Für den gezeichneten Träger sind die Stabkräfte \(F_{S1}\), \(F_{S2}\) und \(F_{S3}\) sowie die Auflagerreaktionen zu bestimmen.
Lösung: Aufgabe 4.13
\begin{alignat*}{5} F_{AV} &= F, &\quad F_{AH} &= 0, &\quad F_{BV} &= F, \\ F_{S1} &= -\frac{F}{2}, &\quad F_{S2} &= 0, &\quad F_{S3} &= \frac{F}{2} \end{alignat*}


Aufgabe 4.14
#47
Das im Bild dargestellte Stabtragwerk ist durch drei vertikale Kräfte belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kraft im Stab \(6\). Bestimmen Sie zuvor die Auflagerreaktionen und geben Sie diese ebenfalls an. Geben Sie ebenfalls den Freischnitt und das Freikörperbild des Gesamtsystems an.
Lösung: Aufgabe 4.14
\begin{alignat*}{5} F_{AV} &= 1,5F, &\quad F_{AH} &= 0, &\quad F_{BV} &= 1,5F, \\ F_{S6} &= \frac{3}{8}F \end{alignat*}


Aufgabe 5.1
#48
Ein Träger wird durch zwei Einzelkräfte belastet und ist gemäß Skizze gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= 2F, &\quad F_2 &= F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
  1. Auflagerreaktionen.

  2. Schnittgrößenverläufe als Skizze.


Lösung: Aufgabe 5.1


Aufgabe 5.2
#49
Ein Träger wird durch eine Einzelkraft belastet und ist gemäß Skizze gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
  1. Auflagerreaktionen.

  2. Schnittgrößenverläufe als Skizze.


Lösung: Aufgabe 5.2


Aufgabe 5.3
#50
Ein Träger wird durch die Einzelkräfte \(F_1\), \(F_2\) und \(F_3\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= 2 \,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 1 \,\mathrm{kN}, &\quad F_3 & = 1 \,\mathrm{kN} \\ a & = 1 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &=60\,^\circ &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, die Verläufe der Schnittgrößen analytisch und deren grafische Darstellung sowie das maximale Biegemoment bez. Ort und Größe.
Lösung: Aufgabe 5.3


Aufgabe 5.4
#51
Ein Träger wird durch zwei Einzelkräfte belastet und ist gemäß Skizze gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} F_1 &= F, &\quad F_2 &= F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
  1. Auflagerreaktionen.

  2. Schnittgrößenverläufe als Skizze.


Lösung: Aufgabe 5.4


Aufgabe 5.5
#52
Ein Träger auf zwei Stützen wird durch die die Streckenlast \(q\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad l &= 1 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Lagerreaktionen.

  2. Querkraft und Biegemoment (Verlauf als Skizze).


Lösung: Aufgabe 5.5


Aufgabe 5.6
#53
Ein Träger wird durch die Einzelkraft \(F\) und die Streckenlast \(q\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F & = 5 \,\mathrm{kN}, &\quad a & = 0,1 \,\mathrm{m} \\ q & = 3\cdot10^4\,\mathrm{N/m}, &\quad \alpha & = 45\,^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Auflagerreaktionen, die Verläufe der Schnittgrößen analytisch, deren grafische Darstellung sowie das maximale Biegemoment.
Lösung: Aufgabe 5.6
\begin{alignat*}{5} A_{V} &= 3321\,\mathrm{N}, &\quad B_{H} &= 3535\,\mathrm{N}, &\quad B_{V} &= 9214\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 5.7
#54
Ein Träger wird durch die Einzelkraft \(F\) und die Streckenlast \(q\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} q & = 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad F & = 4000 \,\mathrm{N}, &\quad l & = 1 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Lagerreaktionen.

  2. Querkraft und Biegemoment (Verlauf als Skizze).


Lösung: Aufgabe 5.7


Aufgabe 5.8
#55
Der dargestellte Träger wird durch die Streckenlast \(q\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} q, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
  1. Auflagerreaktionen.

  2. Schnittgrößen( Verlauf als Skizze).

  3. Betragsmäßig maximales Biegemoment (Ort und Größe).


Lösung: Aufgabe 5.8
a) \begin{alignat*}{5} F_{D} &= qa, &\quad C_{V} &= qa, &\quad M_{C} &= -qa^2 \end{alignat*} b)


Aufgabe 5.9
#56
Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine Dreieckslast \(q(x)\) belastet. Der Maximalwert beträgt \(q_0\).

Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen en \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie deren Verläufe grafisch dar.
Lösung: Aufgabe 5.9


Aufgabe 5.10
#57
Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine veränderliche Streckenlast \(q(x)\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} q_0, &\quad a, &\quad q(x)&=q_0 \sin\frac{\pi x}{2 a} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Schnittgrößenverläufe

  2. Maximales Biegemoment.


Lösung: Aufgabe 5.10


Aufgabe 5.11
#58
Ein abgewinkelter Träger ist durch eine Streckenlast \(q\) und durch eine Einzellast \(F\) belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= qa, &\quad q, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Lösung: Aufgabe 5.11


Aufgabe 5.12
#59
Das abgewinkelte System ist durch eine Streckenlast \(q\) und durch eine Einzellast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} q &= \frac{F}{a}, &\quad F, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Lösung: Aufgabe 5.12


Aufgabe 5.13
#60
Das abgewinkelte System ist durch ein Moment \(M_0\), welches auf der Hälfte des horizontalen Abschnittes angreift, und durch eine Einzellast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} a, &\quad F, &\quad M_0 &=3Fa \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Lösung: Aufgabe 5.13


Aufgabe 5.14
#61
Der dargestellte, symmetrische Rahmen mit Gelenk bei \(C\) wird durch eine Streckenlast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad q \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln sie die Verläufe für die Schnittgrößen \(F_L\), \(F_Q\) und \(M_B\) und stellen Sie diese grafisch dar.
Lösung: Aufgabe 5.14


Aufgabe 6.1
#62
Mit einer Hülse (Länge \(l_3\)) und einer Welle (Durchmesser \(d\)) wird eine vertikale Führung realisiert. An der Hülse ist ein Ausleger befestigt. Beide Bauteile besitzen die Gewichtskraft \(F_G\). Am Ende des Auslegers greift die Kraft \(F\) an.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} F &= 350\,\mathrm{N}, &\quad F_G &= 400\,\mathrm{N} \\ l_1 &= 250\,\mathrm{mm}, &\quad l_2 &= 400\,\mathrm{mm} \\ d &= 120\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 &= 0,15 \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf \(l_3\) höchstens haben, wenn das System allein durch die Reibung in Ruhestellung gehalten werden soll?
Lösung: Aufgabe 6.1
\begin{alignat*}{5} l_3 &= 96\,\mathrm{mm} \end{alignat*}


Aufgabe 6.2
#63
Eine Schraubzwinge soll selbsthemmend wirken.

Geg.:
\begin{alignat*}{6} h &= 120\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 & = 0,2 \end{alignat*}
Ges.:
Welchen Wert muss die Breite \(b\) dann haben?
Lösung: Aufgabe 6.2
\begin{alignat*}{5} b &= 2 \mu_0 h \end{alignat*}


Aufgabe 6.3
#64
Ein Körper der Masse \(m\) befindet sich in einer Greiferzange.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a & = 420\,\mathrm{mm}, &\quad b & = 80\,\mathrm{mm} \\ c & = 40\,\mathrm{mm} &\quad d & = 60\,\mathrm{mm}, \\ \alpha & = 30\,^{\circ}, &\quad m & = 100\,\mathrm{kg} \end{alignat*}
Ges.:
Haftreibungskoeffizient \(\mu_0\), bei dem die Masse aus der Greiferzange rutschen kann.
Lösung: Aufgabe 6.3
\begin{alignat*}{5} \mu_0 &= 0,107 \end{alignat*}


Aufgabe 6.4
#65
Ein an einem Seil hängender Balken stützt sich in waagerechter Stellung an einer vertikalen Wand ab.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 1000\,\mathrm{mm}, &\quad \mu_0 &= 0,5 \end{alignat*}
Ges.:
Die Entfernung \(x\), damit der Balken zu rutschen beginnt. Es soll nur der Fall betrachtet werden, wo der Kontaktpunkt sich nach oben bewegt.
Lösung: Aufgabe 6.4
Für den Fall, dass das linke Balkenende sich nach oben bewegen soll ergibt sich: \begin{alignat*}{5} x &= 400\,\mathrm{mm} \end{alignat*}


Aufgabe 6.5
#66
Ein Stab liegt auf einer Kante und stützt sich zusätzlich an einem Ende an einer Mauer ab. An beiden Kontaktstellen wirkt Reibung.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 1\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 15\,^{\circ}, &\quad \mu_0 &= 0,3 \end{alignat*}
Ges.:
Wo darf der Angriffspunkt von \(F\) liegen, ohne dass der Stab rutscht? Das Eigengewicht des Stabes sei vernachlässigbar klein.
Lösung: Aufgabe 6.5
\begin{alignat*}{5} x &= l \frac{(\mu_0 \cos \alpha + \sin \alpha)^2}{1-(\mu_0 \cos \alpha + \sin \alpha)^2} = 0,43\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 6.6
#67
Die gezeichnete Keilkette dient zum Heben bzw. Senken der Last \(F_G\).

Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G &= 200\,\mathrm{N}, &\quad \mu &= 0,1 \\ \alpha &= 60\,^{\circ}, &\quad \beta &= 30\,^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die erforderliche Kraft am Schubkeil zum Heben.
Lösung: Aufgabe 6.6
\begin{alignat*}{5} F = 123\,\mathrm{N} \end{alignat*}


Aufgabe 6.7
#68
Das Heben bzw. Absenken eines Körpers mit der Gewichtskraft \(F_G\) erfolgt mit einem Seil, welches über einen feststehenden Zylinder geführt ist. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Zylinder und Seil ist \(_mu_0\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 100\,\mathrm{N}, &\quad \mu_0 & = 0,2 \,, &\quad \alpha &=30^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die Kraft \(F_S\), um beim Heben der Last \(F_G\) das Haften zu überwinden.
Lösung: Aufgabe 6.7
\begin{alignat*}{5} F_S &= 1,52 F_G \end{alignat*}


Aufgabe 6.8
#69
In der Abbildung ist schematisch eine Fördereinrichtung dargestellt. Die Trommel der Winde und die Scheibe der Bandbremse sind fest miteinander verbunden und drehbar gelagert. Der Umschlingungswinkel ist \(\alpha\) und der Gleitreibungskoeffizient \(\mu\).

Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G, &\quad \mu, &\quad r, &\quad R, &\quad a, &\quad l, &\quad \alpha \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die am Bremshebel wirkende Kraft \(F\), um ein gleichförmiges Ablassen des Förderkorbes (\(F_G\)) zu gewährleisten.
Lösung: Aufgabe 6.8
\begin{alignat*}{5} F &= \frac{ar}{l(e^{\mu \alpha}-1)R} F_G \end{alignat*}


Aufgabe 6.9
#70
Ein Pferd ist an einem Rundholz festgebunden. Die Trense ist 2,25 mal um das Holz geschlungen und wird nur vom Gewicht der herunterhängenden Länge (\(1\mathrm{g/cm}\)) gehalten. Zwischen Trense und Holz wirkt der Reibkoeffizient \(\mu_0\). Die maximale Zugkraft, bei welcher die Trense reißt, ist \(F\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 1100\,\mathrm{N}, &\quad \mu_0 & = 0,55 \end{alignat*}
Ges.:
Wie lang muss der Rest \(l\) sein, damit die Trense reißt bevor das Pferd loskommt?
Lösung: Aufgabe 6.9
\begin{alignat*}{5} l &= 0,47\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 7.1
#71
Ein Stabdreischlag ist an einer Wand befestigt. An einem Seil, das reibungsfrei durch eine Öse im Knoten \(K\) geführt wird, hängt eine Kiste (Gewichtskraft \(G\)).

Geg.:
\begin{alignat*}{2} G, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Stabkräfte?
Lösung: Aufgabe 7.1
\begin{alignat*}{5} F_1 &= \frac{9\sqrt{10}}{10}G, &\quad F_2 &= \frac{3\sqrt{10}}{10}G, &\quad F_3 &= -\frac{9\sqrt{5}}{5}G, &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 7.2
#72
Ein einseitig eingespannter Träger ist gemäß Skizze belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} F & = 3000\,\mathrm{N}, &\quad l & = 800\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Verlauf der Schnittmomente.
Lösung: Aufgabe 7.2


Aufgabe 7.3
#73
Eine Welle ist in den Punkten \(A\) und \(E\) kugelgelagert. Die Welle wird angetrieben am Zahnrad \(C\) mit einem Moment \(T_2\). An den Zahnrädern bei \(B\) und \(D\) wirken die Abtriebsmomente \(T_1\), \(T_3\).

Geg.:
\begin{alignat*}{5} T_1 &= 275\,\mathrm{Nm}, &\quad T_2 &= 450\,\mathrm{Nm} \\ T_3 &= 175\,\mathrm{Nm}, &\quad L_{AB} &= 200\,\mathrm{mm} \\ L_{BC} &= 500\,\mathrm{mm}, &\quad L_{CD} &= 400\,\mathrm{mm} \\ L_{DE} &= 200\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Verlauf von \(M_T\) grafisch entlang der Welle.
Lösung: Aufgabe 7.3


Aufgabe 7.4
#74
Eine Kurbelwelle ist bei A und C drehbar gelagert. Bei B wird die Kraft \( F\) eingeleitet, welche mit dem Abtriebsmoment \( M_A\) im Gleichgewicht steht.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a, &\quad F, &\quad \beta \end{alignat*}
Ges.:
Man berechne für die in der Skizze dargestellte Lage
  1. das Abtriebsmoment \(M_A\),

  2. die räumlichen Lagerreaktionen bei A und C sowie

  3. die Torsionsmomente in den einzelnen Abschnitten (mit grafischer Darstellung).


Lösung: Aufgabe 7.4


Verständnisfragen

  1. Erläutern Sie den Vektorcharakter der Kraft?
  2. Was versteht man unter einem starren Körper?
  3. Wie ist der Begriff Gleichgewicht in der Technischen Mechanik definiert?
  4. Was versteht man unter einem zentralen Kräftesystem?
  5. Erläutern Sie die rechnerische und grafische Zusammensetzung zweier Kräfte deren Wirkungslinien durch einen Punkt gehen.
  6. Zerlegen sie eine Kraft in zwei zueinander senkrecht stehende Teilkräfte.
  7. Geben Sie die Gleichungen zur Berechnung der Resultierenden eines zentralen ebenen Kräftesystems an.
  8. Geben sie die Gleichgewichtsbedingungen eines zentralen ebenen Kräftesystems an. Ergänzen Sie diese anschließend für den Fall das am System Einzelmomente angreifen.
  9. Wie äußert sich das Gleichgewicht eines zentralen ebenen Kräftesystems grafisch?

  1. Was versteht man unter einem allgemeinen ebenen Kräftesystem?
  2. Erläutern Sie den Begriff Moment einer Kraft bezüglich einer Achse.
  3. Was ist ein Kräftepaar und worin besteht dessen statische Wirkung?
  4. Wie lauten die Gleichgewichtsbedingungen eines allgemeinen ebenen Kräftesystems?

  1. Wie ist der Massenschwerpunkt eines Körpers definiert?
  2. Worin unterscheiden sich Massenschwerpunkt und Volumenschwerpunkt? Wann sind diese gleich?
  3. Worin unterscheiden sich Flächen- und Linienschwerpunkt?
  4. Geben Sie ein Beispiel an für die praktische Bedeutung des Linienschwerpunktes?

  1. Welche Arten der Lasteinwirkung unterscheidet man? Geben Sie jeweils ein praktisches Beispiel an!
  2. Geben Sie drei Lagertypen der ebenen Statik an.
  3. Welche Reaktionsgrößen treten im ebenen Fall bei der Einspannung auf?
  4. Warum muss ein Körper vor dem Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen freigeschnitten werden?
  5. Wann ist ein Tragwerk statisch bestimmt?

  1. Nennen Sie drei Gelenktypen, die zum Aufbau zusammengesetzter ebener Tragwerke eingesetzt werden können?
  2. Wie kann man feststellen, ob ein zusammengesetztes ebenes Tragwerk statisch bestimmt ist?
  3. Wann spricht man von einem Stabtragwerk?
  4. Wie kann man rechnerisch ermitteln, ob in einem Stabtragwerk ein Stab auf Zug oder auf Druck beansprucht wird?
  5. Zur Ermittlung von Stabkräften bietet sich das Knotenpunktverfahren und das Ritterschnittverfahren an. Erläutern Sie diese Verfahren anhand eines einfachen Beispiels.

  1. Welche Schnittgrößen treten im Allgemeinen bei einem Balken im ebenen Fall auf und welche Vorzeichen Vereinbarungen gelten dafür?
  2. Geben Sie die einzelnen Schritte zur rechnerischen Bestimmung der Schnittgrößen in einem Balken an.
  3. Wann müssen Balken zur Bestimmung der Schnittgrößen in einzelne Bereiche eingeteilt werden?
  4. Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen Querkraft und Biegemoment?

  1. Worin besteht der prinzipielle Unterschied zwischen Haften und Gleiten?
  2. Was versteht man unter dem Begriff Reibkegel?
  3. Wie lautet die Formel für den Maximalwert der Haftreibungskraft?
  4. In welcher wertemäßigen Relation stehen Gleitreibungszahl und Haftreibungszahl zueinander, wenn in beiden Fällen gleiche Kontaktbedingungen vorliegen?

  1. Was versteht man unter einem räumlichen Kräftesystem?
  2. Wie lauten die Gleichgewichtsbedingungen eines allgemeinen räumlichen Kräftesystems in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem?
  3. Welche Wertigkeit hat im räumlichen Fall das Festlager und welche Reaktionsgrößen treten auf?
  4. Welche Schnittgrößen gibt es in der räumlichen Statik? Erläutern Sie die zugehörigen Vorzeichenvereinbarungen.

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