Kinematik des starren Körpers
Aufgabe 2.1
#157
Der Mitnehmer der skizzierten Gabel bewegt sich mit konstanter
Geschwindigkeit \(v_A\) nach rechts. Zum Zeitpunkt \(t=0\) sei \(\varphi=0\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} v_A, &\quad l \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Bewegung der Gabel \(\varphi(t)\), die Winkelgeschwindigkeit \(\omega(t)\) und die Winkelbeschleunigung \(\dot\omega(t)\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} v_A, &\quad l \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Bewegung der Gabel \(\varphi(t)\), die Winkelgeschwindigkeit \(\omega(t)\) und die Winkelbeschleunigung \(\dot\omega(t)\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.1
\begin{alignat*}{5}
\varphi(t) &= arctan\frac{v_At}{l}
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{1}
\omega(t)\ = \dot{\varphi}(t) &= \frac{v_Al}{l^2+v^2_At^2}
\end{alignat*}
\begin{alignat*}{1}
\dot\omega(t)\ = \ddot{\varphi}(t) &= -\frac{2v^3_Alt}{(l^2+v^2_At^2)^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.2
#158
Eine Kurbel mit dem Radius \(R\) läuft mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
\(\omega_0\) und nimmt dabei eine Schwinge mit.
Geg.:
Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) undVerhältnis \begin{alignat*}{2} \lambda = \frac{l}{R} = 3 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie \(\varphi(t)\) der Schwinge sowie ihre Winkelgeschwindigkeit \(\omega(t)\).
Geg.:
Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) undVerhältnis \begin{alignat*}{2} \lambda = \frac{l}{R} = 3 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie \(\varphi(t)\) der Schwinge sowie ihre Winkelgeschwindigkeit \(\omega(t)\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.2
\begin{alignat*}{5}
\varphi(t) &= \arctan\left(\frac{\sin(\omega_0 t)}{\lambda-\cos(\omega_0 t)}\right), &\quad
\omega(t) &= \frac{\lambda \, \cos(\omega_0 t)-1}{\lambda^2-2 \, \lambda\, \cos(\omega_0\,t)+1} \omega_0
\end{alignat*}
Aufgabe 2.3
#159
In dem skizzierten Mechanismus dreht sich die Kurbel mit der konstanten
Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \omega_0, &\quad a &= 2R, &\quad l &= 4R \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \omega_0, &\quad a &= 2R, &\quad l &= 4R \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie den Momentanpol der Stange \(AB\) wenn der Punkt \(A\) den Punkt \(F\) passiert.
- Bestimmen Sie mit Hilfe des Momentanpols die Geschwindigkeit des Punktes \(B\) in dieser Lage durch Abmessen der entsprechenden Strecken.
Lösung: Aufgabe 2.3
A passiert F:
\begin{alignat*}{5}
v_B &= 0,96R\omega_0
\end{alignat*}
Aufgabe 2.4
#160
Eine kleine Walze bewegt sich durch reine Rollbewegung mit der Geschwindigkeit \(v_A\) auf der Horizontalen.
Sie schiebt über eine exzentrisch angebrachte Stange eine
große Walze, die ebenfalls auf einer Horizontalen schlupffrei rollt,
vor sich her.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} l_{AC}, &\quad r_{A}, &\quad r_{B}, &\quad v_{A} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für den dargestellten Bewegungszustand mit Hilfe des Momentanpols der Stange die Geschwindigkeiten der Punkte \(B\) und \(C\).
Geg.:
\begin{alignat*}{4} l_{AC}, &\quad r_{A}, &\quad r_{B}, &\quad v_{A} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für den dargestellten Bewegungszustand mit Hilfe des Momentanpols der Stange die Geschwindigkeiten der Punkte \(B\) und \(C\).
Lösung: Aufgabe 2.4
\begin{alignat*}{5}
v_C &= v_A\frac{l_{PC}}{l_{PA}},&\quad
v_B &= v_A\frac{l_{PC}}{l_{PA}} \frac{l_{BD}}{l_{CD}}
\end{alignat*}
Aufgabe 2.5
#161
Die skizzierte Walze führt eine reine Rollbewegung aus, die Seile sind
starr und laufen ohne Schlupf über die Rollen. Der Körper 4 bewegt sich
mit der Geschwindigkeit \(v_4\) abwärts
Geg.:
\begin{alignat*}{3} R_1 &= 200\,\mathrm{mm} &\quad r_1 &= 100\,\mathrm{mm} \\ r_2 &= 100\,\mathrm{mm} &\quad v_4 &=5,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_2\) der Umlenkrolle \(2\) und die Geschwindigkeit \(v_1\) des Mittelspunkts der Walze 1. Nutzen Sie dazu die jeweiligen Momentanpole.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} R_1 &= 200\,\mathrm{mm} &\quad r_1 &= 100\,\mathrm{mm} \\ r_2 &= 100\,\mathrm{mm} &\quad v_4 &=5,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit \(\omega_2\) der Umlenkrolle \(2\) und die Geschwindigkeit \(v_1\) des Mittelspunkts der Walze 1. Nutzen Sie dazu die jeweiligen Momentanpole.
Hilfestellung 3
Ausgehend vom Momentanpol des Körpers \(1\) können Sie einen Zusammenhang für die Geschwindigkeit von Punkten auf dem Seil und die Geschwindigkeit des Schwerpunktes
des Körpers \(1\) herstellen.
Lösung: Aufgabe 2.5
\begin{alignat*}{5}
\omega_2 &= \frac{2v_4}{r_2}, &\quad
v_1 &= 4v_4
\end{alignat*}
Aufgabe 2.6
#162
Ein Planetenrad rollt auf einem feststehendem Sonnenrad ab. Der Steg bewegt
sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\Omega\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \Omega &= 2 \,\pi/ \mathrm{s}, &\quad r &= 0,25 \, \mathrm{m}, &\quad R &= 1,0 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Man ermittele die Bahnkurve sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes \(P\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} \Omega &= 2 \,\pi/ \mathrm{s}, &\quad r &= 0,25 \, \mathrm{m}, &\quad R &= 1,0 \, \mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Man ermittele die Bahnkurve sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes \(P\).
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 2.6
a)
\begin{alignat*}{5}
x_p(t) &= (R+r)\:cos\Omega t + r\:cos((R/r + 1)\Omega t), \\
y_p(t) &= (R+r)\:sin\Omega t + r\:sin((R/r + 1)\Omega t), \\
\dot{x}_p(t) &= ...,\\
\dot{y}_p(t) &= ...
\end{alignat*}
b) Momentanpol im Berührungspunkt:
\begin{alignat*}{1}
\frac{v_A}{r} &= \frac{v_P}{2r}, &\quad
v_P &= 2v_A, &\quad
v_A &= (R+r)\Omega
\end{alignat*}
Lösung entspricht der von \(\dot{y}_P(t=0)\).