Geg.:
\begin{alignat*}{2}
a=1\,\mathrm{cm} & \quad
\end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Hilfestellung 1
Überlegen Sie wie sie den Querschnitt günstig in rechteckige Teilflächen zerlegen.
Für jede dieser Teilflächen kennen Sie den Schwerpunkt.
Hilfestellung 2
Bedenken Sie, dass bei den Schwerpunktberechnungen ein Bezugskoordinatensystem zwingend notwendig ist.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die in der Formelsammlung angegebene Tabellenform zur Bestimmung der Flächenmomente.
Überlegen Sie warum in diesem Fall das gemischte Flächenmoment \(I_{yz}\) gleich \(0\) ist.
Geg.:
\begin{alignat*}{2}
a=2\,\mathrm{cm} & \quad
\end{alignat*}
Ges.:
Bestimmen Sie die Flächenmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) bezüglich des Schwerpunktes.
Hilfestellung 1
Zerlegen Sie den Querschnitt in rechteckige Teilflächen.
Zeichnen Sie für diese Rechtecke die Schwerpunkte ein.
Hilfestellung 2
Bedenken Sie, dass bei der Schwerpunktberechnung ein Bezugskoordinatensystem zwingend notwendig ist.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die in der Formelsammlung angegebene Tabellenform zur Bestimmung der Flächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.2
a)
\begin{alignat*}{5}
I_{yy} &= 151,25a^4, &\quad
I_{zz} &= 18,75a^4
\end{alignat*}
Aufgabe 4.3
#102
Gegeben ist der Querschnitt eines unsymmetrischen T-Profils.
Ermitteln Sie die Lage der Hauptsachsen. Zeichnen Sie
diese in die Skizze ein.
Hilfestellung 1
Bestimmen Sie zunächst den Schwerpunkt.
Wenden Sie dazu das in TM 1 eingeübte Vorgehen an.
Zerlegen Sie zuvor den Querschnitt in geeignete Teilflächen.
Hilfestellung 2
Bestimmen Sie die Flächenmomente bezüglich des im Schwerpunkt eingetragenen YZ-Koordinatensystems.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die Formeln aus der Formelsammlung zur Berechnung der Lage Hauptachsen und zur Berechnung der Hauptflächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.3
Lage des Schwerpunktes bezogen auf die linke, obere Ecke:
\begin{alignat*}{5}
\tilde{x}_S &= 18,0\,\mathrm{mm}, &\quad
\tilde{y}_S &= -7,5\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Flächenmomente bezüglich des Schwerpunktes:
\begin{alignat*}{1}
I^{S}_{yy} &= 13020,8\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{zz} &= 14833,3\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{yz} &= 5625,6\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Hauptflächenmomente:
\begin{alignat*}{1}
I_{1} &= 19624,6\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I_{2} &= 8229,6\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Lage der Hauptsachsen:
\begin{alignat*}{1}
\varphi^{*} &= 49,6°
\end{alignat*}
Ermitteln Sie die Lage der Hauptsachsen. Zeichnen Sie
diese in die Skizze ein.
Hilfestellung 1
Bestimmen Sie zunächst den Schwerpunkt.
Wenden Sie dazu das in TM 1 eingeübte Vorgehen an.
Zerlegen Sie zuvor den Querschnitt in geeignete Teilflächen.
Hilfestellung 2
Bestimmen Sie die Flächenmomente bezüglich des im Schwerpunkt eingetragenen YZ-Koordinatensystems.
Hilfestellung 3
Nutzen Sie die Formeln aus der Formelsammlung zur Berechnung der Lage Hauptachsen und zur Berechnung der Hauptflächenmomente.
Lösung: Aufgabe 4.4
Lage des Schwerpunktes bezogen auf die linke, untere Ecke:
\begin{alignat*}{5}
\tilde{x}_S &= 16,54\,\mathrm{mm}, &\quad
\tilde{y}_S &= 26,54\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Flächenmomente bezüglich des Schwerpunktes:
\begin{alignat*}{1}
I^{S}_{yy} &= 807756\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{zz} &= 387756\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I^{S}_{yz} &= 323077\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Hauptflächenmomente:
\begin{alignat*}{1}
I_{1} &= 983086\,\mathrm{mm^4}, &\quad
I_{2} &= 212427\,\mathrm{mm^4}
\end{alignat*}
Lage der Hauptsachsen:
\begin{alignat*}{1}
\varphi^{*} &= 28,49°
\end{alignat*}
Aufgabe 4.5
#104
Es ist ein Träger mit einem Rechteckquerschnitt (Lagerung gemäß Skizze)
gegeben. Der Träger hat die Breite \(b\).
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
b &=20\,\mathrm{mm}, &\quad F &=7,5\,\mathrm{kN},
&\quad a &=1,75\,\mathrm{m}
\end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie notwendige Höhe \(h\) des Trägers, so dass eine zul.
Spannung von \(\sigma_{zul}=300\,\mathrm{N/mm^2}\) nicht überschritten
wird. Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 1
Zur Berechnung von Querschnittskenngrößen,
wie zum Beispiel der Höhe des Trägers bei einer gegebenen zulässigen Spannung muss zunächst die vorhandene Spannung in Abhängigkeit von der gesuchten Querschnitts Kenngröße ausgedrückt werden.
Hilfestellung 2
In die Biegespannung geht immer das Biegemoment ein.
Bestimmen Sie für diese Schnittgröße zunächst den Verlauf und suchen Sie die Stelle,
in dem das Moment maximal ist.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.5
Das maximale Biegemoment ist über dem Loslager:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -13,125\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Damit ergibt sich eine notwendige Höhe des Trägers von:
\begin{alignat*}{1}
h = 115\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.6
#105
Ein Träger auf zwei Stützen mit konstantem Rechteckquerschnitt ist durch eine
Streckenlast belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
b &= 40\,\mathrm{mm}, & \quad
h &=100\,\mathrm{mm}, & \quad
q &= 3\,\mathrm{kN/m}
\end{alignat*}
Ges.:
Welche Länge darf der Träger maximal haben, ohne das die zul.
Spannung von \(\sigma_{zul}=240\,N/mm^2\) bei Einbauvariante 1 und
Einbauvariante 2 überschritten wird? Ermitteln Sie zunächst Ort
und Größe des maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 1
Zunächst muss die maximal mögliche Länge in Abhängigkeit von der zulässigen Biegespannung ausgedrückt werden.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Wie gehen die beiden in der Aufgabenstellung gegebenen Einbauvarianten in die Formel ein?
Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt ist
gemäß Skizze belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{2}
q &= 10\,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad
F &=4000\,\mathrm{N} \\
l &=1000\,\mathrm{mm}, &\quad
\sigma_{zul} &= 200\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
Ges.:
Ermitteln Sie die notwendige Höhe des Querschnitts
für \(a=30\,\mathrm{mm}\). Bestimmen Sie zuvor Ort und Größe des
maximalen Biegemoments.
Hilfestellung 1
Bestimmen Sie zunächst den Verlauf des Biegemomentes entlang des Trägers um Ort und Größe.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.7
Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -1,0\,\mathrm{kNm}
\end{alignat*}
Erforderliche Querschnittsabmessung:
\begin{alignat*}{1}
h^{erf} &= 31,6\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.8
#107
Ein Träger mit einem Gelenk ist wie dargestellt belastet und gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
q, &\quad l, &\quad a
\end{alignat*}
Ges.:
Biegespannungsverteilung im Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist.
Hilfestellung 1
Bestimmen Sie zunächst den Verlauf des Biegemomentes entlang des Trägers um Ort und Größe,
um das maximale Moment zu erhalten. Beachten Sie dabei den Gelenkpunkt.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.8
Das maximale Biegemoment tritt an der Einspannung auf:
\begin{alignat*}{5}
M^{max}_B &= -ql^2
\end{alignat*}
Aufgabe 4.9
#108
Ein Träger ist wie dargestellt belastet und gelagert.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
q &= 10\,\mathrm{N/mm}, &\quad
l &= 600\,\mathrm{mm} \\
F &= 1500\,\mathrm{N}, &\quad
\sigma_{zul} &= 100\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Ges.:
Abmessung \(a\) so, dass \(\sigma_{zul}\) nicht überschritten wird.
Verlauf der Biegespannung \(\sigma_{B}^{max}\) im
Querschnitt an der Stelle, wo das Biegemoment maximal ist.
Runden Sie dazu das Ergebnis von a. sinnvoll auf.
Hilfestellung 1
Bestimmen Sie zunächst den Verlauf des Biegemomentes entlang des Trägers,
um Ort und Größe des maximalen Momentes zu bestimmen.
Hilfestellung 2
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.9
a)
\begin{alignat*}{5}
a &= 7,28\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
b) - Das maximale Biegemoment tritt über dem Loslager auf:
\begin{alignat*}{1}
M^{max}_B &= -Fl
\end{alignat*}
- Mit \(a_{gewählt} = 8\,\mathrm{mm}\) ergeben sich folgende Werte:
Aufgabe 4.10
#109
Ein einseitig eingespannter Träger mit konstantem Rechteckquerschnitt
ist gemäß Skizze belastet.
Geg.:
\begin{alignat*}{4}
F &= 3000\,\mathrm{N}, &\quad
l &= 800\,\mathrm{mm} \\
h &= 100\,\mathrm{mm}, &\quad
\sigma_{zul} &= 140\,\mathrm{MPa}
\end{alignat*}
Ges.:
Erforderliche Breite des Profils.
Hilfestellung 1
Der Kragträger ist in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen durch Einzelkräfte belastet.
Was bedeutet dies, für die sich einstellenden Momente?
Hilfestellung 2
Schneiden Sie den Träger bereichsweise und führen Sie entsprechend dem vorgegebenen Koordinatensystem Schnittmomente um die Y- und um die Z-Achse ein.
Der durch eine Streckenlast belastete Träger ist aus einem L-Profil
gefertigt. Die Einbaulage ist dem Schnitt A-A zu entnehmen.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
q &= 10 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad
E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\
l &= 2000 \,\mathrm{mm}, &\quad
a &= 10 \,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\).
Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Hilfestellung 1
Der Biegebalken wird in der xz-Ebene belastet.
Aufgrund seines Querschnittes wird er jedoch in Folge der Belastung sich aus dieser Ebene heraus verformen.
Hilfestellung 2
Bestimmen Sie für den Querschnitt des Trägers zunächst die Lage der Hauptachsen und die Hauptflächenmomente bezüglich dieser Achsen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.11
\begin{alignat*}{5}
M_u &= 4,39\,\mathrm{kNm}, &\quad
M_v &= -2,38\,\mathrm{kNm}, &\quad
\sigma(u,v) &= 4,47\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v + 11,23\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u
\end{alignat*}
Lage der Spannungsnulllinie:
\begin{alignat*}{1}
v &= -2,512u
\end{alignat*}
\(\sigma_{max}\) bei:
\begin{alignat*}{1}
y &= 6,54\,\mathrm{mm}, &\quad
z &= -53,46\,\mathrm{mm}, &\quad
\sigma_{max} &= -445,7\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.12
#111
Der durch eine Streckenlast belastete Kragträger besitzt den skizzierten Querschnitt.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
q &= 1,0 \,\mathrm{Nmm^{-1}}, &\quad
E &= 2,1\cdot 10^5 \,\mathrm{Nmm^{-2}} \\
l &= 1000 \,\mathrm{mm}, &\quad
a &= 5\,\mathrm{mm}
\end{alignat*}
Ges.:
Berechnen Sie die maximale Biegespannung \(\sigma_{max}\).
Kennzeichnen Sie den Ort von \(\sigma_{max}\) auf der Querschnittsfläche.
Hilfestellung 1
Der Kragträger wird in der xz-Ebene belastet.
Aufgrund seines Querschnittes wird er jedoch in Folge der Belastung sich aus dieser Ebene heraus verformen.
Hilfestellung 2
Bestimmen Sie für den Querschnitt des Trägers zunächst die Lage der Hauptachsen und die Hauptflächenmomente bezüglich dieser Achsen.
Hilfestellung 3
Lösung: Aufgabe 4.12
\begin{alignat*}{5}
M_{Bu} &= -0.324\,\mathrm{kNm}, &\quad
M_{Bv} &= 0 .381\,\mathrm{kNm}, &\quad
\sigma(u,v) &= -16.5\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}v - 46,3\,\mathrm{\frac{N}{mm^3}}u
\end{alignat*}
Lage der Spannungsnulllinie:
\begin{alignat*}{1}
v &= -2,8u
\end{alignat*}
\(\sigma_{max}\) bei:
\begin{alignat*}{1}
y &= -2.0\,\mathrm{mm}, &\quad
z &= 17.5\,\mathrm{mm}, &\quad
\sigma_{max} &= -768\,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.13
#112
Für den dargestellten Träger ist die Gleichung der Biegelinie durch
Integration der Differentialgleichung zu ermitteln.
Geg.:
\begin{alignat*}{3}
M_0 &= 10 \,\mathrm{Nmm}, &\quad
l &= 2000 \,\mathrm{mm} \\
a &= 10 \,\mathrm{cm}, &\quad
E &=2,1\cdot 10^{5} \,\mathrm{N/mm^2}
\end{alignat*}
Ges.:
Wie groß ist die maximale Durchbiegung?
An welcher Stelle tritt diese auf?
Hilfestellung 1
Nutzen Sie zur Berechnung der Biegelinie die Differenzialgleichung 2. Ordnung für die Durchbiegung \(w\).
Bestimmen Sie zuvor das Schnittmoment \(M_B\) entlang des Trägers.
Hilfestellung 2
Überlegen Sie, wie Sie mathematisch die Randbedingungen bezüglich der Verformung \(w\) an den Punkten A und B formulieren.
Hilfestellung 3
Die zur Ermittlung des Ortes der maximalen Durchbiegung notwendige erste Ableitung der Biegelinie haben Sie im Rahmen der Integration der Differenzialgleichung bereits bestimmt.
Lösung: Aufgabe 4.13
Maximale Durchbiegung:
\begin{alignat*}{5}
w &= \frac{1}{EI} \left(-\frac{M_0}{l}\frac{x^3}{6} + \frac{M_0}{6}lx\right) \\ \\
&= \frac{M_0 l^2}{6 E I} \left(-\left(\frac{x}{l}\right)^3 + \left(\frac{x}{l}\right) \right)
\end{alignat*}
Ort der maximalen Durchbiegung durch Nullsetzen von \(w^{'}\) ermitteln:
\begin{alignat*}{1}
w_{max} &= w(x= \frac{l}{\sqrt{3}}) \\ \\
&= \frac{M_0 l^2}{6 E I}\left[-\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right] \\ \\
&= \frac{\sqrt{3} M_0 l^2}{27 E I}
\end{alignat*}
Aufgabe 4.14
#113
Der dargestellte Kragträger ist durch ein Moment und eine Einzellast
am freien Ende belastet.
Nutzen Sie zur Berechnung der Biegelinie die Differenzialgleichung 2. Ordnung für die Durchbiegung \(w\).
Bestimmen Sie zuvor das Schnittmoment \(M_B\) entlang des Trägers.
Hilfestellung 2
Sie können die Biegelinie jeweils für die Einzelkraft \(F\) und das Einzelmoment \(M_0\) separat bestimmen.
Für die Gesamtverformung können Sie am Ende beide Biegelinien addieren.
Hilfestellung 3
Überlegen Sie, wie Sie mathematisch die Randbedingungen bezüglich der Verformung \(w\) an den Punkten A und B formulieren.
Nutzen Sie zur Berechnung der Biegelinie die Differenzialgleichung vierter Ordnung für die Durchbiegung \(w\).
Dazu benötigen Sie die Größe der Streckenlast als Funktion von \(x\).
Hilfestellung 2
Bei der Integration fallen vier Konstanten an.
Zwei können Sie durch Verformungsrandbedingungen bestimmen und zwei weitere durch Kraft- beziehungsweise Momentrandbedingungen.
Nutzen Sie zur Berechnung der Biegelinie die Differenzialgleichung vierter Ordnung für die Durchbiegung \(w\).
Dazu benötigen Sie die Größe Streckenlast als Funktion von \(x\).
Hilfestellung 2
Bei der Integration fallen vier Konstanten an.
Zwei können Sie durch Verformungsrandbedingungen bestimmen und zwei weitere durch Kraft- beziehungsweise Momentrandbedingungen.
Für den dargestellten Träger sind insgesamt 4 Rand- bzw.
übergangsbedingungen für die Durchbiegung \(w\) und die Neigung \(w'\)
anzugeben.
Geg.:
Ges.:
Hilfestellung 1
Durch die Einleitung eines Einzelmomentes, muss der Träger in zwei Bereiche unterteilt werden.
Bestimmen Sie für jeden Bereich das Biegemoment \(M_B\).
Hilfestellung 2
Nutzen Sie für jeden Bereich separat die Differenzialgleichung zur Berechnung der Durchbiegung \(w\).
Hilfestellung 3
Bedenken Sie, dass sie jetzt zur Bestimmung der Konstanten neben Randbedingungen auch Übergangsbedingungen formulieren müssen.
Für den dargestellten Träger sind insgesamt 8 Rand- bzw.
übergangsbedingungen für die Durchbiegung \(w\) und die Neigung \(w'\)
anzugeben.
Geg.:
Ges.:
Hilfestellung 1
Überlegen Sie zunächst warum für den dargestellten Träger insgesamt acht Rand- beziehungsweise Übergangsbedingungen aufzustellen sind.
Hilfestellung 2
Skizzieren Sie wie der Träger sich voraussichtlich unter den gegebenen Lasten verformen wird.
Das hilft bei der Formulierung von Rand- und Übergangsbedingungen.