Aufgabe 1.1

#143
Ein PKW will auf der Überholspur an einem LKW vorbeifahren. Der Mindestabstand zwischen jeweils zwei Fahrzeugen in einer Spur soll immer so groß sein, wie die Strecke, die das nachfolgende Fahrzeug innerhalb von \(t_s = 2 s\) bei seiner jeweiligen Geschwindigkeit zurücklegt. Beide Fahrzeuge bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l_1 &= 5 \,\mathrm{m}, &\quad l_2 &= 15 \,\mathrm{m} \\ v_1 &= 120 \,\mathrm{km/h}, &\quad v_2 &= 80 \,\mathrm{km/h} \end{alignat*}
Ges.:
Wie lange befindet sich der PKW mindestens auf der Überholspur, wenn er den LKW bezüglich Mindestabstand korrekt überholt? Welchen Weg legt dabei der PKW zurück?

Lösung: Aufgabe 1.1

a) Zeit zum Überholen: \begin{alignat*}{5} t_1 &= 11,8\,\mathrm{s} \end{alignat*} b) Weg des PKW: \begin{alignat*}{1} s_1 &= 393,3\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 1.2

#144
Es ist der senkrechte Wurf und der freie Fall eines Körpers \(K\) zu untersuchen.

Geg.:
$$g=9,81 m/s^2$$
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Auftreffgeschwindigkeit \(v_A\), wenn der Körper aus einer Höhe von \(H = 2\, m\) fällt und zu Beginn der Bewegung in Ruhe ist.

  2. Bestimmen Sie die Wurfhöhe \(h\), wenn der Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \(v_0 = 6,26\, m/s\) den Boden verlässt.



Lösung: Aufgabe 1.2

a) \begin{alignat*}{5} v_a &= 6,26\,\mathrm{m/s}&\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{5} h &= 1,99\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 1.3

#145
Die Besatzung eines Freiballons, der mit konstanter Geschwindigkeit \(v_0\) steigt, will die augenblickliche Höhe \(h_0\) bestimmen. Zu diesem Zweck lässt sie einen Messkörper aus der Gondel fallen, der beim Aufschlag auf die Erdoberfläche explodiert. Die Besatzung misst die Zeit \(t_0\) vom Loslassen des Messkörpers bis zum Wahrnehmen der Detonation, wobei sich der Schall mit der Geschwindigkeit \(c\) ausbreitet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} t_0 &= 10 \,\mathrm{s}, &\quad v_0 & = 5 \,\mathrm{m/s} \\ c &= 333 \,\mathrm{m/s}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Höhe \(h_0\). Stellen Sie dazu die Bewegungen von Ballon, Messkörper und Schall in einem Weg-Zeit-Diagramm dar.

Lösung: Aufgabe 1.3

\begin{alignat*}{5} h_o &= 339\,\mathrm{m} \end{alignat*}


Aufgabe 1.4

#146
Ein Kfz erreicht aus dem Stand nach \(t=t_e\) seine Höchstgeschwindigkeit \(v=v_e\). Dabei soll die Beschleunigung linear über der Zeit fallen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} t_e &= 45\,\mathrm{s}, &\quad v_e &= 162\,\mathrm{km/h} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Strecke \(s_{100}\), die das Kfz bei Erreichen von \(v_{100}=100\,\mathrm{km/h}\) zurückgelegt hat.

Lösung: Aufgabe 1.4

\begin{alignat*}{5} a_0 &= 2\,\mathrm{m/s^2}, &\quad t_{100} &= 17,17\,\mathrm{s}, &\quad s_{100} &= 257\,\mathrm{m} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.5

#147
In einer Ballmaschine werden Tennisbälle auf der Strecke \(l\) aus der Ruhelage bis zur Endgeschwindigkeit \(v_e\) beschleunigt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a_0 &= 100\,\mathrm{m/s^2}, &\quad l &= 0,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie \(v_e\) für den dargestellten Verlauf der Beschleunigung. Hinweis: $$ \int \frac{x}{a-x}dx = - \left[ a \ln(|x-a|)+ x \right]$$

Lösung: Aufgabe 1.5

\begin{alignat*}{5} v_e &= 1,14\sqrt{a_0 l} = 8,06\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}


Aufgabe 1.6

#148
Der Kolben eines Dämpfers bewegt sich mit der zu seiner Geschwindigkeit proportionalen Beschleunigung \(a\) in einem Zylinder. Das im Zylinder eingeschlossene Öl kann durch die Öffnungen im Kolben entweichen.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} a & = -kv, &\quad v(t=0) &= v_0, &\quad s(t=0) &= 0 \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie für den Kolben \(v(t)\), \(s(t)\) und \(v(s)\).

Lösung: Aufgabe 1.6

\begin{alignat*}{5} v(t) &= v_0 e^{-kt}, &\quad s(t) &= \frac{v_0}{k} \left(1-e^{-kt}\right), &\quad v(s) &= v_0 -sk &\quad\\ \end{alignat*}


Aufgabe 1.7

#149
Zwei Gleitsteine \(A\) und \(B\) sind durch eine starre Stange gekoppelt. Der Gleitstein \(A\) bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit \(v_A\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) befinden sich die Gleitsteine in der skizzierten Lage.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 4 \,\mathrm{cm}, &\quad b &= 3 \,\mathrm{cm}, &\quad v_A &= 0,8\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
Für den Punkt \(K\) auf dem Gleitstein \(B\) sollen die Funktionen \(s_K(t)\), \(v_K(t)\) und \(a_K(t)\) ermittelt werden.

Lösung: Aufgabe 1.7

\begin{alignat*}{5} s_B(t) &= \sqrt{b^2 + 2av_At-v^2_At^2}, \\ \\ v_B(t) &= \frac{(a-v_At)v_A}{\sqrt{b^2+ 2av_At- v^2_At^2}} \\ \\ a_B(t) &= -\frac{a^2+b^2}{(\sqrt{b^2+ 2av_At- v^2_At^2})^3}v_A^2 \end{alignat*}


Aufgabe 1.8

#150
Bei einem Fußballspiel wird im Abstand \(2a\) vor dem Tor ein Freistoß gegeben. Die Spielerin will den Ball so treten, dass dieser bei der Mauer \((x = a)\) und auf der Torlinie \((x = 2a)\) jeweils in der Höhe \(h\) fliegt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &=9 \,\mathrm{m}, &\quad h &=2,2 \,\mathrm{m}, &\quad g &=9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind bei Vernachlässigung von Drall und Luftwiderstand die notwendige Anfangsgeschwindigkeit des Balles \(v_0\) und der Anfangswinkel \(\alpha\) ?

Lösung: Aufgabe 1.8

\begin{alignat*}{5} tan(\alpha) &= \frac{3h}{2a}, &\quad v^2_0 &= gh\left(\frac{a^2}{h^2} + \frac{9}{4}\right) \end{alignat*}


Aufgabe 1.9

#151
Ein Gleitstein \(A\) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \(v_A\) entlang einer vertikalen Führung. Er nimmt dabei die Stange \(S\) mit, welche in einer drehbaren Hülse gelagert ist. Bei \(t=0\) nimmt die Stange eine horizontale Lage ein.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_A &= 10\,\mathrm{m/s}, &\quad a &= 1\,\mathrm{m}, &\quad l &= 3\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Bahnkurve von Punkt \(B\) als Funktion der Zeit. Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.

  2. Bestimmen Sie die Zeit \(t^\ast\), nach welcher der Punkt \(B\) aus der Hülse gezogen wird.



Lösung: Aufgabe 1.9

a) \begin{alignat*}{5} x_B(t) &= a \left(\frac{l}{\sqrt{a^2+v^2_At^2}}-1\right), &\quad y_B(t) &= v_At\left(\frac{l}{\sqrt{a^2+v^2_At^2}}-1\right) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} t^* &= 0,283\,\mathrm{s} \end{alignat*}


Aufgabe 1.10

#152
Ein Rad mit dem Radius \(R\) rollt ohne zu Gleiten mit der Geschwindigkeit \(v_0\) auf der Horizontalen.

Geg.:
\begin{alignat*}{5} R & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad a & = 0,3\,\mathrm{m}, &\quad v_0 & = 1,0\,\mathrm{m/s} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Ermitteln Sie die Bahnkurve des körperfesten Punktes \(A\) analytisch und geben Sie diese in einem Diagramm \(y\)(\(x\)) an.

  2. Ermitteln Sie anschließend die Bahngeschwindigkeit von \(A\) als Funktion der Zeit.



Lösung: Aufgabe 1.10

a) \begin{alignat*}{5} x(t) &= v_0t-a\:sin(\frac{v_0t}{R}),&\quad y(t) &= R-a\:cos(\frac{v_0t}{R})&\quad \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v(t) &= v_0 \sqrt{1+\frac{a^2}{R^2}-2\frac{a}{R}cos(\frac{v_0t}{R})} \end{alignat*}


Aufgabe 1.11

#153
Ein Schwungrad mit dem Durchmesser \(d\) wird aus der Ruhelage mit \(\alpha_0=konst.\) beschleunigt und hat nach \(t=t_1\) die Drehzahl \(n\) erreicht.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} d &= 60\,\mathrm{mm}, &\quad t_1 &= 20\,\mathrm{s}, &\quad n &=1000\,\mathrm{min^{-1}} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie viele Umdrehungen \(N\) macht das Rad in der Zeit \(t_1\)?

  2. Ermitteln Sie die Beträge der Geschwindigkeit und der Beschleunigung eines Punktes auf dem Umfang zur Zeit \(t_2=1\,\mathrm{s}\).



Lösung: Aufgabe 1.11

a) \begin{alignat*}{5} N &= 167 \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} a(t_2) &= 836\,\mathrm{mm/s^2}, &\quad v(t_2) &= 157\,\mathrm{mm/s} &\quad \end{alignat*}


Aufgabe 1.12

#154
Ein PKW fährt mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) in eine Kreisbahn vom Radius \(R\) und beschleunigt in Bahnrichtung mit \(a_{\varphi}\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} v_0 &= 36\,\mathrm{km/h}, &\quad R &= 100\,\mathrm{m}, &\quad a_{\varphi} &= 1\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist der Gesamtbetrag der Beschleunigung nach Durchfahren eines Viertelkreisbogens, also bei \(B\) ?

Lösung: Aufgabe 1.12

\begin{alignat*}{5} a &= 4,26\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}


Aufgabe 1.13

#155
Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) um den Punkt \(A\). In einer glatten Führungsschiene bewegt sich ein Quader in radialer Richtung. Seine Geschwindigkeit relativ zur Scheibe ist konstant und beträgt \(v_0\). Bei \(t=0\) sind \(K\) und \(A\) deckungsgleich.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} R, &\quad v_0, & \quad \omega_0 \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Bahnkurve des Punktes \(K\).

  2. Geben Sie die Koordinaten des Geschwindigkeitsvektors und des Beschleunigungsvektors des Punktes \(K\) in Polarkoordinaten an.

  3. Wie viele Umdrehungen macht die Scheibe bis der Punkt \(K\) die Scheibe verlässt?



Lösung: Aufgabe 1.13

a) \begin{alignat*}{5} x(t) &= v_0t\:cos(\omega_0t),&\quad y(t) &= v_0t\:sin(\omega_0t) \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{1} v_r &= v_0,&\quad v_{\varphi} &= v_0t\omega_0,&\quad a_r &= -v_0t\omega^2_0,&\quad a_{\varphi} &= 2v_0\omega_0 \end{alignat*} c) \begin{alignat*}{1} N &= \frac{\omega_0R}{2\pi v_0} \end{alignat*}


Aufgabe 1.14

#156
Bei einem zentrischen Schubkurbelgetriebe dreht sich die Kurbel mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} l &= 1 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,25\,\mathrm{m}, &\quad \omega_0 &= 10/\mathrm{s} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie \(x(t)\) sowie \(\dot{x}(t)\) des Punktes \(A\).

Lösung: Aufgabe 1.14

Mit \(\lambda = r/l\) gilt \begin{alignat*}{5} x &= r\left(1- cos\varphi + \frac{1}{\lambda}\left(1-\sqrt{1-\lambda^2sin^2\varphi}\right)\right),\\ \\ \dot{x} &= r\omega_0 \left(sin\varphi + \lambda \frac{sin\varphi cos\varphi}{\sqrt{1-\lambda^2sin^2\varphi}}\right) \end{alignat*} Mit \(\varphi = \omega_0t\) folgen die Abhängigkeiten von t.