Ein homogener, dünner Stab hängt an zwei Federn und ist in \(A\) reibungsfrei
drehbar gelagert. Im Ruhezustand befindet sich der Stab in horizontaler Lage.
Geg.:
\begin{alignat*}{4}
m, &\quad l_1, &\quad l_2, &\quad c_1, &\quad c_2
\end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz,
die Schwingungsdauer und die Eigenfrequenz des Systems.
Hilfestellung 1
Eine Grundaufgabe bei Schwingungsproblemen ist die Berechnung der eigenen Kreisfrequenz \(\Omega_0\) des Systems.
Dazu benötigen Sie die Bewegungsgleichung.
Diese können Sie mithilfe des Prinzips von d‘Alembert oder mithilfe des Energieerhaltungssatzes aufstellen.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Überlegen Sie, was sie mit dem Eigengewicht des Körpers machen.
Ein homogener, dünner Stab ist bei \(A\) drehbar gelagert. In der vertikalen
Stellung sind die Federn nicht gespannt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
m, &\quad a, &\quad c, &\quad g
\end{alignat*}
Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz und die
Schwingungsdauer des Systems.
Ges.:
Hilfestellung 1
Wenn Sie die Aufgabe mit dem Prinzip von d‘Alembert lösen, dann schneiden Sie den Körper zunächst frei.
Überlegen Sie welche Stelle Sie für ein Momentengleichgewicht als Bezugspunkt auswählen.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Überlegen Sie was Sie mit dem Eigengewicht des Körpers machen.
Über einen reibungsfrei gelagerten, homogenen Vollzylinder (Masse \(m_2\),
Radius \(R\)) läuft ein masseloses, biegsames, dehnstarres Seil ohne Schlupf,
das rechts eine Kiste trägt und links über eine Feder (Konstante \(c\))
mit dem Boden verbunden ist.
\(x(t)\) für die Anfangsbedingungen:
\(x(t=0)=x_0\) und \(\dot x (t=0)=v_0\)
Hilfestellung 1
Führen Sie für den Vollzylinder die entsprechende Bewegungskoordinate ein.
Schneiden Sie die starren Körper frei,
zeichnen Sie das Freikörperbild und formulieren Sie die Zwangsbedingung zwischen den eingeführten Koordinaten.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Alternativ können Sie die Bewegungsgleichung auch mithilfe des Energieerhaltungssatzes aufstellen.
Lösung: Aufgabe 5.3
a)
\begin{alignat*}{5}
\omega &= \sqrt{\frac{2c}{2 m_1 + m_2}}, &\quad
f &= \frac{\omega}{2\pi}, &\quad
T &= \frac{1}{f}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
x(t) &= x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)
\end{alignat*}
Aufgabe 5.4
#198
Zwei miteinander im Eingriff stehende Zahnräder mit den
Massenträgheitsmomenten \(J_1\) und \(J_2\) sind in ihren Schwerpunktachsen
gelagert und an zwei Federn befestigt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
r_1 &= 0,20 \,\mathrm{m}, &\quad
r_2 &= 0,30 \,\mathrm{m} \\
R_1 &= 0,60 \,\mathrm{m}, &\quad
J_1 &= 0,40 \,\mathrm{kgm^2} \\
J_2 &= 0,1 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad
c_1 &= 10000 \,\mathrm{N/m} \\
c_2 &= 20000 \,\mathrm{N/m}
\end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für den Fall kleiner Ausschläge die Eigenkreisfrequenz \(\omega_0\).
Hilfestellung 1
Führen Sie für die einzelnen starren Körper jeweils Bewegungskoordinaten ein.
Formulieren Sie für diese Bewegungskoordinaten die Zwangsbedingung.
Hilfestellung 2
Falls Sie die Aufgabe mit dem Prinzip von d‘Alembert lösen, schneiden Sie die einzelnen Körper frei.
Achten Sie dabei auf die Stelle wo die Zahnräder ineinandergreifen.
Hilfestellung 3
Lösen Sie die Aufgabe alternativ mit dem Energieerhaltungssatz.
Vergleichen Sie den Aufwand im Verhältnis zum Vorgehen nach dem nach d’Alembert.
Das gegebene System, bestehend aus Feder, Masse und Dämpfer führt
schwach gedämpfte Schwingungen aus.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
m & = 1000 \,\mathrm{kg}, &\quad
c & = 1,6\cdot10^5 \,\mathrm{N/cm} \\
b & = 2350 \,\mathrm{kg/s}
\end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems?
Nach welcher Zeit ist die Amplitude einer freien Schwingung
auf \(10\%\) des Anfangswertes abgeklungen? Wieviel Schwingungen werden in dieser Zeit ausgeführt?
Hilfestellung 1
Was müssen Sie beim Erstellen des Freikörperbildes beachten,
wenn Sie die Richtung der Federkraft und die Richtung der Dämpferkraft festlegen.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 5.5
a)
\begin{alignat*}{5}
\omega_D &= 126,5\,\mathrm{/s}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\tilde{t} &= 1,96\,\mathrm{s}
\end{alignat*}
c)
\begin{alignat*}{1}
N &= 39,46
\end{alignat*}
Aufgabe 5.6
#200
Eine masselose, starre Stange mit Feder und Dämpfer trägt eine Kugel (Masse \(m\)).
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
m & = 500 \,\mathrm{kg}, &\quad
c & = 1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/cm} \\
a & = 0,25 \,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Ges.:
Welche Bedingung muss die Dämpfungskonstante \(b\)
erfüllen, damit das System eine schwach gedämpfte
Schwingung ausführt?
Wie lautet die Lösung der Bewegungsgleichung, wenn
folgende Anfangsbedingungen gelten: \(\varphi(0)=0\) und
\(\dot{\varphi}(0)=\dot{\varphi}_0\)?
Hilfestellung 1
Führen Sie für den gelenkig gelagerten Balken eine entsprechende Bewegungskoordinate ein.
Formulieren Sie mit Bezug auf diese Bewegungkoordinate die Bewegungsgleichung.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Kann man bei einem gedämpften System auch mithilfe des Energieerhaltungssatzes die Bewegungsgleichung aufstellen?
Lösung: Aufgabe 5.6
a)
\begin{alignat*}{5}
d \leq \frac{4}{9} \sqrt{mc} = 31427\,\mathrm{kg/s}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\varphi(t) &= \frac{\dot{\varphi}_0}{\omega_D}e^{-\delta t} \cos(\omega_D t - \pi / 2)
\end{alignat*}
Aufgabe 5.7
#201
Eine Maschine (Masse \(m_1\)) gibt eine in \(x\)-Richtung wirkende Erregerkraft
\(F_0 \cos \Omega t\) an das Fundament (Masse \(m_2\)) ab. Das Fundament ist gegen
den starren Boden elastisch gelagert.