Aufgabe 7.1

#206
Zwei Wagen können sich reibungsfrei auf der Horizontalen bewegen und sind über \(2\) Federn gekoppelt. Das schwingungsfähige System wird über die Kraft \(F(t)\) erregt.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} m_1\,, m_2\,, c_1\,, c_2\,, F(t)\, \end{alignat*}
Ges.:
  1. Freiheitsgrad \(f\) des Systems

  2. Bewegungsgleichungen des Systems mittels Lagrangescher Gleichungen 2. Art



Lösung: Aufgabe 7.1

a) Freiheitsgrad: \(f= 2\): \begin{alignat*}{5} \end{alignat*} b) Bewegungsgleichung für \(q_1 =x_1\) und \(q_2 =x_2\) (Beide Koordinaten zeigen in Richtung der angreifenden Kraft): \begin{alignat*}{1} m_1 \ddot{x}_1 -c_1 x_1 - c_2(x_1-x_2) &=0 \\ \\ m_2 \ddot{x}_2 - c_2(x_2-x_1) &= F(t) \end{alignat*}


Aufgabe 7.2

#207
Ein zentrischer Schubkurbelmechanismus besteht aus einer stabförmigen Kurbel (\(l_1\), \(m_1\)) und einem stabförmigen Pleuel (\(l_2\), \(m_2\)). Der reibungsfrei geführte Kolben besitzt die Masse \(m_3\) und wird durch das konstante Moment \(M_A\) angetrieben.

Geg.:
\begin{alignat*}{9} m_1\,, m_2\,, m_3\,, l_1\,, l_2\,, M_A \end{alignat*}
Ges.:
  1. Freiheitsgrad \(f\) des Mechanismus

  2. Bewegungsgleichung für den Winkel \(\varphi\) mittels Lagrangescher Gleichung 2. Art



Lösung: Aufgabe 7.2

a) Freiheitsgrad: \(f=1\) \begin{alignat*}{5} \end{alignat*} b) Bewegungsgleichung für \(q=\varphi\): \begin{alignat*}{1} \left[ \frac{2}{3}m_1 +\sin^2 \varphi(2m_1 +4m_3)\right]l^{2}_1 \ddot{\varphi}+\sin(2\varphi)(m_1+2m_3)l^{2}_1 \dot{\varphi}^2 = M_A \end{alignat*}     Sonderfall: \(m_1= m_2=0\) \begin{alignat*}{5} \sin^2 \varphi 4 m_3 l^{2}_1 \ddot{\varphi} + \sin(2\varphi)2 m_3 l^{2}_1 \dot{\varphi}^2 = M_A \end{alignat*}


Aufgabe 7.3

#208
Das dargestellte Doppelpendel besteht aus zwei gelenkig miteinander verbundenen Stäben. Das Doppelpendel führt infolge einer Anfangsauslenkung freie Schwingungen aus.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1\,, m_2\,, l_1\,, l_2\,, g \end{alignat*}
Ges.:
Bewegungsgleichungen des Systems mittels Lagrangescher Gleichungen 2. Art

Lösung: Aufgabe 7.3

Als Abkürzung wird verwendet: \(s_1=l_1/2 und s_2=l_2/2\). \begin{alignat*}{5} \left[\left(\frac{s_1}{l_1}\right)^2+\frac{J_{S1}}{m_1 l^{2}_1}+\frac{m_2}{m_1}\right]\ddot{\varphi}_1 + \left[\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1}\cos(\varphi_1-\varphi_2) \right]\ddot{\varphi}_2 &= -\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \dot{\varphi}^{2}_2 \sin(\varphi_1 -\varphi_2) - \left(\frac{s_1}{l_1}+\frac{m_2}{m_1}\right)\frac{g}{l_1}\sin \varphi_1 \\ \\ \left[\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1}\cos(\varphi_1-\varphi_2) \right]\ddot{\varphi}_1 + \left[\frac{m_1}{m_2}\left(\frac{s_2}{l_1}\right)^2+\frac{J_{S2}}{m_1 l^{2}_1}\right]\ddot{\varphi}_2 &= \frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \dot{\varphi}^{2}_1 \sin(\varphi_1 -\varphi_2) -\frac{m_2}{m_1}\frac{s_2}{l_1} \frac{g}{l_1} \sin \varphi_2 \end{alignat*}