Kräfte und Momente in der Ebene
Aufgabe 1.1
#1
An einem Punkt greifen drei in der x-y-Ebene liegende Kräfte
\(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3\) an.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} |\vec{F}_1| & = 3\sqrt{2}\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_2| & = 3\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_3| & = \sqrt{5}\, \mathrm{N} \\ \alpha_1 & = 45 ^\circ, &\quad \alpha_2 & = 180 ^\circ, &\quad \alpha_3 & = 333,5 ^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} |\vec{F}_1| & = 3\sqrt{2}\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_2| & = 3\, \mathrm{N}, &\quad |\vec{F}_3| & = \sqrt{5}\, \mathrm{N} \\ \alpha_1 & = 45 ^\circ, &\quad \alpha_2 & = 180 ^\circ, &\quad \alpha_3 & = 333,5 ^\circ \end{alignat*}
Ges.:
- Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch die Resultierende \(\vec{F}_R\).
- Bestimmen Sie den Betrag \(|\vec{F}_3|\) so, dass die Wirkungslinie von \(\vec{F}_R\) mit der Wirkungslinie von \(\vec{F}_2\) zusammen fällt.
Hilfestellung 1
Zeichnerisch:
Da gilt
\(\vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3\)
müssen die drei Kräfte grafisch addiert werden. Das erfolgt durch Aneinanderhängen der Kräfte.
Dabei muss zuvor ein Masststab eingeführt werden.
\(\vec{F}_1\) beginnt im Ursprung des Koordinatensystems. 
Hilfestellung 2
Rechnerisch:
Es muss zunächst \(\vec{F}_{Rx}\) und \(\vec{F}_{Ry}\) berechnet werden. Nutzen Sie zur
Berechnung der x und y Anteile der einzelnen Kräfte die Formeln aus der Formelsammlung.
Beachten Sie dabei, dass die Winkel von der positiven x-Achse aus gemessen werden. 
Hilfestellung 3
Zeichnerisch: \(\vec{F}_3\) soweit verlängern, bis \(\vec{F}_R\) mit der x-Achse zusammen fällt.
Rechnerisch: \(\vec{F}_{Ry} = 0\) setzen. Daraus kann der Betrag von \(\vec{F}_3\) berechnet werden. 
Lösung: Aufgabe 1.1
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{Rx} & = 2 \, &&\mathrm{N}, &\quad
F_{Ry}&= 2 \, &&\mathrm{N}, &\quad
|\vec{F}_R| & = 2\sqrt{2}\, \mathrm{N}, &\quad
\alpha & = 45^{\circ} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
|\vec{F}_3| & = 6,7 \, &&\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.2
#2
Ein Bolzen wird durch die in der x-y-Ebene liegenden Kräfte \(F_1\)
bis \(F_4\), die sich in der Bolzenmittelachse schneiden, belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 1000\, \mathrm{N}, &\quad F_2 & = 500\, \mathrm{N} \\ F_3 & = 1500\, \mathrm{N}, &\quad F_4 & = 800\, \mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie Größe und Richtung der Resultierenden \(F_R\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 1000\, \mathrm{N}, &\quad F_2 & = 500\, \mathrm{N} \\ F_3 & = 1500\, \mathrm{N}, &\quad F_4 & = 800\, \mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie Größe und Richtung der Resultierenden \(F_R\).
Hilfestellung 1
Das Problem ist zwar räumlich dargestellt, die Kräfte wirken jedoch alle in einer Ebene.
Daher handelt es hier um ein ebenes, zentrales Kräftesystem. 
Hilfestellung 2
Für die rechnerische Bestimmung von \(F_{Rx}\) und \(F_{Ry}\) brauchen Sie die
x- und y-Koordinaten der einzelnen Kräfte. Dazu haben Sie zwei Möglichkeiten, welche am
Beispiel von \(F_{1}\) dargestellt sind:
Einmal können Sie als Winkel die \(330^\circ\) nutzen, wobei sich das negative Vorzeichen
bei \(F_{1y}\)
automatisch ergibt. Oder Sie nutzen als Winkel die \(30^\circ\) und fügen das
negative Vorzeichen bei \(F_{1y}\) selbst ein, da \(F_{1y}\)
in negative y-Richtung zeigt. 
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.2
\begin{alignat*}{5}
F_{Rx}&= -684 \, &&\mathrm{N}, &\quad
F_{Ry}&= -2299 \, &&\mathrm{N}, &\quad
|\vec{F}_R| &= 2398,6 \, \mathrm{N}, &\quad
\alpha & = 180^{\circ}+ 73,4^{\circ} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.3
#3
An einer Öse sind über Umlenkrollen Körper mit den Massen \(m_1\) und \(m_2\) befestigt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 & = 50\,\mathrm{kg}, &\quad \alpha & = 45^{\circ}, &\quad g = 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\ m_2 & = 60\,\mathrm{kg}, &\quad \beta & = 60^{\circ} &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Gesamtbelastung \(F_R\) der Öse und deren Richtung grafisch und analytisch. (Angabe von \(\alpha_R\) wie skizziert)
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 & = 50\,\mathrm{kg}, &\quad \alpha & = 45^{\circ}, &\quad g = 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\ m_2 & = 60\,\mathrm{kg}, &\quad \beta & = 60^{\circ} &\quad \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Gesamtbelastung \(F_R\) der Öse und deren Richtung grafisch und analytisch. (Angabe von \(\alpha_R\) wie skizziert)
Hilfestellung 3
Schneiden Sie durch die Seile auf der Seite, wo die Öse ist.
Legen Sie in die Öse ihr x-y Koordinatensystem. Bestimmen Sie
jeweils die x- und die y-Koordinaten der Seilkräfte. 
Lösung: Aufgabe 1.3
\begin{alignat*}{5}
F_{R}&= 661,5 \, &&\mathrm{N}, &\quad
\alpha & = 14,25^{\circ} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.4
#4
Ein Schiff wird von zwei Schleppern \(1\) und \(2\) so gezogen,
dass die Wirkungslinie der resultierenden Zugkraft \(F_R\) stets mit der Schiffslängsachse zusammenfällt. Es sind zwei Fälle zu untersuchen.
Geg.:
a) \begin{alignat*}{3} F_1 &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 7000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_2 &= 30^{\circ} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{2} F_R &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_1 &= 30^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
a) \begin{alignat*}{2} \alpha_1, &\quad F_{R} \end{alignat*} b) \(F_1\) so, dass \(F_2\) ein Minimum wird.
Geg.:
a) \begin{alignat*}{3} F_1 &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad F_2 & = 7000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_2 &= 30^{\circ} \end{alignat*} b) \begin{alignat*}{2} F_R &= 5000\,\mathrm{N}, &\quad \alpha_1 &= 30^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
a) \begin{alignat*}{2} \alpha_1, &\quad F_{R} \end{alignat*} b) \(F_1\) so, dass \(F_2\) ein Minimum wird.
Hilfestellung 2
Legen Sie ein kartesisches Koordinatensystem so in den Kraftangriffspunkt der Schlepperkräfte,
dass die y-Richtung der Längsachse des gezogenen Schiffes entspricht.
Dadurch ist \(F_{Rx} = 0\).
Formulieren Sie anschließend die Gleichungen für \(F_{Rx}\) und \(F_{Ry}\) und lösen sie diese für Teil a)
nach den Unbekannten auf.
Hilfestellung 3
Für die analytische Lösung von b) benötigen \( F_2 = F_2(F_1)\).
Dazu müssen Sie \( \alpha_2\) eliminieren.
Nutzen Sie dazu: \(\cos^2 \alpha_2 + \sin^2 \alpha_2 = 1\). 
Lösung: Aufgabe 1.4
a)
\begin{alignat*}{5}
\alpha_1 & = 44,4^{\circ} &\quad
F_R &= 9,63\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
F_1 &= 4,33\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.5
#5
An einem Punkt greifen in der Ebene drei Kräfte gemäß Skizze an.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 500\,{N}, & \quad \alpha_1 & = 45^{\circ} \\ F_2 & = 300\,{N}, & \quad \alpha_2 & = 200^{\circ} \\ F_3 & = 400\,{N}, & \quad \alpha_3 & = 315^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die Kraft \(F\), die diesem System das Gleichgewicht hält. Bestimmen Sie diese zunächst grafisch und überprüfen Sie dieses Ergebnis durch eine analytische Lösung.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 & = 500\,{N}, & \quad \alpha_1 & = 45^{\circ} \\ F_2 & = 300\,{N}, & \quad \alpha_2 & = 200^{\circ} \\ F_3 & = 400\,{N}, & \quad \alpha_3 & = 315^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Gesucht ist die Kraft \(F\), die diesem System das Gleichgewicht hält. Bestimmen Sie diese zunächst grafisch und überprüfen Sie dieses Ergebnis durch eine analytische Lösung.
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst, was der Unterschied zwischen einer resultierenden Kraft und der Kraft,
die das System im Gleichgewicht hält, ist. Für die grafische Lösung hängen Sie die Kräfte einfach aneinander.
Wählen Sie zuvor einen Massstab, damit Sie die Größe und den Winkel der gesuchten Kraft der Skizze
entnehmen können. 
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.5
\begin{alignat*}{5}
F_G &= 574,1\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.6
#6
Ein Körper mit der Gewichtskraft \(F_G\) hängt an einem Seil. Es wirkt eine
horizontale Zugkraft \(F_Z\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 18\,\mathrm{kN}, &\quad F_Z &= 10\,\mathrm{kN}, &\quad l &= 6\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 18\,\mathrm{kN}, &\quad F_Z &= 10\,\mathrm{kN}, &\quad l &= 6\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die Kraft im Seil in der höchsten Stellung?
- Wie hoch kann der Körper durch die waagerechte Zugkraft \(F_Z\) gehoben werden?
Hilfestellung 2
Schneiden sie den Kraftangriffspunkt frei und skizzieren Sie das zentrale Kräftesystem.
Formulieren Sie das Kräftegleichgewicht in horizontaler und vertikaler Richtung.
Überlegen Sie, welche zwei Unbekannten in diesen Gleichungen stecken
und lösen Sie nach diesen auf.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.6
a)
\begin{alignat*}{5}
F_S &= 20,6\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
h &= 0,75\,\mathrm{m} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.7
#7
Ein Körper mit der Masse \(m\) ist an zwei Seilen aufgehängt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 30 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad l &= 4,5 \,\mathrm{m} \\ a &= 2 \,\mathrm{m}, &\quad b &= 4 \,\mathrm{m}, &\quad c &= 10 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seilkräfte \(F_{S1}\) und \(F_{S2}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m &= 30 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad l &= 4,5 \,\mathrm{m} \\ a &= 2 \,\mathrm{m}, &\quad b &= 4 \,\mathrm{m}, &\quad c &= 10 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Seilkräfte \(F_{S1}\) und \(F_{S2}\).
Hilfestellung 2
Erzeugen Sie ein Bild von dem zentralen Kräftesystem, indem Sie durch die am Knotenpunkt
angreifenden Seile schneiden. Die Seilkraft im vertikalen Seil entspricht der Gewichtskraft des Körpers.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.7
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 277,7\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S2} &= 298,1\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.8
#8
Ein Seil der Länge \(l\) ist in den Punkten \(A\) und \(B\) an zwei Wänden
befestigt. An einer reibungsfreien Rolle, deren Radius vernachlässigbar klein ist,
hängt ein Klotz der Masse \(m\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} m &=18\,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, \\ a &= 4\,\mathrm{m}, &\quad l &= 5 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{2} m &=18\,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, \\ a &= 4\,\mathrm{m}, &\quad l &= 5 \,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die Kraft im Seil?
- Beeinflusst die Höhendifferenz \(b\) die Seilkraft?
Hilfestellung 2
Die Winkel zwischen den Seilen rechts und links der Rolle und der Horizontalen sind gleich.
Schneiden sie sie durch die Seile und um den Körper. Erzeugen sie einen Skizze von dem
zentralen Kräftesystem.
Hilfestellung 3
Bewegen Sie den Punkt A gedanklich soweit nach unten, bis das Seil völlig gestreckt ist.
Das liefert den Zugang zu der für die Lösung notwendigen, geometrischen Beziehung.
Lösung: Aufgabe 1.8
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{S} &= 147,1\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{1}
\text{Die Höhendifferenz hat keinen Einfluss.} \\
\end{alignat*}
Aufgabe 1.9
#9
Eine Rolle der Masse \(m_1\) liegt reibungsfrei auf einer geneigten Ebene und
wird durch das Seil \(1\) gehalten. Von dieser Rolle aus verläuft waagerecht
über eine reibungsfrei gelagerte Rolle ein zweites Seil, an dessen Ende die
Masse \(m_2\) befestigt ist.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 50 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkaft \(F_{S1}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} m_1 &= 50 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Seilkaft \(F_{S1}\).
Hilfestellung 2
Schneiden Sie die Rolle frei und überlegen Sie genau, wie Sie die Kontaktkraft zwischen Rolle und geneigter Ebene eintragen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.9
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 429,8\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.10
#10
Das Seil einer Seilwinde wird reibungsfrei über den Knoten \(K\) eines
Stabzweischlages geführt. Am Seil hängt ein Klotz mit der Gewichtskraft \(F_G\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 500\,\mathrm{N}, &\quad \alpha &= 60^\circ, &\quad \beta &= 30^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Kräfte in den Stäben \(1\) und \(2\)?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_G &= 500\,\mathrm{N}, &\quad \alpha &= 60^\circ, &\quad \beta &= 30^\circ \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Kräfte in den Stäben \(1\) und \(2\)?
Hilfestellung 2
Überlegen Sie, wo das Zentrum ist, und schneiden Sie geeignet frei.
Wenn Sie diese Skizze haben, dann formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen
in horizontaler und vertikaler Richtung.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.10
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= -366\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S2} &= -366\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.11
#11
Drei Kräfte wirken in der x-y-Ebene.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 1,5\,\mathrm{kN} \\ F_3 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\). Es ist weiterhin der senkrechte Abstand von \(F_R\) zum Koordinatenursprung zu bestimmen. Tragen Sie \(F_R\) in die Skizze ein.
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_1 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 1,5\,\mathrm{kN} \\ F_3 &= 2,0\,\mathrm{kN}, &\quad a &= 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\). Es ist weiterhin der senkrechte Abstand von \(F_R\) zum Koordinatenursprung zu bestimmen. Tragen Sie \(F_R\) in die Skizze ein.
Hilfestellung 1
Bei dieser Aufgabe handelt es sich um ein allgemeines Kraftsystem. Überlegen Sie warum!
Hilfestellung 2
Wenn sie \(F_{Rx}\), \(F_{Ry}\) und das resultierende Moment bezüglich des Koordinatenursprungs bestimmt haben,
können Sie die Geradengleichung für die Wirkungslinie der Resultierenden formulieren.
Lösung: Aufgabe 1.11
\begin{alignat*}{5}
|h_R| &= 1,92\,\mathrm{m}, &\quad
\alpha_R &= 4,7^\circ, &\quad
M_R &= -7,53\,\mathrm{kNm}, &\quad
F_R &= 3,92\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Geradengleichung der Resultierenden:
\begin{alignat*}{5}
y &= 0,082\,\mathrm{x} + 1,926\,\mathrm{m} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.12
#12
Gegeben sind die Kräfte \(F_1\) bis \(F_5\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 0,5\,\mathrm{cm}, &\quad F_1 &= 40 \,\mathrm{N}, &\quad F_2 &= 30 \,\mathrm{N} \\ F_3 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_4 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_5 &= 30 \,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\) sowie deren Schnittpunkt mit der x-Achse.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} a &= 0,5\,\mathrm{cm}, &\quad F_1 &= 40 \,\mathrm{N}, &\quad F_2 &= 30 \,\mathrm{N} \\ F_3 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_4 &= 20 \,\mathrm{N}, &\quad F_5 &= 30 \,\mathrm{N} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft \(F_R\) sowie deren Schnittpunkt mit der x-Achse.
Lösung: Aufgabe 1.12
\begin{alignat*}{5}
|h_R| &= 2,88\,\mathrm{cm}, &\quad
M_R &= 115\,\mathrm{Ncm}, &\quad
F_R &= 40\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Geradengleichung der Resultierenden:
\begin{alignat*}{5}
x &= -2,88\,\mathrm{cm} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.13
#13
An einem Autodrehkran wirken die Kräfte \(F_1\) bis \(F_4\) als Eigengewichte
bestimmter Baugruppen sowie die äußere Lasten \(F_5\) bis \(F_6\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 &= 5\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 2\,\mathrm{kN}, &\quad F_3 &= 8\,\mathrm{kN} \\ F_4 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_5 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_6 &= 4\,\mathrm{kN} \\ a &=2,5\,\mathrm{m}, &\quad b &=0,9\,\mathrm{m}, &\quad c &= 1,4\,\mathrm{m} \\ d &=3,0\,\mathrm{m}, &\quad e &=4,0\,\mathrm{m}, &\quad h &= 3,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ist die Standsicherheit gewährleistet?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F_1 &= 5\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 &= 2\,\mathrm{kN}, &\quad F_3 &= 8\,\mathrm{kN} \\ F_4 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_5 &=10\,\mathrm{kN}, &\quad F_6 &= 4\,\mathrm{kN} \\ a &=2,5\,\mathrm{m}, &\quad b &=0,9\,\mathrm{m}, &\quad c &= 1,4\,\mathrm{m} \\ d &=3,0\,\mathrm{m}, &\quad e &=4,0\,\mathrm{m}, &\quad h &= 3,5\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ist die Standsicherheit gewährleistet?
Lösung: Aufgabe 1.13
Die Standsicherheit ist gewährleistet, da das Standmoment größer als das Kippmoment ist.
\begin{alignat*}{5}
M_{Stand} &= 46,2\,\mathrm{kNm}, &\quad
M_{Kipp} &= 39,0\,\mathrm{kNm} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.14
#14
Gegeben ist eine Rechteckscheibe. Sie ist durch zwei Kräfte belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{9} F_1 & = 10 \,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 2\sqrt{2}\,F_1 \\ a & = 5,0 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha & = 45^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg.
Geg.:
\begin{alignat*}{9} F_1 & = 10 \,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 2\sqrt{2}\,F_1 \\ a & = 5,0 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha & = 45^{\circ} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg.
Lösung: Aufgabe 1.14
\begin{alignat*}{5}
F_R &= 10\, \sqrt{5}\,\mathrm{kN}, &\quad
\alpha_R &= 26,6^\circ &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.15
#15
Gegeben ist ein Winkeleisen, welches gemäß Skizze durch die
Einzelmomente \(M_1\) bis \(M_3\) und die Kraft \(F\) belastet ist.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 0,5\,\mathrm{kN}, &\quad M_1 &= 10 \,\mathrm{Nm} \\ M_2 &=50 \,\mathrm{Nm}, &\quad M_3 &=150 \,\mathrm{Nm}\\ \alpha &=45^{\circ}, &\quad a &= 0,1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg. Nutzen Sie für die Geradengleichung der Resultierenden einmal als Bezugspunkt den Punkt \(A\) und als Kontrolle den Punkt \(B\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3} F &= 0,5\,\mathrm{kN}, &\quad M_1 &= 10 \,\mathrm{Nm} \\ M_2 &=50 \,\mathrm{Nm}, &\quad M_3 &=150 \,\mathrm{Nm}\\ \alpha &=45^{\circ}, &\quad a &= 0,1\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie Betrag und Richtung der resultierenden Kraft auf analytischem Weg. Nutzen Sie für die Geradengleichung der Resultierenden einmal als Bezugspunkt den Punkt \(A\) und als Kontrolle den Punkt \(B\).
Lösung: Aufgabe 1.15
a)
\begin{alignat*}{5}
F_R &= 0,5\,\mathrm{kN}, &\quad
M^A_{G} &= -83,9\,\mathrm{Nm}, &\quad
M^B_{G} &= -190\,\mathrm{Nm}, &\quad
\alpha_R &= 45^\circ &\quad
\end{alignat*}
Geradengleichung der Resultierenden im Punkt A:
\begin{alignat*}{5}
y &= -x + 0,237\,\mathrm{m} &\quad
\end{alignat*}
Geradengleichung der Resultierenden im Punkt B:
\begin{alignat*}{5}
y &= -x + 0,537\,\mathrm{m} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.16
#16
Eine homogene, rechteckige Scheibe konstanter Dicke mit der Gewichtskraft \(F_G\)
ist an drei Stäben gelenkig befestigt. \(F_G\) greift in der Mitte der
Scheibe an.
Geg.:
\begin{alignat*}{1} F_G &= 1,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}, F_{S3}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{1} F_G &= 1,0\,\mathrm{kN} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}, F_{S3}\).
Hilfestellung 3
Wählen Sie zum Aufstellen des Momentengleichgewichts einen Bezugspunkt, so dass in dieser Gleichung möglichst wenige Unbekannte sind.
Lösung: Aufgabe 1.16
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 1,57\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= 1,15\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S3} &= 1,00\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.17
#17
Eine homogene, kreisförmige Scheibe konstanter Dicke mit der Gewichtskraft
\(F_G\) ist an drei Stäben gelenkig befestigt. Weiterhin ist sie
im Punkt \(A\) durch die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_1 & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 1,5\,\mathrm{kN}, \\ F_G & = 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad r & \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}\), \(F_{S2}\), \(F_{S3}\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_1 & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 1,5\,\mathrm{kN}, \\ F_G & = 1,0\,\mathrm{kN}, &\quad r & \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Stabkräfte \(F_{S1}\), \(F_{S2}\), \(F_{S3}\).
Hilfestellung 3
Wählen Sie zum Aufstellen des Momentengleichgewichts einen Bezugspunkt, so dass in dieser Gleichung möglichst wenige Unbekannte sind.
Lösung: Aufgabe 1.17
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= -3,5\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= 2,5\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S3} &= -0,5\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.18
#18
Am Radkranz eines Speichenrads wirkt das Moment \(M\).
Geg.:
\begin{alignat*}{6} M &= 24\,\mathrm{kNm}, &\quad r_1 &= 25\,\mathrm{cm} \\ r_2 &= 50\,\mathrm{cm}, &\quad r_3 &= 60\,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kräfte in den drei Speichen. Gehen Sie davon aus, dass diese am Radkranz und an der Nabe gelenkig befestigt sind.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} M &= 24\,\mathrm{kNm}, &\quad r_1 &= 25\,\mathrm{cm} \\ r_2 &= 50\,\mathrm{cm}, &\quad r_3 &= 60\,\mathrm{cm} \end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die Kräfte in den drei Speichen. Gehen Sie davon aus, dass diese am Radkranz und an der Nabe gelenkig befestigt sind.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.18
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 32\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S2} &= 32\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{S3} &= 32\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.19
#19
Ein homogener Balken (Gewichtskraft \(F_G\) ) wird von einem Seil gehalten
und liegt bei \(A\) und \(B\) an senkrechten, glatten Wänden.
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad a & = 0,25\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{6} F_G & = 3,0\,\mathrm{kN}, &\quad a & = 0,25\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
- Wie groß ist die Kraft im Seil?
- Wie groß sind die Kontaktkräfte?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.19
a)
\begin{alignat*}{5}
F_{S} &= 3,46\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
b)
\begin{alignat*}{5}
F_{A} &= 2,05\,\mathrm{kN}, &\quad
F_{B} &= 0,32\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.20
#20
Der abgebildete Träger hat die Gewichtskraft \(F_G\).
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G &= 4000\, \mathrm{N}, &\quad a & = 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}\) und \(F_{S3}\)?
Geg.:
\begin{alignat*}{2} F_G &= 4000\, \mathrm{N}, &\quad a & = 1,0\,\mathrm{m} \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß sind die Stabkräfte \(F_{S1}, F_{S2}\) und \(F_{S3}\)?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.20
\begin{alignat*}{5}
F_{S1} &= 1623\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S2} &= 1740\,\mathrm{N}, &\quad
F_{S3} &= 1230\,\mathrm{N} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.21
#21
Eine Walze wird über einen gewichtslosen Hebel der Länge \(l\) belastet,
der auf einer Ecke der Höhe \(h\) aufliegt. Alle Berührungsflächen sind
ideal glatt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3} r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad F_G &= 3,0\,\mathrm{kN} \\ l &= 1,5\,\mathrm{m}, &\quad F &= 1,0\,\mathrm{kN} \\ h &= r & \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Druckkraft zwischen der Walze und dem horizontalen Boden?
Geg.:
\begin{alignat*}{3} r &= 0,3\,\mathrm{m}, &\quad F_G &= 3,0\,\mathrm{kN} \\ l &= 1,5\,\mathrm{m}, &\quad F &= 1,0\,\mathrm{kN} \\ h &= r & \end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die Druckkraft zwischen der Walze und dem horizontalen Boden?
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.21
\begin{alignat*}{5}
B &= 0,5\,\mathrm{kN} &\quad
\end{alignat*}
Aufgabe 1.22
#22
Ein Seil wird über eine Rolle vom Radius \(R\) geführt und durch
Kräfte \(F\) belastet. Auf einer Seite wird es durch eine Rolle mit dem Radius \(r\) und der
Gewichtskraft \(F_G\), die mit der ersten Rolle durch eine masselose Pendelstange der Länge \(l\) verbunden ist, abgelenkt.
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F & = 100\, \mathrm{N} , & \quad F_G & = 40 \, \mathrm{N} , & \quad r & = 3\, \mathrm{cm} \\ R & = 4\, \mathrm{cm} , & \quad l & = 10 \, \mathrm{cm} & & \end{alignat*}
Ges.:
Geg.:
\begin{alignat*}{4} F & = 100\, \mathrm{N} , & \quad F_G & = 40 \, \mathrm{N} , & \quad r & = 3\, \mathrm{cm} \\ R & = 4\, \mathrm{cm} , & \quad l & = 10 \, \mathrm{cm} & & \end{alignat*}
Ges.:
- Ermitteln Sie den Winkel \(\alpha\), den die Pendelstange mit der Vertikalen bildet.
- Geben Sie die Kraft in der Pendelstange an. Reibungskräfte bleiben unberücksichtigt.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 1.22
a) \begin{alignat*}{5}
\alpha &= 30^{\circ} &\quad
\end{alignat*}
b) \begin{alignat*}{1}
F_{Stange} & = 49,83\, \mathrm{N} & \quad
\end{alignat*}