Aufgabe 2.01

Ein Brückenpfeiler aus Beton (Dichte \(\rho\)) ist durch die Kraft \(F\) und sein Eigengewicht belastet.
Geg.: \begin{alignat*}{5} F & = 1,0\,\mathrm{MN}, &\quad l & = 10\,\mathrm{m}, &\quad \rho & =2,3\,\mathrm{g/cm^3} \\ t & = 0,5\,\mathrm{m}, &\quad b & = 1,0\,\mathrm{m}, &\quad B & = 2,0\,\mathrm{m} \\ g & = 9,81\,\mathrm{m/s^2} \end{alignat*} Ges.:
  1. Ermitteln Sie die Spannung \(\sigma\) als Funktion von \(x\) zunächst bei Vernachlässigung des Eigengewichtes.
  2. Geben Sie \(\sigma(x=l)\) an. Berücksichtigen Sie nun aber auch das Eigengewicht.

Aufgabe 2.02

Ein Stab mit stückweise konstantem Querschnitt trägt die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\). Sein Eigengewicht kann vernachlässigt werden.
Geg.: \begin{alignat*}{3} F_1 & = 12\,\mathrm{kN}, &\quad F_2 & = 9\,\mathrm{kN}, &\quad l_1 & = 30\,\mathrm{cm} \\ l_2 & = 40\,\mathrm{cm}, &\quad A_1 & =80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E & =2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*} Ges.:
  1. Die Spannung im oberen Querschnitt.
  2. Die Querschnittsfläche \(A_2\) so, dass im unteren Querschnitt die gleiche Spannung wie im oberen herrscht.
  3. \(\Delta l\) am Angriffspunkt von \(F_1\).

Aufgabe 2.03

Ein starrer Körper mit dem Gewicht \(F_G\) ist bei \(A\) gelenkig gelagert und außerdem an den elastischen Seilen 1 und 2 aufgehängt. Alle Seile haben den gleichen Elastizitätsmodul \(E\) und Querschnitt \(A\).
Geg.: \begin{alignat*}{6} F_G & = 240 \,\mathrm{N}, &\quad a & = 5 \,\mathrm{cm}, &\quad E & = 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \\ A & = 0,5 \,\mathrm{mm^2}, &\quad l & = 6 \,\mathrm{cm} \end{alignat*} Ges.:
Spannung in den zwei Seilen und die Verlängerung \(\Delta l_1\) des Seiles 1.

Aufgabe 2.04

Eine starre Scheibe ist bei \(A\) gelenkig gelagert und wird zusätzlich durch zwei elastische Stahlseile mit den Querschnitten \(A_1\) bzw. \(A_2\) gehalten.
Geg.: \begin{alignat*}{5} F &= 10 \,\mathrm{kN}, &\quad A_1&= 240\,\mathrm{mm^2}, &\quad A_2 &= 80 \,\mathrm{mm^2} \end{alignat*} Ges.:
Es sind die Kräfte in den Seilen zu ermitteln.

Aufgabe 2.05

Über eine Schraube aus Stahl (Ganghöhe des Gewindes sei \(h=0.5\, \mathrm{mm}\)) wird ein Kupferrohr geschoben und durch die Schraubenmutter ohne Vorspannung fixiert. Anschließ end wird die Mutter um \(n\) Umdrehungen angezogen.
Geg.: \begin{alignat*}{2} n &= 3, &\quad l &= 100\,\mathrm{mm} \\ A_{Rohr} &= 80\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Kupfer} &= 1,2\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \\ A_{Schraube}&= 120\,\mathrm{mm^2}, &\quad E_{Stahl}&= 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} Ges.:
  1. Bestimmen Sie die Kraft in der Schraube.
  2. Berechnen Sie die Verlängerung der Schraube sowie die Verkürzung des Kupferrohres.

Aufgabe 2.06

Ein abgesetzter Stab befindet sich zwischen zwei starren Wänden und wird erwärmt.
Geg.: \begin{alignat*}{5} l_1 &= 2\,\mathrm{m}, & \quad l_2 &= 1,5\,\mathrm{m}\\ \Delta T & = 40\,\mathrm{K}, &\quad \delta &=1,2\,\mathrm{mm}\\ A_1 &= 800\,\mathrm{mm^2}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\, \mathrm{K^{-1}}\\ A_2 &= 700\,\mathrm{mm^2} , &\quad E &= 2,1\cdot10^5\,\mathrm{N/mm^2} \end{alignat*} Ges.:
  1. Temperaturerhöhung \(\Delta \tilde{T}\) damit der Spalt gerade so geschlossen wird.
  2. Druckkraft im System bei Erwärmung um \(\Delta T\).
  3. Betragsmäßig größte Spannung im System nach der Erwärmung um \(\Delta T\).

Aufgabe 2.07

Ein beidseitig eingespannter Stab besteht aus homogenem Material und besitzt einen konstanten Querschnitt. Der mittlere Bereich wird um \(\Delta T\) erwärmt. Dadurch wird sich dieser Bereich verlängern und die beiden verbleibenden Bereiche werden sich verkürzen.
Geg.: \begin{alignat*}{2} l_1 &= 100 \,\mathrm{mm}, & \quad l_2 &= 100\,\mathrm{mm} \\ E &= 100 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad A &= 100 \,\mathrm{mm^2} \\ \alpha_{th} &=3 \cdot \,10^{-4} \,\mathrm{K^{-1}}, & \quad \Delta T &= 200 \,\mathrm{K} \end{alignat*} Ges.:
Geben Sie die sich infolge der Erwärmung einstellenden Längenänderungen der drei Bereiche an.

Aufgabe 2.08

Ein Stab wird nur durch sein Eigengewicht belastet. Dieses wird durch die Streckenlast \(n\) repräsentiert.
Geg.: \begin{alignat*}{2} n &= \rho g A, & \quad \Delta T &= 0 \\ EA &= konst., & \quad l & \end{alignat*} Ges.:
  1. Geben Sie zunächst, die das Problem beschreibende Differentialgleichung an.
  2. Ermitteln Sie \(u(x)\) und \(F_L(x)\).

Aufgabe 2.09

Ein Stab mit rechteckigem Querschnitt und konstanter Dicke \(t\) wird durch die Kraft \(F\) belastet. Der Querschnitt ändert sich wie im Bild dargestellt linear.
Geg.: \begin{alignat*}{3} E & = 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{N/mm^2}, & \quad F & = 150\,\mathrm{kN}\\ l & = 200\,\mathrm{mm}, & \quad t & = 3\,\mathrm{mm} \\ b & = 20\,\mathrm{mm}, & \quad B & = 40\,\mathrm{mm} \end{alignat*} Ges.:
Berechnen Sie die Verlängerung des Stabes.
Hinweis:
Stellen Sie \(A(x)\) dar.
$$\int \frac{1}{a+bx} dx = \frac{1}{b}\ln\left(\left|bx+a\right|\right)$$

Aufgabe 2.10

Ein ursprünglich spannungslos eingespannter Stab konstanten Querschnitts erfährt eine in \(x\) veränderliche Temperaturerhöhung \(\Delta T(x)\).
Geg.: \begin{alignat*}{2} l & = 100\,\mathrm{mm}, &\quad \alpha_{th} &= 1,2\cdot10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} \\ A & = 50\,\mathrm{mm^2}, & \quad E & = 2,1\cdot 10^5\,\mathrm{N/mm^2}\\ \Delta T_0 & = 0\ , &\quad \Delta T_1 & = 50\,\mathrm{K} \end{alignat*} Ges.:
  1. Verschiebungsverlauf \(u(x)\)
  2. Spannungsverlauf \(\sigma(x)\)
  3. Stellen Sie die Verschiebung und die Spannung grafisch dar.

Aufgabe 2.11

Ein Druckstab mit quadratischem Querschnitt der Breite \(b\) ist belastet durch eine Kraft \(F\). Der Stab besteht aus zwei Kunststoffteilen, welche in der \(p-q\) Ebene verklebt sind. Für den Kunststoff sowie den Kleber sind die zulässigen Spannungen gegeben.
Geg.: \begin{alignat*}{2} F &= 35 \,\mathrm{kN}, &\quad \alpha &= 40 \,\mathrm{^\circ} \\ \sigma_{zul.}^{Ku.} &= 7,6\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul.}^{Ku.} &= 4,1\,\mathrm{MPa} \\ \sigma_{zul.}^{Kl.} &= 5,2\,\mathrm{MPa}, &\quad \tau_{zul.}^{Kl.} &= 3,5\,\mathrm{MPa} \end{alignat*} Ges.:
\(b_{erf.}\) so, dass weder im Kunststoff noch im Kleber die zulässigen Spannungen überschritten werden.