Raumdynamik
Aufgabe 8.1
#209
Eine Kreisscheibe (Radius \(R\), Masse \(m\)) ist außermittig auf einer mit der
konstanten Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) rotierenden Welle montiert.
Der Abstand vom Schwerpunkt der Scheibe zur Welle ist \(e\).
Geg.:
\begin{alignat*}{5} R &= 0,5\, \mathrm{m}, &\quad \omega &= 314\, \mathrm{/s} \\ e &= 0,002\, \mathrm{m}, &\quad m &= 40\, \mathrm{kg} \\ l_1 &= 0,75\, \mathrm{m}, &\quad l_2 &= 1,25\, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\) in dem im Punkt \(O\) platzierten körperfesten Koordinatensystem an.
Geg.:
\begin{alignat*}{5} R &= 0,5\, \mathrm{m}, &\quad \omega &= 314\, \mathrm{/s} \\ e &= 0,002\, \mathrm{m}, &\quad m &= 40\, \mathrm{kg} \\ l_1 &= 0,75\, \mathrm{m}, &\quad l_2 &= 1,25\, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geben Sie die Lagerreaktionen bei \(A\) und \(B\) in dem im Punkt \(O\) platzierten körperfesten Koordinatensystem an.
Hilfestellung 3
Leiten Sie den Ortsvektor zweimal ab, um die Beschleunigungen im mitrotierenden Koordinatensystem zu erhalten.
Lösung: Aufgabe 8.1
\begin{alignat*}{5}
F_{A\hat{x}} &= 0\,\mathrm{N}, &\quad
F_{B\hat{x}} &= 0\,\mathrm{N}, \\
F_{A\hat{y}} &= -4685\,\mathrm{N}, &\quad
F_{B\hat{y}} &= -2810\,\mathrm{N}, \\
F_{A\hat{z}} &= 0\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 8.2
#210
Eine Kreisscheibe (Radius \(R\), Masse \(m\)) ist mit einer Schiefstellung \(\alpha\) auf einer
mit der konstanten Winkelgeschwingdigkeit \(\omega\) drehenden, massenlos angenommenen Welle montiert.
Geg.:
\begin{alignat*}{9} m &= 40\,\mathrm{kg}, &\quad l &= 2,0\,\mathrm{m} \\ R &= 0,5\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 1\, ^\circ \\ h&= 0,03\,\mathrm{m}, &\quad \omega &= 314\,\mathrm{/s} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Auflagerreaktionen in horizontaler und vertikaler Richtung, wenn sich die Scheibe in der skizzierten Lage befindet?
Geg.:
\begin{alignat*}{9} m &= 40\,\mathrm{kg}, &\quad l &= 2,0\,\mathrm{m} \\ R &= 0,5\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 1\, ^\circ \\ h&= 0,03\,\mathrm{m}, &\quad \omega &= 314\,\mathrm{/s} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Auflagerreaktionen in horizontaler und vertikaler Richtung, wenn sich die Scheibe in der skizzierten Lage befindet?
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 8.2
\begin{alignat*}{5}
F_B &= -\frac{1}{l}(J_1 -J_2) \omega_1 \omega_2 +\frac{1}{2}mg \\ \\
F_B &= -2510\,\mathrm{N} +196\,\mathrm{N}, \\ \\
F_{AV} &= 2346\,\mathrm{N}, \\ \\
F_{AH} &= 0\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 8.3
#211
Der Kreisel besteht aus einer dünnen Scheibe (Masse \(m\),
Radius \(r\) ) und einem masselosen Stab (Länge \(l\)). Der Kreisel
dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega_S\) um seine Längsachse.
Die Stabachse ist kollinear mit der horizontalen \(y\) Achse.
Geg.:
\begin{alignat*}{9} m &= 10\, \mathrm{kg}, &\quad r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad l &= 0,5\,\mathrm{m} \\ \omega_S &= 300\, \mathrm{/s}, &\quad g &= 9,81\, \mathrm{m/s^2} & & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit um die vertikale Achse \(\omega_P\).
Geg.:
\begin{alignat*}{9} m &= 10\, \mathrm{kg}, &\quad r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad l &= 0,5\,\mathrm{m} \\ \omega_S &= 300\, \mathrm{/s}, &\quad g &= 9,81\, \mathrm{m/s^2} & & \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit um die vertikale Achse \(\omega_P\).
Lösung: Aufgabe 8.3
\begin{alignat*}{2}
\omega_P = -0,36\,\mathrm{/s}
\end{alignat*}
Aufgabe 8.4
#212
Bei einer Kollermühle rotiert die Achse \(a\) des kreisförmigen Mahlsteins (Masse \(m\))
mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit \(\Omega\) um den raumfesten Punkt \(K\).
Der Mahlstein rollt ohne zu Gleiten auf der Unterlage.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \Omega &= 10\,\mathrm{/s}, &\quad m&= 100\,\mathrm{kg}, &\quad g&= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ R&= 0,5\,\mathrm{m}, &\quad r&= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Betimmen Sie die Kraft zwischen Mahlstein und Unterlage.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \Omega &= 10\,\mathrm{/s}, &\quad m&= 100\,\mathrm{kg}, &\quad g&= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ R&= 0,5\,\mathrm{m}, &\quad r&= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Betimmen Sie die Kraft zwischen Mahlstein und Unterlage.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 8.4
\begin{alignat*}{5}
F_K &= m \left(\frac{\Omega^2 R}{2} +g\right) = 100(25+9,81)\,\mathrm{N}
\end{alignat*}