Biegung
Aufgabe 4.1
#100
Gegeben ist der Querschnitt eines U-Profils.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=1\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=1\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die in der Formelsammlung angegebene Tabellenform zur Bestimmung der Flächenmomente.
Überlegen Sie warum in diesem Fall das gemischte Flächenmoment \(I_{yz}\) gleich \(0\) ist.
Lösung: Aufgabe 4.1
\begin{alignat*}{5}
I_{yy} &= 36,33a^4, &\quad
I_{zz} &= 141,33a^4
\end{alignat*}
Aufgabe 4.2
#101
Gegeben ist der Querschnitt eines T-Profils.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=2\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=2\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die in der Formelsammlung angegebene Tabellenform zur Bestimmung der Flächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.2
a)
\begin{alignat*}{5}
I_{yy} &= 151,25a^4, &\quad
I_{zz} &= 18,75a^4
\end{alignat*}
Aufgabe 4.3
#102
Gegeben ist der Querschnitt eines unsymmetrischen T-Profils.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=5\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=5\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Hauptflächenmomente.
- Ermitteln Sie die Lage der Hauptsachsen. Zeichnen Sie diese in die Skizze ein.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die Formeln aus der Formelsammlung zur Berechnung der Lage Hauptachsen und zur Berechnung der Hauptflächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.3
Lage des Schwerpunktes bezogen auf die linke, obere Ecke:
\begin{alignat*}{5}
\tilde{x}_S &= 18,0\,\mathrm{mm}, &\quad
\tilde{y}_S &= -7,5\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Flächenmomente bezüglich des Schwerpunktes:
\begin{alignat*}{1}
I^{S}_{yy} &= 13020,8\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{zz} &= 14833,3\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{yz} &= 5625,6\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Hauptflächenmomente:
\begin{alignat*}{1}
I_{1} &= 19624,6\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I_{2} &= 8229,6\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Lage der Hauptsachsen:
\begin{alignat*}{1}
\varphi^{*} &= 49,6°
\end{alignat*}
Aufgabe 4.4
#103
Gegeben ist der Querschnitt eines Winkelprofils.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=10\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=10\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Hauptflächenmomente.
- Ermitteln Sie die Lage der Hauptsachsen. Zeichnen Sie diese in die Skizze ein.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die Formeln aus der Formelsammlung zur Berechnung der Lage Hauptachsen und zur Berechnung der Hauptflächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.4
Lage des Schwerpunktes bezogen auf die linke, untere Ecke:
\begin{alignat*}{5}
\tilde{x}_S &= 16,54\,\mathrm{mm}, &\quad
\tilde{y}_S &= 26,54\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Flächenmomente bezüglich des Schwerpunktes:
\begin{alignat*}{1}
I^{S}_{yy} &= 807756\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{zz} &= 387756\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{yz} &= 323077\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Hauptflächenmomente:
\begin{alignat*}{1}
I_{1} &= 983086\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I_{2} &= 212427\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Lage der Hauptsachsen:
\begin{alignat*}{1}
\varphi^{*} &= 28,49°
\end{alignat*}
Aufgabe 4.5
#104
Es ist ein Träger mit einem Rechteckquerschnitt (Lagerung gemäß Skizze)
gegeben. Der Träger hat die Breite \(b\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &=20\,\mathrm{mm}, &\quad F &=7,5\,\mathrm{kN}, &\quad a &=1,75\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie notwendige Höhe \(h\) des Trägers, so dass eine zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=300\,\mathrm{N/mm^2}\) nicht überschritten wird. Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &=20\,\mathrm{mm}, &\quad F &=7,5\,\mathrm{kN}, &\quad a &=1,75\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie notwendige Höhe \(h\) des Trägers, so dass eine zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=300\,\mathrm{N/mm^2}\) nicht überschritten wird. Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.5
Das maximale Biegemoment ist über dem Loslager:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -13,125\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Damit ergibt sich eine notwendige Höhe des Trägers von:
\begin{alignat*}{1}
h = 115\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.6
#105
Ein Träger auf zwei Stützen mit konstantem Rechteckquerschnitt ist durch eine
Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad h &=100\,\mathrm{mm}, & \quad q &= 3\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf der Träger maximal haben, ohne das die zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=240\,N/mm^2\) bei Einbauvariante 1 und Einbauvariante 2 überschritten wird? Ermitteln Sie zunächst Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad h &=100\,\mathrm{mm}, & \quad q &= 3\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf der Träger maximal haben, ohne das die zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=240\,N/mm^2\) bei Einbauvariante 1 und Einbauvariante 2 überschritten wird? Ermitteln Sie zunächst Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.6
Zulässige Länge:
\begin{alignat*}{5}
l^{V1}_{zul} &= 6532\,\mathrm{mm}, &\quad
l^{V2}_{zul} &= 4131\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.7
#106
Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt ist
gemäß Skizze belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q &= 10\,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad F &=4000\,\mathrm{N} \\ l &=1000\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 200\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die notwendige Höhe des Querschnitts für \(a=30\,\mathrm{mm}\). Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q &= 10\,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad F &=4000\,\mathrm{N} \\ l &=1000\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 200\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die notwendige Höhe des Querschnitts für \(a=30\,\mathrm{mm}\). Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.7
Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -1,0\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Erforderliche Querschnittsabmessung:
\begin{alignat*}{1}
h^{erf} &= 31,6\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.8
#107
Ein Träger mit einem Gelenk ist wie dargestellt belastet und gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q, &\quad l, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Biegespannungsverteilung im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q, &\quad l, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Biegespannungsverteilung im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.8
Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -ql^2
\end{alignat*}
Aufgabe 4.9
#108
Ein Träger ist wie dargestellt belastet und gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10\,\mathrm{N/mm}, &\quad l &= 600\,\mathrm{mm} \\ F &= 1500\,\mathrm{N}, &\quad \sigma_{zul} &= 100\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10\,\mathrm{N/mm}, &\quad l &= 600\,\mathrm{mm} \\ F &= 1500\,\mathrm{N}, &\quad \sigma_{zul} &= 100\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Abmessung \(a\) so, dass \(\sigma_{zul}\) nicht überschritten wird.
- Verlauf der Biegespannung \(\sigma_{B}^{max}\) im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist. Runden Sie dazu das Ergebnis von a. sinnvoll auf.
Hilfestellung 2
Lösung: Aufgabe 4.9
a)
\begin{alignat*}{5}
a &= 7,28\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
b) - Das maximale Biegemoment tritt über dem Loslager auf:
\begin{alignat*}{1}
M^{max}_B &= -Fl
\end{alignat*}
- Mit \(a_{gewählt} = 8\,\mathrm{mm}\) ergeben sich folgende Werte:
Aufgabe 4.10
#109
Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt
ist gemäß Skizze belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad l &= 800\,\mathrm{mm} \\ h &= 100\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 140\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Erforderliche Breite des Profils.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad l &= 800\,\mathrm{mm} \\ h &= 100\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 140\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Erforderliche Breite des Profils.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.10
\begin{alignat*}{5}
b_{erf} &= 58,7\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.11
#110
Der durch eine Streckenlast belastete Träger ist aus einem L-Profil
gefertigt. Die Einbaulage ist dem Schnitt A-A zu entnehmen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 2000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 10 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 2000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 10 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.11
\begin{alignat*}{5}
M_u &= 4,39\,\mathrm{kNm}, &\quad
M_v &= -2,38\,\mathrm{kNm}, &\quad
\sigma(u,v) &= 4,47\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v + 11,23\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u
\end{alignat*}
Lage der Spannungsnulllinie:
\begin{alignat*}{1}
v &= -2,512u
\end{alignat*}
\(\sigma_{max}\) bei:
\begin{alignat*}{1}
y &= 6,54\,\mathrm{mm}, &\quad
z &= -53,46\,\mathrm{mm}, &\quad
\sigma_{max} &= -445,7\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.12
#111
Der durch eine Streckenlast belastete Kragträger besitzt den skizzierten Querschnitt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 1,0 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 1000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 5\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 1,0 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 1000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 5\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.12
\begin{alignat*}{5}
M_{Bu} &= -0.324\,\mathrm{kNm}, &\quad
M_{Bv} &= 0 .381\,\mathrm{kNm}, &\quad
\sigma(u,v) &= -16.5\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v - 46,3\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u
\end{alignat*}
Lage der Spannungsnulllinie:
\begin{alignat*}{1}
v &= -2,8u
\end{alignat*}
\(\sigma_{max}\) bei:
\begin{alignat*}{1}
y &= -2.0\,\mathrm{mm}, &\quad
z &= 17.5\,\mathrm{mm}, &\quad
\sigma_{max} &= -768\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.13
#112
Für den dargestellten Träger ist die Gleichung der Biegelinie durch
Integration der Differentialgleichung zu ermitteln.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0 &= 10 \,\mathrm{Nmm}, &\quad l &= 2000 \,\mathrm{mm} \\ a &= 10 \,\mathrm{cm}, &\quad E &=2,1\cdot 10^{5} \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0 &= 10 \,\mathrm{Nmm}, &\quad l &= 2000 \,\mathrm{mm} \\ a &= 10 \,\mathrm{cm}, &\quad E &=2,1\cdot 10^{5} \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die maximale Durchbiegung?
- An welcher Stelle tritt diese auf?
Lösung: Aufgabe 4.13
Maximale Durchbiegung:
\begin{alignat*}{5}
w &= \frac{1}{EI} \left(-\frac{M_0}{l}\frac{x^3}{6} + \frac{M_0}{6}lx\right) \\ \\
&= \frac{M_0 l^2}{6 E I} \left(-\left(\frac{x}{l}\right)^3 + \left(\frac{x}{l}\right) \right)
\end{alignat*}
Ort der maximalen Durchbiegung durch Nullsetzen von \(w^{'}\) ermitteln:
\begin{alignat*}{1}
w_{max} &= w(x= \frac{l}{\sqrt{3}}) \\ \\
&= \frac{M_0 l^2}{6 E I}\left[-\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right] \\ \\
&= \frac{\sqrt{3} M_0 l^2}{27 E I}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.14
#113
Der dargestellte Kragträger ist durch ein Moment und eine Einzellast
am freien Ende belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F, & \quad M_0=Fl, & \quad EI_y, & \quad l \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F, & \quad M_0=Fl, & \quad EI_y, & \quad l \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.
- Geben Sie die maximale Verformung formelmäßig an.
Lösung: Aufgabe 4.14
Biegelinie:
\begin{alignat*}{5}
w(x) &= \frac{F l^3}{E I} \left[ -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \frac{x}{l} - \frac{1}{2}\frac{x^2}{l^2} + \frac{1}{6}\frac{x^3}{l^3} \right]
\end{alignat*}
Maximale Verformung bei \(x=0\):
\begin{alignat*}{1}
w(x=0) &= -\frac{F l^3}{6 E I}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.15
#114
Der dargestellte Träger ist durch eine dreieckförmige
Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0 &=1,0 \, \mathrm{N/mm}, & \quad l &= 1000 \, \mathrm{mm} \\ E &=2,1\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2}, & \quad I_{yy} &= 1000\, \mathrm{mm^4} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0 &=1,0 \, \mathrm{N/mm}, & \quad l &= 1000 \, \mathrm{mm} \\ E &=2,1\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2}, & \quad I_{yy} &= 1000\, \mathrm{mm^4} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.
- Geben Sie die maximale Verformung an.
Lösung: Aufgabe 4.15
Biegelinie:
\begin{alignat*}{5}
w(x) &= \frac{q_0}{l} \frac{1}{E I} \left[ \frac{1}{120} x^5 - \frac{l^2}{36} x^3 + \frac{7 l^4}{360} x \right]
\end{alignat*}
Maximale Verformung bei \(x=0,5193l\):
\begin{alignat*}{1}
w(x=0,5193l) &= 0,0065 \frac{q_0 l^4}{E I}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.16
#115
Der dargestellte Träger ist durch eine sinusförmige
Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0, & \quad l, & \quad E, & \quad I_{yy} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0, & \quad l, & \quad E, & \quad I_{yy} \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.
- Geben Sie die maximale Verformung formelmäßig an.
Lösung: Aufgabe 4.16
Biegelinie:
\begin{alignat*}{5}
w(x) &= \frac{q_0}{E I} \frac{l^4}{\pi^4} \sin \left(\frac{\pi}{l}x \right)
\end{alignat*}
Maximale Verformung bei \(x=\frac{l}{2}\):
\begin{alignat*}{1}
w(x=\frac{l}{2}) &= \frac{q_0 l^4}{E I \pi^4}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.17
#116
Für den dargestellten Träger sind insgesamt 4 Rand- bzw.
übergangsbedingungen für die Durchbiegung \(w\) und die Neigung \(w'\)
anzugeben.
Geg.:
Ges.:
Geg.:
Ges.:
Lösung: Aufgabe 4.17
\begin{alignat*}{5}
w_1(x_1 = 0) &= 0, \\
w_2(x_2 = l) &= 0, \\
w_1(x_l = l) &= w_2(x_2 = 0), \\
w^{'}_1(x_1 = l) &= w^{'}_2(x_2 = 0)
\end{alignat*}
Aufgabe 4.18
#117
Für den dargestellten Träger sind insgesamt 8 Rand- bzw.
übergangsbedingungen für die Durchbiegung \(w\) und die Neigung \(w'\)
anzugeben.
Geg.:
Ges.:
Geg.:
Ges.:
Lösung: Aufgabe 4.18
\begin{alignat*}{5}
w_1(x_1 = 0) &= 0, \\
w^{'}_1(x_1 = 0) &= 0, \\
w_3(x_3 = c) &= 0, \\
w_4(x_4 = 0) &= 0, \\
w_1(x_l = a) &= w_2(x_2 = 0), \\
w^{'}_1(x_1 = a) &= w^{'}_2(x_2 = 0), \\
w_2(x_2 = b) &= w_3(x_3 = 0), \\
w^{'}_3(x_3 = c) &= w^{'}_4(x_4 = 0)
\end{alignat*}