Von der Spitze eines Turmes wird ein Körper rotationsfrei mit der
Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) unter einem Winkel von \(\alpha\) gegen die
Horizontale abgeworfen.
Er trifft im Abstand \(l\) vom Fuß des Turmes auf den Boden auf.
Überlegen Sie zunächst ob es sich bei der Bewegung um eine freie oder um eine geführte handelt.
Beachten Sie, dass der Körper während des Flugs nicht rotiert.
Aus dem dynamischen Kräftegleichgewicht am Körper können Sie die Bahngleichung herleiten. Nutzen Sie diese zum Lösen der Aufgabe.
Hilfestellung 2
Durch welche mathematische Bedingung können Sie die Flugdauer beschreiben?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.1
a) Flugdauer des Körpers:
\begin{alignat*}{5}
T &= 1,65\,\mathrm{s}
\end{alignat*}
b) Höhe des Turms:
\begin{alignat*}{1}
H &= 7,57\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
c) Aufprallgeschwindigkeit des Körpers:
\begin{alignat*}{1}
v &= 14,05\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.2
#164
Eine Kiste rutscht auf einer schiefen Ebene
(Reibkoeffizient \(\mu\)). Zur Zeit \(t=0\) befindet sich die Kiste bei \(x=0\) und
hat die Geschwindigkeit \(v_0\).
Geben Sie die Bewegungsgleichungen füur die Kiste an.
Geben Sie die Führungsbedingung an.
Welche Strecke \(x\) legt die Kiste bis zum Stillstand zurück?
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst ob es sich bei der Bewegung um eine freie oder um eine geführte handelt.
Hilfestellung 2
Schneiden Sie den Körper frei und tragen Sie zusätzlich zu den Kräften, die Sie aus der Stadt kennen entgegen zu den eingeführten Koordinaten gerichtet die Massenträgheitskräfte ein.
Hilfestellung 3
Formulieren Sie am freigeschnittenen Körper das dynamische Gleichgewicht.
Lösung: Aufgabe 3.2
a) Bewegungsgleichung:
\begin{alignat*}{5}
m\ddot{x} + R - G\sin(\alpha) &= 0 \\
-m\ddot{y} -G\cos(\alpha) + N &= 0
\end{alignat*}
b) Zwangsbedingung:
\begin{alignat*}{1}
\ddot{y} &= 0
\end{alignat*}
c) Strecke bis zum Stillstand:
\begin{alignat*}{1}
\tilde{x} &= 6,61\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.3
#165
Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) um den Punkt \(A\). In einer glatten
Führungsschiene bewegt sich ein Körper (Quader mit der Masse \(m\)) in
radialer Richtung. Seine Geschwindigkeit relativ zur Scheibe ist konstant
(\(v_0\)). Diese Relativbewegung wird durch ein sich abwickelndes Seil
realisiert.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
m, &\quad
v_0, &\quad
\omega_0
\end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_K\) zwischen Scheibe und Quader sowie
die Kraft \(F_S\) im Seil. Vernachlässigen Sie dabei die Rotation des
Quaders um seinen Schwerpunkt.
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst ob der Körper in der Führung sich auf einer Kreisbahn bewegt.
Hilfestellung 2
Schneiden Sie den Körper in der Führung frei und tragen Sie neben Zugkraft, Kontaktkraft auch die Massenträgheitskräfte ein.
Nutzen Sie dazu den Punkt A zum Einführen des Polarkoordinatensystems.
Hilfestellung 3
Formulieren Sie das dynamische Gleichgewicht am freigeschnittenen Körper.
Lösung: Aufgabe 3.3
\begin{alignat*}{5}
F_S &= m v_0 t \omega^2_0, &\quad
F_K &= 2 m v_0 \omega_0
\end{alignat*}
Aufgabe 3.4
#166
Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit \(v_0\). Der Fahrer nimmt
bei \(t=0\) den Fuß vom Gas. Es soll die Annahme gelten, dass nur
Luftwiderstand \(F_w=kv\) das Fahrzeug verzögert
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
v_0 &= 10\,\mathrm{m/s}, &\quad
m &= 1200\,\mathrm{kg} \\
k &= 12\,\mathrm{kg/s}
\end{alignat*}
Ges.:
Bewegungsgleichung
Welche Geschwindigkeit hat das Fahrzeug nach \(100\,\mathrm{s}\)?
Welchen Weg hat es nach \(100\,\mathrm{s}\) zurück gelegt?
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst noch einmal, was versteht man unter einer Bewegungsgleichung.
Schneiden Sie den Körper frei und tragen Sie die entsprechende Massenträgheitskraft ein.
Stellen Sie das dynamische Gleichgewicht in x-Richtung auf.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Bevor Sie an die Integration der Differenzialgleichung gehen, analysieren Sie die Form der Differenzialgleichung.
Überlegen Sie ob Sie eine solche Differenzialgleichung bereits bei der Kinematik des starren Körpers gelöst haben.
Lösung: Aufgabe 3.4
a) Bewegungsgleichung:
\begin{alignat*}{5}
m \ddot{x} + kv &= 0
\end{alignat*}
b) Geschwindigkeit des Fahrzeugs nach \(100s\):
\begin{alignat*}{1}
v(t) = v_0 e^{-kt/m}, &\quad
v(t=100) &= 3,68\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
c) Zurückgelegter Weg des Fahrzeugs nach \(100s\):
\begin{alignat*}{1}
s(t) &= v_0 \frac{m}{k}(1- e^{-kt/m}), &\quad
s(t=100s) &= 632\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.5
#167
Eine Kugel (Masse \(m\)) fällt aus der Ruhe heraus in einen mit Flässigkeit
gefüllten Behälter. In der Flüssigkeit gelte ein bezüglich \(v\) lineares
Widerstandsgesetz (\(F_w=kv\)).
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
m &= 1 \,\mathrm{kg}, &\quad
g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \\
k &= 2 \,\mathrm{kg/s}
\end{alignat*}
Ges.:
Geschwindigkeit der Kugel als Funktion der Zeit (grafische Darstellung).
Schneiden Sie die Kugel frei und tragen Sie alle an der Kugel angreifenden Kräfte ein.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Analysieren Sie die Form der Gleichung und überlegen Sie ob Sie eine solche Gleichung bereits bei der Kinematik des starren Körpers gelöst haben.
Lösung: Aufgabe 3.5
a) Geschwindigkeit der Kugel als Funktion der Zeit:
\begin{alignat*}{5}
\dot{z} &= \frac{m g}{k}(1- e^{-kt/m})
\end{alignat*}
b) Maximale Geschwindigkeit:
\begin{alignat*}{1}
\dot{z}_{max} &= 5\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.6
#168
Ein Fahrzeug (Masse \(m\)) soll von \(v_0\) auf \(v=0\)
abgebremst werden. Dieser Vorgang soll innerhalb von \(5 \mathrm{s}\)
vollzogen werden. Die Geschwindigkeit soll dabei linear über der Zeit fallen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
m &= 1600\,\mathrm{kg}, &\quad
v_0 &= 100\,\mathrm{km/h}
\end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie Bremskraft und Bremsweg.
Hilfestellung 1
Sie haben die Möglichkeit diese Aufgabe mit einem Kräftegleichgewicht und anschließend Integration oder direkt mithilfe des Impulssatzes zu lösen.
Ein Spielzeugauto (Masse $m$) fährt einen Looping.
Die Rotation des Autos um seinen Schwerpunkt kann bei diesem Vorgang
vernachlässigt werden.
Im höchsten Punkt besitzt es die Geschwindigkeit \(v\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
m &= 70 \,\mathrm{g}, &\quad
r &= 40 \,\mathrm{cm} \\
g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}, &\quad
v & = 3 \,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
Ges.:
Mit welcher Geschwindigkeit muss das Auto in den
Looping einfahren, damit es im höchsten Punkt die
angegebene Geschwindigkeit hat?
Bestimmen Sie die im höchsten Punkt zwischen Auto und
Fahrbahn wirkende Kontaktkraft.
Hilfestellung 1
Für den ersten Teil der Aufgabe bietet sich der Energieerhaltungssatz an. Überlegen Sie warum?
Hilfestellung 2
Für die Ermittlung der Kontaktkraft können Sie ihre Kenntnisse bezüglich der Fliehkraft nutzen.
Didaktisch besser ist es hier jedoch den Körper frei zu schneiden ein Freikörperbild anzufertigen und auf diese Weise die Kontaktkraft zu bestimmen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.7
a)
\begin{alignat*}{5}
v_{einfahr} &= 4,97\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
F_k &= \frac{m v^2}{r} - mg = 0,89\,\mathrm{N}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.8
#170
Ein Körper (Masse \(m\)) rutscht aus seiner Ruhelage in \(A\) eine rauhe,
schiefe Ebene herab (Reibungskoeffizient \(\mu\)), die in eine glatte
Kreisbahn einmündet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
r & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad
\alpha &= 45^\circ, &\quad
\mu & = 0,2
\end{alignat*}
Ges.:
In welcher Höhe \(h\) über dem Scheitelpunkt der Kreisbahn (B) muss
die Bewegung beginnen, damit der Körper in \(B\) gerade die Bahn nicht
verlässt? Die Rotation des Körpers wird vernachlässigt.
Hilfestellung 1
Zerlegen Sie die Aufgabe in Teilprobleme. Betrachten Sie zunächst das Hinabgleiten des Körpers auf der rauen schiefen Ebene.
Hilfestellung 2
Überlegen Sie welche mathematische Formulierung der Aussage entspricht, dass der Körper am Punkt B die Bahn gerade noch nicht verlässt.
Hilfestellung 3
Klären Sie die metrischen Verhältnisse.
Lösung: Aufgabe 3.8
\begin{alignat*}{5}
h &= r \frac{\frac{1}{2} + \frac{\mu}{\tan\alpha} (1 + \cos\alpha)}{1 - \frac{\mu}{\tan\alpha}} = 0,526\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.9
#171
Bei einem Pendelschlagwerk zur Kerbschlagprüfung wird in der skizzierten
Ruhestellung (\(\varphi=\varphi_0\)) die Arretierung des Hammers gelöst.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
r &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad
\varphi_0 &= 30 \,^\circ \\
m &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad
g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}
\end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie für den Körper (Masse \(m\)) \(v(\varphi)\) und die Stabkraft \(F_S(\varphi)\) nach d'Alembert.
Kontrollieren sie ihr Ergebnis für \(v(\varphi=\pi)\) und \(F_S(\varphi=\pi)\) mit dem Energiesatz.
Hinweis: Die Masse des Stabes sowie die Rotation der Kugel sind zu vernachlässigen.
Hilfestellung 1
Wenn Sie die Stabkraft bestimmen sollen, müssen Sie durch diesen schneiden.
Hilfestellung 2
Führen Sie im Drehpunkt des Stabes ein Polarkoordinatensystem ein.
Eine Winde zieht mit konstantem Moment \(M_0\) einen Körper (Masse \(m\))
eine schiefe Ebene hinauf. Zwischen dem Köper und der Ebene herrscht
Gleitreibung mit dem Gleitreibungskoeffizienten \(\mu\). Die Masse der
Winde kann vernachlässigt werden. Die Bewegung beginnt aus der Ruhe heraus.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
M_0 &= 100 \,\mathrm{Nm}, &\quad
m &= 10 \,\mathrm{kg} \\
s &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad
\alpha &= 30 \,^\circ \\
R &= 0,05 \,\mathrm{m}, &\quad
\mu &= 0,3
\end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers nachdem er den Weg \(s\) zurückgelegt hat?
Hilfestellung 1
Um den Körper die schiefe Ebene hinauf zu ziehen,
muss Arbeit verrichtet werden.
Diese Arbeit wird im System hineingesteckt.
Andererseits muss der Körper der Reibung zwischen diesem und der Unterlage herrscht aber zu richten.
Diese Arbeit wird im System bezogen.
Hilfestellung 2
Sie können den Körper freischneiden und die Aufgabe mithilfe der Bewegungsgleichung lösen.
Hilfestellung 3
Sie können die Aufgabe auch mittels des Arbeitssatz lösen. Definieren Sie dazu Zustand eins und Zustand zwei.
Lösung: Aufgabe 3.10
\begin{alignat*}{5}
v &= \sqrt{2s \left(\frac{M_0}{R_m} - \mu g \cos\alpha -g \sin \alpha \right)}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.11
#173
Die Walzen eines Walzwerkes (Durchmesser \(d\)) drehen sich mit der Drehzahl \(n\).
Ein Stahlblock mit der Masse \(m\), der das Walzwerk verlässt, kommt auf einer
horizontalen Bremsstrecke nach \(s_0\) zur Ruhe.
Geg.:
\begin{alignat*}{6}
n &= 300\,\mathrm{min^{-1}}, &\quad
s_0 &= 28\,\mathrm{m} \\
d &= 480\,\mathrm{mm}, &\quad
m &= 500\,\mathrm{kg}
\end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist der Gleitreibungskoeffizient \(\mu\) auf der Bremsstrecke?
Um welchen Betrag würde ein masseloser, elastischer
Puffer (\(c=1000\,\mathrm{N/cm}\)) bei \(s=20\,\mathrm{m}\)
von dem aufprallenden Stahlblock zusammengedrückt werden?
Hilfestellung 1
Formulieren Sie für die Lösung von Aufgabenteil a) den Arbeitssatz. Definieren Sie zuvor Zustand eins und Zustand zwei.
Hilfestellung 2
Für die Zusammendrückung des in der Aufgabe nicht dargestellten Puffers können Sie ebenfalls den Arbeitsplatz nutzen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.11
a)
\begin{alignat*}{5}
\mu &= 0,103
\end{alignat*}
b) *Ohne Berücksichtigung der Reibung beim Zusammendrücken der Feder:
\begin{alignat*}{1}
x &= 0,286\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
c) *Mit Berücksichtigung der Reibung beim Zusammendrücken der Feder:
\begin{alignat*}{1}
x &= 0,282\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.12
#174
Ein Körper (Masse \(m\)) rutscht von der Stelle \(1\) aus ohne
Anfangsgeschwindigkeit auf einer schiefen, anschließ end horizontalen,
rauhen Ebene und kommt an der Stelle \(2\) zur Ruhe.
Hinweis: Die Rotation des Körpers wird vernachlässigt.
Hilfestellung 1
Sie können die Aufgabe schrittweise lösen indem Sie zunächst die Bewegung auf der schiefen Ebene betrachten und anschließend die Bewegung auf der Horizontalen.
Hilfestellung 2
Sie können aber auch mit Hilfe des Arbeitssatzes und der bereits eingezeichneten Zustände eins und zwei die Aufgabe direkt lösen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.12
a) Entfernung \(k\):
\begin{alignat*}{5}
k = 4,9\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
b) Zeit \(t^* \):
\begin{alignat*}{1}
t^* &= t^*_1 + t^*_2 = 1,37\,\mathrm{s} + 2,23\,\mathrm{s} = 3,6\,\mathrm{s}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.13
#175
Auf der Plattform eines Wagens (Masse \(m_1\), Ränder masselos) liegt eine
Kiste (Masse \(m_2\)). An dem bis dahin ruhenden Wagen greift eine Kraft \(F\)
an, die den Wagen so stark beschleunigt, dass die Kiste rutscht.
Geg.:
\begin{alignat*}{6}
m_1 &= 200 \,\mathrm{kg}, &\quad
m_2 &= 50 \,\mathrm{kg}, \\
l &= 1,0\,\mathrm{m}, &\quad
F &= 1,0\,\mathrm{kN}, \\
\mu &= 0,3\,, &\quad
g &=9,81\,\mathrm{m/s^2}
\end{alignat*}
Ges.:
Zeit \(t^*\), die vergeht bis die Kiste vom Wagen herunterfällt.
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst aufgrund von welchen Kräften der Oberkörper beim Beschleunigen des Wagens überhaupt mitgenommen wird.
Hilfestellung 2
Schneiden Sie die Körper frei und stellen Sie die Freikörperbilder mit allen an den Körpern angreifenden Kräften dar.
Hilfestellung 3
Klären Sie, was es bezüglich der zuletzt zurückgelegten Wege der Körper bedeutet, wenn es heißt, dass die Kiste vom Wagen herunter fällt.
In einem anfänglich im Wasser ruhendem Boot (Masse \(m_B\)) befinden
sich 3 Personen jeweils mit der Masse \(m_P\). Die Personen springen am Heck des
Bootes mit der Relativgeschwindigkeit \(v_{rel}\) ab, so dass sich das Boot
entgegengesetzt zur Absprungrichtung mit \(v_B\) bewegt.
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Bootes nach den jeweiligen Absprüngen, wenn
die Personen nacheinander abspringen,
die Personen alle gleichzeitig abspringen.
Hilfestellung 1
Formulieren Sie den Impulssatz jeweils für das Abspringen einer Person.
Hilfestellung 2
Beachten Sie, dass die Relativgeschwindigkeit zwischen der abspringenden Person und dem sich durch das Abspringen bewegenden Boot gegeben ist.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.14
a)
\begin{alignat*}{5}
v_{B1} &= -1,2\,\mathrm{m/s}, &\quad
v_{B2} &= -2,7\,\mathrm{m/s}, &\quad
v_{B1} &= -4,7\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
v_{B123} &= -3,6\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
Als positive Koordinatenrichtung wird die Sprungrichtung der Person gewählt.
Aufgabe 3.15
#177
Bei einem anfänglich ruhenden System kann sich die um \(s\) gespannte
Feder plötzlich entspannen. Die Kugel (Masse \(m_K\)) sowie der Wagen
(Masse \(m_W\)) werden dadurch beschleunigt. Reibeffekte sowie die Masse
der Räder sollen vernachlässigt werden.
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Wagens
und der Kugel unmittelbar nachdem die Kugel den Wagen
verlassen hat.
Wie groß ist dann die Geschwindigkeit der Kugel
relativ zum Wagen?
Hilfestellung 1
Formulieren Sie zunächst den Energieerhaltungssatz und definieren Sie dafür zuvor die Zustände eins und zwei.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Genügt der Energieerhaltungssatz, um die Aufgabe zu lösen? Können Sie einen weiteren Satz, in dem die gesuchten mechanischen Größen vorkommen, formulieren?
Lösung: Aufgabe 3.15
a)
\begin{alignat*}{5}
\bar{v}_W &= 0,74\,\mathrm{m/s}, &\quad
\bar{v}_K &= -4,0\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\bar{v}_{rel} &= 4,74\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.16
#178
Für das dargestellte Bauteil (Stab mit Masse \(m\) und Kugel mit Masse \(M\))
ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der \(z\)-Achse zu bestimmen.
Geg.:
\begin{alignat*}{2}
l &= 1 \,\mathrm{m}, &\quad
r &= 0,05 \,\mathrm{m} \\
m &= 0,1 \,\mathrm{kg}, &\quad
M &= 0,2 \,\mathrm{kg}
\end{alignat*}
Ges.:
\begin{alignat*}{1}
J_z
\end{alignat*}
Hilfestellung 1
Zerlegen Sie das dargestellte Bauteil in zwei Einzelkörper.
Ermitteln Sie für jeden Körper den Schwerpunkt und das jeweilige Massenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes.
Hilfestellung 2
Transformieren Sie die Massenträgheitsmoment,
welche sich auf den Schwerpunkt beziehen mithilfe des Satz von Steiner auf das eingezeichnete Koordinatensystem.
Für das dargestellte Bauteil ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der
\(z\)-Achse mittels Integration zu bestimmen. Der Werkstoff besitzt die Dichte \(\rho\).
Für die Ermittlung des Massenträgheitsmoments,
bezüglich des eingezeichneten Koordinatensystems, müssen Sie ein Doppelintegral lösen.
Formulieren Sie dieses integral.
Hilfestellung 2
Im Kern des Doppelintegrales steht das Quadrat des Ortsvektors.
Wie können Sie dieses Quadrat durch die Koordinaten x und y ausdrücken?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.18
\begin{alignat*}{5}
J_z &= \int_{x =- b/2}^{x=+b/2} \int_{y =- h/2}^{y=+h/2} (x^2+y^2) \rho dy dx \\ \\
J_Z &= \frac{1}{12} m (b^2+h^2) \;\;
mit \;\; m = bht\rho
\end{alignat*}
Aufgabe 3.19
#181
Der abgebildete dünne Stab (Masse \(m\), Länge \(l\)) befindet sich
im Erdschwerefeld und wird aus der ausgelenkten Lage (\(\varphi=\varphi_0\))
losgelassen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
l, &\quad m, &\quad \varphi_0, &\quad g
\end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) zu dem Zeitpunkt
des Durchganges durch die vertikale Lage, d.h. bei \(\varphi=0\)?
Hilfestellung 1
Für die Ermittlung der gesuchten Winkelgeschwindigkeit benötigen Sie das Massenträgheitsmoment des Stabes bezüglich des Punktes A.
Hilfestellung 2
Stellen Sie das dynamische Momentengleichgewicht für den Stab bezüglich des Punktes A auf.
Hilfestellung 3
Lösen Sie die so aufgestellte Differenzialgleichung durch Integration. Überlegen Sie, wie Sie mit \(\varphi\) und \(\ddot{\varphi}\) in dieser Gleichung umgehen.
Auf der Welle eines Rotors einer Axialkolbenpumpe mit den gegebenen
Abmessungen greift ein konstantes Moment \(M_0\) an.
Geg.:
\begin{alignat*}{2}
a &= 20 \,\mathrm{cm}, &\quad
b &= 15 \,\mathrm{cm} \\
d &= 2,5 \,\mathrm{cm}, &\quad
D &= 12 \,\mathrm{cm} \\
e &= 3,5 \,\mathrm{cm}, &\quad
\rho &= 7,5 \,\mathrm{g/cm^3} \\
t_1 &= 2,0 \,\mathrm{s}, &\quad
\omega_1 &= 30 \,\mathrm{s^{-1}}
\end{alignat*}
Ges.:
Wie groß muß \(M_0\) sein, damit der Rotor aus dem Ruhezustand heraus
nach \(t_1\) Sekunden eine Winkelgeschwindigkeit \(\omega_1\) erreicht?
Welche Drehzahl \(n_1\) wird nach \(t_1\) Sekunden erreicht?
Hilfestellung 1
Das gesuchte Antriebsmoment \(M_0\) hängt von dem axialen Massenträgheitsmoment des dargestellten Rotors ab.
Überlegen Sie zunächst was es bedeutet,
wenn das Massenträgheitsmoment sehr groß ist und wenn das Massenträgheitsmoment sehr klein ist.
Hilfestellung 2
Was bedeutet es für die Winkelbeschleunigung beziehungsweise die Winkelgeschwindigkeit, wenn an dem Rotor ein konstantes Moment \(M_0\) angreift.
Wie groß ist die Drehzahl \(n_2\) nach der Zeit \(t_2 = 2 t_1\)?
\(M(t)\) folgt dabei einem bilinearen Verlauf gemäß Skizze.
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst noch einmal bei welchen Aufgaben es sinnvoll ist den Impuls beziehungsweise den Drehimpulssatz einzusetzen.
Hilfestellung 2
Im vorliegenden Fall kann die Aufgabe elegant mithilfe des Drehimpulssatzes gelöst werden.
Beachten Sie jedoch, dass sie M(t) abschnittsweise formulieren müssen und demzufolge auch abschnittsweise den Drehimpulssatz aufstellen müssen.
Ein gelenkig gelagerter Stab der Länge \(3a\) mit einer Kugel am Ende
fällt ohne Anfangsgeschwindigkeit von der Ausgangslage \(\varphi_0\) auf
zwei Federn. Die Kugel ist klein gegenüber der Stablänge, so dass die
Rotation der Kugel um ihren Schwerpunkt vernachlässigt werden kann.
Bei der Masse \(M\) der Kugel wurde der in die Kugel ragende Teil
des Stabes bereits abgezogen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
M, &\quad m, &\quad \varphi_0, & \quad g \\
a, &\quad c_1, &\quad c_2
\end{alignat*}
Ges.: Wie groß ist der Maximalwinkel \(\varphi_2\), um den sich der
Stab unter die Horizontale dreht?
Hinweis:
Gehen Sie von einem kleinen Winkel \(\varphi_2\) aus.
Vernachlässigen Sie die potentielle Energie beim Drehen der Körper unter die Horizontale.
Hilfestellung 1
Gehen Sie an die Aufgabe in zwei Schritten heran betrachten Sie zunächst nur die Bewegung des Stabpendels bis zu seiner Horizontalen.
Anschließend betrachten Sie die Zusammendrückung der Federn.
Hilfestellung 2
Sie können einen Zusammenhang zwischen dem Verdrehwinkel unter Zusammendrückung der Federn herstellen.
Ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder haben die gleiche Masse und rollen
eine schiefe Ebene in x-Richtung die Strecke \(s\) hinab.
Geg.:
\begin{alignat*}{6}
r &= 27 \,\mathrm{mm}, &\quad
R &= 30 \,\mathrm{mm} \\
m &= 0,4 \,\mathrm{kg}, &\quad
\alpha &= 10 \,^\circ \\
g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad
s &= 50 \,\mathrm{cm}
\end{alignat*}
Ges.:
Welcher Körper erreicht eher das Ziel und wie groß ist der Zeitvorsprung?
Hilfestellung 1
Warum beschleunigen der Hohlzylinder und Vollzylinder auf der schiefen Ebene unterschiedlich?
Hilfestellung 2
Stellen Sie die Bewegungsgleichung für den abrollenden Körper auf, indem Sie diesen freischneiden.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.23
Der Vollzylinder ist eher am Ziel. Der Zeitsprung beträgt \(0,12\mathrm{s}\).
\begin{alignat*}{5}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.24
#186
Eine Stufenrolle (Gewichtskraft \(F_G=mg\), Massenträgheitsmoment \(J_S\))
rollt auf einer horizontalen Schiene. Auf der
Trommel ist ein masseloses Seil aufgewickelt, an dem mit der konstanten
Kraft \(F\) gezogen wird.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
r_1, &\quad r_2, &\quad m, &\quad F, &\quad J_S
\end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Beschleunigung des Schwerpunktes und die
Kontaktkräfte (Normalkraft \(F_N\), Horizontalkraft \(F_H\)) mit der
Schiene?
Hilfestellung 1
Die Stufenrolle wird durch die Kraft \(F\) beschleunigt. Jedoch ist zunächst noch nicht klar ob Sie sich in positive oder negative x-Richtung bewegen wird.
Hilfestellung 2
Schneiden Sie die Stufenrolle frei und erzeugen Sie das Freikörperbild. Formulieren Sie die dynamischen Kräfte und Momentengleichgewicht. Überlegen Sie ob Sie ihre Vorgehensweise vereinfachen können, wenn Sie zuvor den Momentanpol ermitteln.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.24
\begin{alignat*}{5}
\ddot{x} = F \frac{r_2 -r_1}{J_S/r_2 + mr_2}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.25
#187
Ein Zylinder (Radius \(r\)) rollt aus der Ruhe heraus eine schiefe Ebene hinab
und beschleunigt dabei. Anschließend bewegt er sich auf einer Horizontalen,
wobei die Widerstandskraft \(F_w\) (Roll- und Luftwiderstand) jetzt
berücksichtigt wird. Der Übergang in die Horizontale erfolgt verlustfrei.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
F_w &= 10,0 \,\mathrm{N}, &\quad
g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\
h &= 0,3 \,\mathrm{m}, &\quad
r &= 0,05 \,\mathrm{m} \\
m &= 100,0 \,\mathrm{kg}, &\quad
\alpha &= 30 \,^{\circ}
\end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die translatorische Geschwindigkeit des
Zylinders zu Beginn der Horizontalen?
Welche Strecke \(s_{max}\) wird bis zum Stillstand des
Zylinders zurück gelegt?
Hilfestellung 1
Was unterscheidet die Bewegung des Zylinders auf der schiefen Ebene vom freien Fall?
Hilfestellung 2
Lösen Sie den ersten Teil der Aufgabe mit dem Energieerhaltungssatz und den zweiten Teil der Aufgabe mit dem Arbeitsplatz.
Machen Sie sich zuvor den Unterschied zwischen diesen zwei Sätzen klar.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 3.25
a)
\begin{alignat*}{5}
\tilde{v} = 1,98\,\mathrm{m/s}
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
s_{max} = 29,4\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Aufgabe 3.26
#188
Das dargestellte Fahrzeug (Masse \(m\)) besitzt Vorderradantrieb.
Zwischen Fahrbahn und Reifen wirkt der Haftreibungskoeffizient \(\mu_0\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6}
m, &\quad a, &\quad h , &\quad \mu_0
\end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die maximal mögliche Beschleunigung in Fahrtrichtung.
Hilfestellung 1
Schneiden Sie das Fahrzeug frei und erzeugen Sie das Freikörperbild.
Überlegen Sie genau, welche Kräfte und speziell in welche Richtung Sie an den Rädern eintragen.
Hilfestellung 2
Wie würden die Kräfte an den Rädern jeweils bei Hinterradantrieb, Vorderradantrieb und Allradantrieb aussehen?