Aufgabe 5.01

Ein homogener, dünner Stab hängt an zwei Federn und ist in \(A\) reibungsfrei drehbar gelagert. Im Ruhezustand befindet sich der Stab in horizontaler Lage.
Geg.: \begin{alignat*}{4} m, &\quad l_1, &\quad l_2, &\quad c_1, &\quad c_2 \end{alignat*} Ges.:
Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz, die Schwingungsdauer und die Eigenfrequenz des Systems.

Aufgabe 5.02

Ein homogener, dünner Stab ist bei \(A\) drehbar gelagert. In der vertikalen Stellung sind die Federn nicht gespannt.
Geg.: \begin{alignat*}{3} m, &\quad a, &\quad c, &\quad g \end{alignat*} Ges.: Ermitteln Sie für kleine Ausschläge die Eigenkreisfrequenz und die Schwingungsdauer des Systems.

Aufgabe 5.03

Über einen reibungsfrei gelagerten, homogenen Vollzylinder (Masse \(m_2\), Radius \(R\)) läuft ein masseloses, biegsames, dehnstarres Seil ohne Schlupf, das rechts eine Kiste trägt und links über eine Feder (Konstante \(c\)) mit dem Boden verbunden ist.
Geg.: \begin{alignat*}{4} c, &\quad m_1, &\quad m_2, &\quad R, &\quad g \end{alignat*} Ges.:
  1. Eigenkreisfrequenz, Eigenfrequenz, Schwingungsdauer
  2. \(x(t)\) für die Anfangsbedingungen: \(x(t=0)=x_0\) und \(\dot x (t=0)=v_0\)

Aufgabe 5.04

Zwei miteinander im Eingriff stehende Zahnräder mit den Massenträgheitsmomenten \(J_1\) und \(J_2\) sind in ihren Schwerpunktachsen gelagert und an zwei Federn befestigt.
Geg.: \begin{alignat*}{3} r_1 &= 0,20 \,\mathrm{m}, &\quad r_2 &= 0,30 \,\mathrm{m} \\ R_1 &= 0,60 \,\mathrm{m}, &\quad J_1 &= 0,40 \,\mathrm{kgm^2} \\ J_2 &= 0,1 \,\mathrm{kgm^2}, &\quad c_1 &= 10000 \,\mathrm{N/m} \\ c_2 &= 20000 \,\mathrm{N/m} \end{alignat*} Ges.:
Bestimmen Sie für den Fall kleiner Ausschläge die Eigenkreisfrequenz \(\omega_0\).

Aufgabe 5.05

Das gegebene System, bestehend aus Feder, Masse und Dämpfer führt schwach gedämpfte Schwingungen aus.
Geg.: \begin{alignat*}{3} m & = 1000 \,\mathrm{kg}, &\quad c & = 1,6\cdot10^5 \,\mathrm{N/cm} \\ b & = 2350 \,\mathrm{kg/s} \end{alignat*} Ges.:
  1. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems?
  2. Nach welcher Zeit ist die Amplitude einer freien Schwingung auf \(10\%\) des Anfangswertes abgeklungen? Wieviel Schwingungen werden in dieser Zeit ausgeführt?

Aufgabe 5.06

Eine masselose, starre Stange mit Feder und Dämpfer trägt eine Kugel (Masse \(m\)).
Geg.: \begin{alignat*}{3} m & = 500 \,\mathrm{kg}, &\quad c & = 1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/cm} \\ a & = 0,25 \,\mathrm{m} \end{alignat*} Ges.:
  1. Welche Bedingung muss die Dämpfungskonstante \(b\) erfüllen, damit das System eine schwach gedämpfte Schwingung ausführt?
  2. Wie lautet die Lösung der Bewegungsgleichung, wenn folgende Anfangsbedingungen gelten: \(\varphi(0)=0\) und \(\dot{\varphi}(0)=\dot{\varphi}_0\)?

Aufgabe 5.07

Eine Maschine (Masse \(m_1\)) gibt eine in \(x\)-Richtung wirkende Erregerkraft \(F_0 \cos \Omega t\) an das Fundament (Masse \(m_2\)) ab. Das Fundament ist gegen den starren Boden elastisch gelagert.
Geg.: \begin{alignat*}{6} m_1 &= 100\,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 650\,\mathrm{kg} \\ F_0 &= 250\,\mathrm{N}, &\quad \Omega &= 2\,\mathrm{rad/s} \\ c &= 30\,\mathrm{kN/m} \end{alignat*} Ges.:
  1. Geben Sie die stationäre Lösung \(x_p(t)\) des Systems an.
  2. Bei welcher Erregerfrequenz \(\Omega\) tritt Resonanz auf?