Aufgabe 3.01

Von der Spitze eines Turmes wird ein Körper rotationsfrei mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) unter einem Winkel von \(\alpha\) gegen die Horizontale abgeworfen. Er trifft im Abstand \(l\) vom Fuß des Turmes auf den Boden auf.
Geg.: \begin{alignat*}{3} v_0 &= 7,0\, \mathrm{m/s}, &\quad \alpha &= 30\,^{\circ} \\ l &= 10,0\,\mathrm{m}, &\quad g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} Ges.:
  1. Wie lange fliegt der Körper?
  2. Welche Höhe hat der Turm?
  3. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt er auf?

Aufgabe 3.02

Eine Kiste rutscht auf einer schiefen Ebene (Reibkoeffizient \(\mu\)). Zur Zeit \(t=0\) befindet sich die Kiste bei \(x=0\) und hat die Geschwindigkeit \(v_0\).
Geg.: \begin{alignat*}{5} v_0 &= 5 \,\mathrm{m/s}, &\quad \alpha &= 30\,^{\circ}\\ \mu &= 0,8\,, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} Ges.:
  1. Geben Sie die Bewegungsgleichungen füur die Kiste an.
  2. Geben Sie die Führungsbedingung an.
  3. Welche Strecke \(x\) legt die Kiste bis zum Stillstand zurück?

Aufgabe 3.03

Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega_0\) um den Punkt \(A\). In einer glatten Führungsschiene bewegt sich ein Körper (Quader mit der Masse \(m\)) in radialer Richtung. Seine Geschwindigkeit relativ zur Scheibe ist konstant (\(v_0\)). Diese Relativbewegung wird durch ein sich abwickelndes Seil realisiert.
Geg.: \begin{alignat*}{3} m, &\quad v_0, &\quad \omega_0 \end{alignat*} Ges.:
Bestimmen Sie die Kraft \(F_K\) zwischen Scheibe und Quader sowie die Kraft \(F_S\) im Seil. Vernachlässigen Sie dabei die Rotation des Quaders um seinen Schwerpunkt.

Aufgabe 3.04

Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit \(v_0\). Der Fahrer nimmt bei \(t=0\) den Fuß vom Gas. Es soll die Annahme gelten, dass nur Luftwiderstand \(F_w=kv\) das Fahrzeug verzögert
Geg.: \begin{alignat*}{3} v_0 &= 10\,\mathrm{m/s}, &\quad m &= 1200\,\mathrm{kg} \\ k &= 12\,\mathrm{kg/s} \end{alignat*} Ges.:
  1. Bewegungsgleichung
  2. Welche Geschwindigkeit hat das Fahrzeug nach \(100\,\mathrm{s}\)?
  3. Welchen Weg hat es nach \(100\,\mathrm{s}\) zurück gelegt?

Aufgabe 3.05

Eine Kugel (Masse \(m\)) fällt aus der Ruhe heraus in einen mit Flässigkeit gefüllten Behälter. In der Flüssigkeit gelte ein bezüglich \(v\) lineares Widerstandsgesetz (\(F_w=kv\)).
Geg.: \begin{alignat*}{3} m &= 1 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \\ k &= 2 \,\mathrm{kg/s} \end{alignat*} Ges.:
  1. Geschwindigkeit der Kugel als Funktion der Zeit (grafische Darstellung).
  2. Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit?
Hinweis:
$$ \int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln\left(ax+b\right)$$

Aufgabe 3.06

Ein Fahrzeug (Masse \(m\)) soll von \(v_0\) auf \(v=0\) abgebremst werden. Dieser Vorgang soll innerhalb von \(5 \mathrm{s}\) vollzogen werden. Die Geschwindigkeit soll dabei linear über der Zeit fallen.
Geg.: \begin{alignat*}{3} m &= 1600\,\mathrm{kg}, &\quad v_0 &= 100\,\mathrm{km/h} \end{alignat*} Ges.:
Bestimmen Sie Bremskraft und Bremsweg.

Aufgabe 3.07

Ein Spielzeugauto (Masse $m$) fährt einen Looping. Die Rotation des Autos um seinen Schwerpunkt kann bei diesem Vorgang vernachlässigt werden. Im höchsten Punkt besitzt es die Geschwindigkeit \(v\).
Geg.: \begin{alignat*}{3} m &= 70 \,\mathrm{g}, &\quad r &= 40 \,\mathrm{cm} \\ g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2}, &\quad v & = 3 \,\mathrm{m/s} \end{alignat*} Ges.:
  1. Mit welcher Geschwindigkeit muss das Auto in den Looping einfahren, damit es im höchsten Punkt die angegebene Geschwindigkeit hat?
  2. Bestimmen Sie die im höchsten Punkt zwischen Auto und Fahrbahn wirkende Kontaktkraft.

Aufgabe 3.08

Ein Körper (Masse \(m\)) rutscht aus seiner Ruhelage in \(A\) eine rauhe, schiefe Ebene herab (Reibungskoeffizient \(\mu\)), die in eine glatte Kreisbahn einmündet.
Geg.: \begin{alignat*}{3} r & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 45^\circ, &\quad \mu & = 0,2 \end{alignat*} Ges.:
In welcher Höhe \(h\) über dem Scheitelpunkt der Kreisbahn (B) muss die Bewegung beginnen, damit der Körper in \(B\) gerade die Bahn nicht verlässt? Die Rotation des Körpers wird vernachlässigt.

Aufgabe 3.09

Bei einem Pendelschlagwerk zur Kerbschlagprüfung wird in der skizzierten Ruhestellung (\(\varphi=\varphi_0\)) die Arretierung des Hammers gelöst.
Geg.: \begin{alignat*}{3} r &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad \varphi_0 &= 30 \,^\circ \\ m &= 20 \,\mathrm{kg}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} Ges.:
  1. Bestimmen Sie für den Körper (Masse \(m\)) \(v(\varphi)\) und die Stabkraft \(F_S(\varphi)\) nach d'Alembert.
  2. Kontrollieren sie ihr Ergebnis für \(v(\varphi=\pi)\) und \(F_S(\varphi=\pi)\) mit dem Energiesatz.
Hinweis: Die Masse des Stabes sowie die Rotation der Kugel sind zu vernachlässigen.

Aufgabe 3.10

Eine Winde zieht mit konstantem Moment \(M_0\) einen Körper (Masse \(m\)) eine schiefe Ebene hinauf. Zwischen dem Köper und der Ebene herrscht Gleitreibung mit dem Gleitreibungskoeffizienten \(\mu\). Die Masse der Winde kann vernachlässigt werden. Die Bewegung beginnt aus der Ruhe heraus.
Geg.: \begin{alignat*}{3} M_0 &= 100 \,\mathrm{Nm}, &\quad m &= 10 \,\mathrm{kg} \\ s &= 1,0 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 30 \,^\circ \\ R &= 0,05 \,\mathrm{m}, &\quad \mu &= 0,3 \end{alignat*} Ges.:
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers nachdem er den Weg \(s\) zurückgelegt hat?

Aufgabe 3.11

Die Walzen eines Walzwerkes (Durchmesser \(d\)) drehen sich mit der Drehzahl \(n\). Ein Stahlblock mit der Masse \(m\), der das Walzwerk verlässt, kommt auf einer horizontalen Bremsstrecke nach \(s_0\) zur Ruhe.
Geg.: \begin{alignat*}{6} n &= 300\,\mathrm{min^{-1}}, &\quad s_0 &= 28\,\mathrm{m} \\ d &= 480\,\mathrm{mm}, &\quad m &= 500\,\mathrm{kg} \end{alignat*} Ges.:
  1. Wie groß ist der Gleitreibungskoeffizient \(\mu\) auf der Bremsstrecke?
  2. Um welchen Betrag würde ein masseloser, elastischer Puffer (\(c=1000\,\mathrm{N/cm}\)) bei \(s=20\,\mathrm{m}\) von dem aufprallenden Stahlblock zusammengedrückt werden?

Aufgabe 3.12

Ein Körper (Masse \(m\)) rutscht von der Stelle \(1\) aus ohne Anfangsgeschwindigkeit auf einer schiefen, anschließ end horizontalen, rauhen Ebene und kommt an der Stelle \(2\) zur Ruhe.
Geg.: \begin{alignat*}{3} l &= 3 \,\mathrm{m}, &\quad \alpha &= 30 \,^{\circ} \\ \mu &= 0,2\,, &\quad g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} Ges.:
  1. Entfernung \(k\)
  2. Zeit \(t^*\) für den gesamten Bewegungsvorgang
Hinweis: Die Rotation des Körpers wird vernachlässigt.

Aufgabe 3.13

Auf der Plattform eines Wagens (Masse \(m_1\), Ränder masselos) liegt eine Kiste (Masse \(m_2\)). An dem bis dahin ruhenden Wagen greift eine Kraft \(F\) an, die den Wagen so stark beschleunigt, dass die Kiste rutscht.
Geg.: \begin{alignat*}{6} m_1 &= 200 \,\mathrm{kg}, &\quad m_2 &= 50 \,\mathrm{kg}, \\ l &= 1,0\,\mathrm{m}, &\quad F &= 1,0\,\mathrm{kN}, \\ \mu &= 0,3\,, &\quad g &=9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} Ges.:
Zeit \(t^*\), die vergeht bis die Kiste vom Wagen herunterfällt.

Aufgabe 3.14

In einem anfänglich im Wasser ruhendem Boot (Masse \(m_B\)) befinden sich 3 Personen jeweils mit der Masse \(m_P\). Die Personen springen am Heck des Bootes mit der Relativgeschwindigkeit \(v_{rel}\) ab, so dass sich das Boot entgegengesetzt zur Absprungrichtung mit \(v_B\) bewegt.
Geg.: \begin{alignat*}{6} m_B &= 160\,\mathrm{kg}, &\quad m_P &= 80\,\mathrm{kg}\\ v_{rel} &= 6\,\mathrm{m/s} \end{alignat*} Ges.:
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Bootes nach den jeweiligen Absprüngen, wenn
  1. die Personen nacheinander abspringen,
  2. die Personen alle gleichzeitig abspringen.

Aufgabe 3.15

Bei einem anfänglich ruhenden System kann sich die um \(s\) gespannte Feder plötzlich entspannen. Die Kugel (Masse \(m_K\)) sowie der Wagen (Masse \(m_W\)) werden dadurch beschleunigt. Reibeffekte sowie die Masse der Räder sollen vernachlässigt werden.
Geg.: \begin{alignat*}{6} m_K &= 0,6 \,\mathrm{kg}, &\quad m_W &= 3,25 \,\mathrm{kg} \\ c &= 64,0 \,\mathrm{N/m}, &\quad s &= 0,425 \,\mathrm{m} \end{alignat*} Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Wagens und der Kugel unmittelbar nachdem die Kugel den Wagen verlassen hat.
  2. Wie groß ist dann die Geschwindigkeit der Kugel relativ zum Wagen?

Aufgabe 3.16

Für das dargestellte Bauteil (Stab mit Masse \(m\) und Kugel mit Masse \(M\)) ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der \(z\)-Achse zu bestimmen.
Geg.: \begin{alignat*}{2} l &= 1 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,05 \,\mathrm{m} \\ m &= 0,1 \,\mathrm{kg}, &\quad M &= 0,2 \,\mathrm{kg} \end{alignat*} Ges.:
\begin{alignat*}{1} J_z \end{alignat*}

Aufgabe 3.17

Für das dargestellte Bauteil ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der \(z\)-Achse zu bestimmen. Der Werkstoff besitzt die Dichte \(\rho\).
Geg.: \begin{alignat*}{5} \rho, &\quad d, &\quad D, &\quad e, &\quad a, &\quad b \end{alignat*} Ges.:
\begin{alignat*}{1} J_z \end{alignat*}

Aufgabe 3.18

Für das dargestellte Bauteil ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der \(z\)-Achse mittels Integration zu bestimmen. Der Werkstoff besitzt die Dichte \(\rho\).
Geg.: \begin{alignat*}{5} \rho, &\quad b, &\quad h, &\quad t \end{alignat*} Ges.:
\begin{alignat*}{1} J_z \end{alignat*}

Aufgabe 3.19

Der abgebildete dünne Stab (Masse \(m\), Länge \(l\)) befindet sich im Erdschwerefeld und wird aus der ausgelenkten Lage (\(\varphi=\varphi_0\)) losgelassen.
Geg.: \begin{alignat*}{3} l, &\quad m, &\quad \varphi_0, &\quad g \end{alignat*} Ges.:
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) zu dem Zeitpunkt des Durchganges durch die vertikale Lage, d.h. bei \(\varphi=0\)?

Aufgabe 3.20

Auf der Welle eines Rotors einer Axialkolbenpumpe mit den gegebenen Abmessungen greift ein konstantes Moment \(M_0\) an.
Geg.: \begin{alignat*}{2} a &= 20 \,\mathrm{cm}, &\quad b &= 15 \,\mathrm{cm} \\ d &= 2,5 \,\mathrm{cm}, &\quad D &= 12 \,\mathrm{cm} \\ e &= 3,5 \,\mathrm{cm}, &\quad \rho &= 7,5 \,\mathrm{g/cm^3} \\ t_1 &= 2,0 \,\mathrm{s}, &\quad \omega_1 &= 30 \,\mathrm{s^{-1}} \end{alignat*} Ges.:
Wie groß muß \(M_0\) sein, damit der Rotor aus dem Ruhezustand heraus nach \(t_1\) Sekunden eine Winkelgeschwindigkeit \(\omega_1\) erreicht? Welche Drehzahl \(n_1\) wird nach \(t_1\) Sekunden erreicht?

Aufgabe 3.21

Ein Rotor wird durch das Drehmoment \(M(t)\) angetrieben. Zur Zeit \(t=0\) steht der Rotor still.
Geg.: \begin{alignat*}{3} M_1, &\quad t_1, &\quad J \end{alignat*} Ges.:
Wie groß ist die Drehzahl \(n_2\) nach der Zeit \(t_2 = 2 t_1\)?
\(M(t)\) folgt dabei einem bilinearen Verlauf gemäß Skizze.

Aufgabe 3.22

Ein gelenkig gelagerter Stab der Länge \(3a\) mit einer Kugel am Ende fällt ohne Anfangsgeschwindigkeit von der Ausgangslage \(\varphi_0\) auf zwei Federn. Die Kugel ist klein gegenüber der Stablänge, so dass die Rotation der Kugel um ihren Schwerpunkt vernachlässigt werden kann. Bei der Masse \(M\) der Kugel wurde der in die Kugel ragende Teil des Stabes bereits abgezogen.
Geg.: \begin{alignat*}{3} M, &\quad m, &\quad \varphi_0, & \quad g \\ a, &\quad c_1, &\quad c_2 \end{alignat*} Ges.:
Wie groß ist der Maximalwinkel \(\varphi_2\), um den sich der Stab unter die Horizontale dreht?
Hinweis:
Gehen Sie von einem kleinen Winkel \(\varphi_2\) aus. Vernachlässigen Sie die potentielle Energie beim Drehen der Körper unter die Horizontale.

Aufgabe 3.23

Ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder haben die gleiche Masse und rollen eine schiefe Ebene in x-Richtung die Strecke \(s\) hinab.
Geg.: \begin{alignat*}{6} r &= 27 \,\mathrm{mm}, &\quad R &= 30 \,\mathrm{mm} \\ m &= 0,4 \,\mathrm{kg}, &\quad \alpha &= 10 \,^\circ \\ g &= 9,81\,\mathrm{m/s^2}, &\quad s &= 50 \,\mathrm{cm} \end{alignat*} Ges.:
Welcher Körper erreicht eher das Ziel und wie groß ist der Zeitvorsprung?

Aufgabe 3.24

Eine Stufenrolle (Gewichtskraft \(F_G=mg\), Massenträgheitsmoment \(J_S\)) rollt auf einer horizontalen Schiene. Auf der Trommel ist ein masseloses Seil aufgewickelt, an dem mit der konstanten Kraft \(F\) gezogen wird.
Geg.: \begin{alignat*}{3} r_1, &\quad r_2, &\quad m, &\quad F, &\quad J_S \end{alignat*} Ges.:
Wie groß sind die Beschleunigung des Schwerpunktes und die Kontaktkräfte (Normalkraft \(F_N\), Horizontalkraft \(F_H\)) mit der Schiene?

Aufgabe 3.25

Ein Zylinder (Radius \(r\)) rollt aus der Ruhe heraus eine schiefe Ebene hinab und beschleunigt dabei. Anschließend bewegt er sich auf einer Horizontalen, wobei die Widerstandskraft \(F_w\) (Roll- und Luftwiderstand) jetzt berücksichtigt wird. Der Übergang in die Horizontale erfolgt verlustfrei.
Geg.: \begin{alignat*}{3} F_w &= 10,0 \,\mathrm{N}, &\quad g &= 9,81 \,\mathrm{m/s^2} \\ h &= 0,3 \,\mathrm{m}, &\quad r &= 0,05 \,\mathrm{m} \\ m &= 100,0 \,\mathrm{kg}, &\quad \alpha &= 30 \,^{\circ} \end{alignat*} Ges.:
  1. Wie groß ist die translatorische Geschwindigkeit des Zylinders zu Beginn der Horizontalen?
  2. Welche Strecke \(s_{max}\) wird bis zum Stillstand des Zylinders zurück gelegt?

Aufgabe 3.26

Das dargestellte Fahrzeug (Masse \(m\)) besitzt Vorderradantrieb. Zwischen Fahrbahn und Reifen wirkt der Haftreibungskoeffizient \(\mu_0\).
Geg.: \begin{alignat*}{6} m, &\quad a, &\quad h , &\quad \mu_0 \end{alignat*} Ges.:
Bestimmen Sie die maximal mögliche Beschleunigung in Fahrtrichtung.