Aufgabe 4.1

#100
Gegeben ist der Querschnitt eines U-Profils.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=1\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.

Lösung: Aufgabe 4.1

\begin{alignat*}{5} I_{yy} &= 36,33a^4, &\quad I_{zz} &= 141,33a^4 \end{alignat*}


Aufgabe 4.2

#101
Gegeben ist der Querschnitt eines T-Profils.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=2\,\mathrm{cm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.

Lösung: Aufgabe 4.2

a) \begin{alignat*}{5} I_{yy} &= 151,25a^4, &\quad I_{zz} &= 18,75a^4 \end{alignat*}


Aufgabe 4.3

#102
Gegeben ist der Querschnitt eines unsymmetrischen T-Profils.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=5\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Hauptflächenmomente.

  2. Ermitteln Sie die Lage der Hauptsachsen. Zeichnen Sie diese in die Skizze ein.



Lösung: Aufgabe 4.3

Lage des Schwerpunktes bezogen auf die linke, obere Ecke: \begin{alignat*}{5} \tilde{x}_S &= 18,0\,\mathrm{mm}, &\quad \tilde{y}_S &= -7,5\,\mathrm{mm} \end{alignat*} Flächenmomente bezüglich des Schwerpunktes: \begin{alignat*}{1} I^{S}_{yy} &= 13020,8\,\mathrm{mm^4}, &\quad I^{S}_{zz} &= 14833,3\,\mathrm{mm^4}, &\quad I^{S}_{yz} &= 5625,6\,\mathrm{mm^4} \end{alignat*} Hauptflächenmomente: \begin{alignat*}{1} I_{1} &= 19624,6\,\mathrm{mm^4}, &\quad I_{2} &= 8229,6\,\mathrm{mm^4} \end{alignat*} Lage der Hauptsachsen: \begin{alignat*}{1} \varphi^{*} &= 49,6° \end{alignat*}


Aufgabe 4.4

#103
Gegeben ist der Querschnitt eines Winkelprofils.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} a=10\,\mathrm{mm} & \quad \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Hauptflächenmomente.

  2. Ermitteln Sie die Lage der Hauptsachsen. Zeichnen Sie diese in die Skizze ein.



Lösung: Aufgabe 4.4

Lage des Schwerpunktes bezogen auf die linke, untere Ecke: \begin{alignat*}{5} \tilde{x}_S &= 16,54\,\mathrm{mm}, &\quad \tilde{y}_S &= 26,54\,\mathrm{mm} \end{alignat*} Flächenmomente bezüglich des Schwerpunktes: \begin{alignat*}{1} I^{S}_{yy} &= 807756\,\mathrm{mm^4}, &\quad I^{S}_{zz} &= 387756\,\mathrm{mm^4}, &\quad I^{S}_{yz} &= 323077\,\mathrm{mm^4} \end{alignat*} Hauptflächenmomente: \begin{alignat*}{1} I_{1} &= 983086\,\mathrm{mm^4}, &\quad I_{2} &= 212427\,\mathrm{mm^4} \end{alignat*} Lage der Hauptsachsen: \begin{alignat*}{1} \varphi^{*} &= 28,49° \end{alignat*}


Aufgabe 4.5

#104
Es ist ein Träger mit einem Rechteckquerschnitt (Lagerung gemäß Skizze) gegeben. Der Träger hat die Breite \(b\).

Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &=20\,\mathrm{mm}, &\quad F &=7,5\,\mathrm{kN}, &\quad a &=1,75\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie notwendige Höhe \(h\) des Trägers, so dass eine zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=300\,\mathrm{N/mm^2}\) nicht überschritten wird. Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.

Lösung: Aufgabe 4.5

Das maximale Biegemoment ist über dem Loslager: \begin{alignat*}{5} M^{max}_B &= -13,125\,\mathrm{kNm} \end{alignat*} Damit ergibt sich eine notwendige Höhe des Trägers von: \begin{alignat*}{1} h = 115\,\mathrm{mm} \end{alignat*}


Aufgabe 4.6

#105
Ein Träger auf zwei Stützen mit konstantem Rechteckquerschnitt ist durch eine Streckenlast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} b &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad h &=100\,\mathrm{mm}, & \quad q &= 3\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf der Träger maximal haben, ohne das die zul. Spannung von \(\sigma_{zul}=240\,N/mm^2\) bei Einbauvariante 1 und Einbauvariante 2 überschritten wird? Ermitteln Sie zunächst Ort und Größe des maximalen Biegemoments.

Lösung: Aufgabe 4.6

Zulässige Länge: \begin{alignat*}{5} l^{V1}_{zul} &= 6532\,\mathrm{mm}, &\quad l^{V2}_{zul} &= 4131\,\mathrm{mm} \end{alignat*}


Aufgabe 4.7

#106
Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt ist gemäß Skizze belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} q &= 10\,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad F &=4000\,\mathrm{N} \\ l &=1000\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 200\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die notwendige Höhe des Querschnitts für \(a=30\,\mathrm{mm}\). Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.

Lösung: Aufgabe 4.7

Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf: \begin{alignat*}{5} M^{max}_B &= -1,0\,\mathrm{kNm} \end{alignat*} Erforderliche Querschnittsabmessung: \begin{alignat*}{1} h^{erf} &= 31,6\,\mathrm{mm} \end{alignat*}


Aufgabe 4.8

#107
Ein Träger mit einem Gelenk ist wie dargestellt belastet und gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} q, &\quad l, &\quad a \end{alignat*}
Ges.:
Biegespannungsverteilung im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist.

Lösung: Aufgabe 4.8

Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf: \begin{alignat*}{5} M^{max}_B &= -ql^2 \end{alignat*}


Aufgabe 4.9

#108
Ein Träger ist wie dargestellt belastet und gelagert.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10\,\mathrm{N/mm}, &\quad l &= 600\,\mathrm{mm} \\ F &= 1500\,\mathrm{N}, &\quad \sigma_{zul} &= 100\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Abmessung \(a\) so, dass \(\sigma_{zul}\) nicht überschritten wird.

  2. Verlauf der Biegespannung \(\sigma_{B}^{max}\) im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist. Runden Sie dazu das Ergebnis von a. sinnvoll auf.



Lösung: Aufgabe 4.9

a) \begin{alignat*}{5} a &= 7,28\,\mathrm{mm} \end{alignat*} b) - Das maximale Biegemoment tritt über dem Loslager auf: \begin{alignat*}{1} M^{max}_B &= -Fl \end{alignat*}      - Mit \(a_{gewählt} = 8\,\mathrm{mm}\) ergeben sich folgende Werte:


Aufgabe 4.10

#109
Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt ist gemäß Skizze belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{4} F &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad l &= 800\,\mathrm{mm} \\ h &= 100\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{zul} &= 140\,\mathrm{MPa} \end{alignat*}
Ges.:
Erforderliche Breite des Profils.

Lösung: Aufgabe 4.10

\begin{alignat*}{5} b_{erf} &= 58,7\,\mathrm{mm} \end{alignat*}


Aufgabe 4.11

#110
Der durch eine Streckenlast belastete Träger ist aus einem L-Profil gefertigt. Die Einbaulage ist dem Schnitt A-A zu entnehmen.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 2000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 10 \,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.

Lösung: Aufgabe 4.11

\begin{alignat*}{5} M_u &= 4,39\,\mathrm{kNm}, &\quad M_v &= -2,38\,\mathrm{kNm}, &\quad \sigma(u,v) &= 4,47\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v + 11,23\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u \end{alignat*} Lage der Spannungsnulllinie: \begin{alignat*}{1} v &= -2,512u \end{alignat*} \(\sigma_{max}\) bei: \begin{alignat*}{1} y &= 6,54\,\mathrm{mm}, &\quad z &= -53,46\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{max} &= -445,7\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}


Aufgabe 4.12

#111
Der durch eine Streckenlast belastete Kragträger besitzt den skizzierten Querschnitt.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} q &= 1,0 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\ l &= 1000 \,\mathrm{mm}, &\quad a &= 5\,\mathrm{mm} \end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\). Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.

Lösung: Aufgabe 4.12

\begin{alignat*}{5} M_u &= 0,324\,\mathrm{kNm}, &\quad M_v &= -0,381\,\mathrm{kNm}, &\quad \sigma(u,v) &= 16,5\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v + 46,3\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u \end{alignat*} Lage der Spannungsnulllinie: \begin{alignat*}{1} v &= -2,8u \end{alignat*} \(\sigma_{max}\) bei: \begin{alignat*}{1} y &= -2\,\mathrm{mm}, &\quad z &= 17,5\,\mathrm{mm}, &\quad \sigma_{max} &= 769\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}


Aufgabe 4.13

#112
Für den dargestellten Träger ist die Gleichung der Biegelinie durch Integration der Differentialgleichung zu ermitteln.

Geg.:
\begin{alignat*}{3} M_0 &= 10 \,\mathrm{Nmm}, &\quad l &= 2000 \,\mathrm{mm} \\ a &= 10 \,\mathrm{cm}, &\quad E &=2,1\cdot 10^{5} \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Wie groß ist die maximale Durchbiegung?

  2. An welcher Stelle tritt diese auf?



Lösung: Aufgabe 4.13

Maximale Durchbiegung: \begin{alignat*}{5} w &= \frac{1}{EI} \left(-\frac{M_0}{l}\frac{x^3}{6} + \frac{M_0}{6}lx\right) \\ \\ &= \frac{M_0 l^2}{6 E I} \left(-\left(\frac{x}{l}\right)^3 + \left(\frac{x}{l}\right) \right) \end{alignat*} Ort der maximalen Durchbiegung durch Nullsetzen von \(w^{'}\) ermitteln: \begin{alignat*}{1} w_{max} &= w(x= \frac{l}{\sqrt{3}}) \\ \\ &= \frac{M_0 l^2}{6 E I}\left[-\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right] \\ \\ &= \frac{\sqrt{3} M_0 l^2}{27 E I} \end{alignat*}


Aufgabe 4.14

#113
Der dargestellte Kragträger ist durch ein Moment und eine Einzellast am freien Ende belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} F, & \quad M_0=Fl, & \quad EI_y, & \quad l \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.

  2. Geben Sie die maximale Verformung formelmäßig an.



Lösung: Aufgabe 4.14

Biegelinie: \begin{alignat*}{5} w(x) &= \frac{F l^3}{E I} \left[ -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \frac{x}{l} - \frac{1}{2}\frac{x^2}{l^2} + \frac{1}{6}\frac{x^3}{l^3} \right] \end{alignat*} Maximale Verformung bei \(x=0\): \begin{alignat*}{1} w(x=0) &= -\frac{F l^3}{6 E I} \end{alignat*}


Aufgabe 4.15

#114
Der dargestellte Träger ist durch eine dreieckförmige Streckenlast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0 &=1,0 \, \mathrm{N/mm}, & \quad l &= 1000 \, \mathrm{mm} \\ E &=2,1\cdot 10^5 \mathrm{N/mm^2}, & \quad I_{yy} &= 1000\, \mathrm{mm^4} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.

  2. Geben Sie die maximale Verformung an.



Lösung: Aufgabe 4.15

Biegelinie: \begin{alignat*}{5} w(x) &= \frac{q_0}{l} \frac{1}{E I} \left[ \frac{1}{120} x^5 - \frac{l^2}{36} x^3 + \frac{7 l^4}{360} x \right] \end{alignat*} Maximale Verformung bei \(x=0,5193l\): \begin{alignat*}{1} w(x=0,5193l) &= 0,0065 \frac{q_0 l^4}{E I} \end{alignat*}


Aufgabe 4.16

#115
Der dargestellte Träger ist durch eine sinusförmige Streckenlast belastet.

Geg.:
\begin{alignat*}{2} q_0, & \quad l, & \quad E, & \quad I_{yy} \end{alignat*}
Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Biegelinie durch Integration.

  2. Geben Sie die maximale Verformung formelmäßig an.



Lösung: Aufgabe 4.16

Biegelinie: \begin{alignat*}{5} w(x) &= \frac{q_0}{E I} \frac{l^4}{\pi^4} \sin \left(\frac{\pi}{l}x \right) \end{alignat*} Maximale Verformung bei \(x=\frac{l}{2}\): \begin{alignat*}{1} w(x=\frac{l}{2}) &= \frac{q_0 l^4}{E I \pi^4} \end{alignat*}


Aufgabe 4.17

#116
Für den dargestellten Träger sind insgesamt 4 Rand- bzw. übergangsbedingungen für die Durchbiegung \(w\) und die Neigung \(w'\) anzugeben.

Geg.:

Ges.:


Lösung: Aufgabe 4.17

\begin{alignat*}{5} w_1(x_1 = 0) &= 0, \\ w_2(x_2 = l) &= 0, \\ w_1(x_l = l) &= w_2(x_2 = 0), \\ w^{'}_1(x_1 = l) &= w^{'}_2(x_2 = 0) \end{alignat*}


Aufgabe 4.18

#117
Für den dargestellten Träger sind insgesamt 8 Rand- bzw. übergangsbedingungen für die Durchbiegung \(w\) und die Neigung \(w'\) anzugeben.

Geg.:

Ges.:


Lösung: Aufgabe 4.18

\begin{alignat*}{5} w_1(x_1 = 0) &= 0, \\ w^{'}_1(x_1 = 0) &= 0, \\ w_3(x_3 = c) &= 0, \\ w_4(x_4 = 0) &= 0, \\ w_1(x_l = a) &= w_2(x_2 = 0), \\ w^{'}_1(x_1 = a) &= w^{'}_2(x_2 = 0), \\ w_2(x_2 = b) &= w_3(x_3 = 0), \\ w^{'}_3(x_3 = c) &= w^{'}_4(x_4 = 0) \end{alignat*}